Stochastische Signaltheorie/Stochastische Systemtheorie: Unterschied zwischen den Versionen

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== # ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL # ==
 
== # ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL # ==
 
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Dieses Kapitel beschreibt den Einfluss eines Filters auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) stochastischer Signalen. Im Einzelnen werden behandelt:
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Dieses Kapitel beschreibt den Einfluss eines Filters auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) stochastischer Signale.  
  
*die Berechnung von AKF und LDS am Filterausgang (''Stochastische Systemtheorie''),
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Im Einzelnen werden behandelt:
*die Struktur und die Darstellung ''Digitaler Filter'' (nichrekursiv und rekursiv),
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*die ''Dimensionierung'' der Filterkoeffizienten für eine vorgegebene AKF,
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*die Berechnung von AKF und LDS am Filterausgang (''Stochastische Systemtheorie''&nbsp;),
*die Bedeutung des ''Matched-Filters'' für Nachrichtensysteme (SNR-Maximierung),
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*die Struktur und die Darstellung ''Digitaler Filter''&nbsp; (nichrekursiv und rekursiv),
*die Eigenschaften des ''Wiener-Kolmogorow-Filters'' zur Signalrekonstruktion.
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*die ''Dimensionierung''&nbsp; der Filterkoeffizienten für eine vorgegebene AKF,
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*die Bedeutung des ''Matched-Filters''&nbsp; für Nachrichtensysteme (SNR-Maximierung),
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*die Eigenschaften des ''Wiener-Kolmogorow-Filters''&nbsp; zur Signalrekonstruktion.
  
  
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eindeutig beschrieben ist. Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit&ndash; und Frequenzbereich ist durch die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Eigenschaften_aperiodischer_Signale|Fouriertransformation]] gegeben.  
 
eindeutig beschrieben ist. Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit&ndash; und Frequenzbereich ist durch die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Eigenschaften_aperiodischer_Signale|Fouriertransformation]] gegeben.  
 
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Legt man an den Eingang das Signal $x(t)$ an und bezeichnet das Ausgangssignal mit $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:  
 
Legt man an den Eingang das Signal $x(t)$ an und bezeichnet das Ausgangssignal mit $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:  
*Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltung]] zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und der Impulsantwort $h(t)$:
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*Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltung]] zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Die folgende Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen:
 
:$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$
 
:$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$
:Diese Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen.
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*Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen. Das Spektrum $X(f)$ ist die Fouriertransformierte von $x(t)$. Die Multiplikation mit dem Frequenzgang $H(f)$ führt zum Ausgangsspektrum $Y(f)$. Darauslässt sich das Signal $y(t)$  durch die Fourierrücktransformation gewinnen.  
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*Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen. Das Spektrum $X(f)$ ist die Fouriertransformierte von $x(t)$. Die Multiplikation mit dem Frequenzgang $H(f)$ führt zum Ausgangsspektrum $Y(f)$. Daraus lässt sich das Signal $y(t)$  durch Fourierrücktransformation gewinnen.  
*Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ nicht für alle Zeiten von ­$–∞$ bis $+∞$ vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren $X(f)$ und $Y(f)$ gar nicht existieren. In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektren]] übergegangen werden.
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*Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ nicht für alle Zeiten von ­$–∞$ bis $+∞$ vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren $X(f)$ und $Y(f)$ gar nicht existieren.  
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*In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektren]] übergegangen werden.
  
 
==Amplituden- und Leistungsdichtespektrum==
 
==Amplituden- und Leistungsdichtespektrum==
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*Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$ angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von $x(t)$ explizit nicht bekannt ist.  
 
*Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$ angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von $x(t)$ explizit nicht bekannt ist.  
 
*Das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Amplitudenspektrum]] $X(f)$ ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion $X(f)$ auch die gesamte Zeitfunktion $x(t)$ von $–∞$ bis $+∞$ über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
 
*Das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Amplitudenspektrum]] $X(f)$ ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion $X(f)$ auch die gesamte Zeitfunktion $x(t)$ von $–∞$ bis $+∞$ über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
*Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer $T_{\rm M}$ bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewandt werden.
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*Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer $T_{\rm M}$ bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.
 
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Satz:}$&nbsp;  
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$\text{Satz:}$&nbsp; Zwischen dem Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals $x(t)$ und dem Amplitudenspektrum $X_{\rm T}(f)$ des begrenzten Zeitausschnittes $x_{\rm T}(t)$ besteht der folgende Zusammenhang:  
Zwischen dem Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des unendlich ausgedehnten Zufallssignals $x(t)$ und dem Amplitudenspektrum $X_{\rm T}(f)$ des begrenzten Zeitausschnittes $x_{\rm T}(t)$ besteht der folgende Zusammenhang:  
 
 
:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$}}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$}}
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
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$\text{Beweis:}$&nbsp;  
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$\text{Beweis:}$&nbsp; Vorne wurde die  
Vorne wurde die  
 
 
[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen|Autokorrelationsfunktion]] eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion $x(t)$ wie folgt angegeben:  
 
[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen|Autokorrelationsfunktion]] eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion $x(t)$ wie folgt angegeben:  
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
 
M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
 
M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion $x(t)$ durch die auf den Zeitbereich $-T_{\rm M}/2$ bis $+T_{\rm M}/2$ begrenzte Funktion $x_{\rm T}(t)$ zu ersetzen. $x_{\rm T}(t)$ korrespondiert mit dem Spektrum $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]] und des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:  
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*Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion $x(t)$ durch die auf den Zeitbereich $-T_{\rm M}/2$ bis $+T_{\rm M}/2$ begrenzte Funktion $x_{\rm T}(t)$ zu ersetzen. $x_{\rm T}(t)$ korrespondiert mit dem Spektrum $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]] und des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:  
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
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T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm}
 
T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm}
 
\rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
 
\rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:
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*Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot  \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot  \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm
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T}(t)\cdot  {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f  t  } \hspace{0.1cm} \rm d \it
 
T}(t)\cdot  {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f  t  } \hspace{0.1cm} \rm d \it
 
t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f  \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
 
t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f  \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum $X_{\rm T}^{\star}(f)$. Daraus folgt weiter:  
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*Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum $X_{\rm T}^{\star}(f)$. Daraus folgt weiter:  
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot  \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot  \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm
 
T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d
 
T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d
 
\it f.$$
 
\it f.$$
Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchine],  
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*Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchine],  
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)
 
\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
 
\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:  
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:zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:  
 
:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$$}}
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\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$$
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<div align="right">'''q.e.d.'''</div>}}
  
 
==Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals==
 
==Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals==
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$\text{Beweis:}$&nbsp;  Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:  
 
$\text{Beweis:}$&nbsp;  Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:  
 
:$${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm}
 
:$${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm}
\frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.15cm}
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\frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm}
 
{ {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm}
 
{ {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm}
\frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.15cm}
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\frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm}
 
Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$
 
Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$
Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man das obige Ergebnis. }}
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Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man das obige Ergebnis.  
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<div align="right">'''q.e.d.'''</div>}}
  
  
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Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit Frequenzgang  
 
Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit Frequenzgang  
 
:$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$
 
:$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$
liegt weißes Rauschen $x(t)$ mit der Rauschleistungsdichte ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$ (zweiseitige Darstellung)) an.  
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liegt weißes Rauschen $x(t)$ mit der Rauschleistungsdichte ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$ (zweiseitige Darstellung) an.  
  
 
Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:  
 
Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:  
 
:$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta
 
:$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta
 
f)^2}.$$
 
f)^2}.$$
Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Ein- und Ausgang des Filters. Anmerkungen:
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Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Ein- und Ausgang des Filters.  
*Das Eingangssignal $x(t)$ kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt &nbsp; &rArr; &nbsp; Integral über ${\it Φ}_x(f)$ von $-\infty$ bis $+\infty$.  
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''Anmerkungen:''
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*Das Signal $x(t)$ kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt &nbsp; &rArr; &nbsp; Integral über ${\it Φ}_x(f)$ von $-\infty$ bis $+\infty$.  
 
*Das Ausgangssignal $y(t)$ ist niederfrequenter als $x(t)$ und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über ${\it Φ}_y(f)$.}}  
 
*Das Ausgangssignal $y(t)$ ist niederfrequenter als $x(t)$ und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über ${\it Φ}_y(f)$.}}  
  
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Satz:}$&nbsp;  Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den Gesetzen der Fouriertransformation und durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatzes]]:  
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$\text{Satz:}$&nbsp;  Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] und durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatzes]]:  
 
:$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(-
 
:$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(-
 
\tau).$$}}
 
\tau).$$}}
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{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  
Wir betrachten nochmals das gleicheSzenario wie im Beispiel 1, aber diesmal im Zeitbereich:
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Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie im $\text{Beispiel 1}$, aber diesmal im Zeitbereich:
 
*weißes Rauschen ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,
 
*weißes Rauschen ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,
 
*gaußförmiges Filter:
 
*gaußförmiges Filter:
:$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}
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:$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
  h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$$
 
  h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$$
  
 
Man erkennt aus dieser Darstellung:  
 
Man erkennt aus dieser Darstellung:  
 
*Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht $N_0/2$.  
 
*Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht $N_0/2$.  
*Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort $h(t)$ bzw. $h(–t)$ erhält man die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals. Diese ist wiederum gaußförmig.  
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*Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort $h(t)$ bzw. $h(–t)$ erhält man die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals.  
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*Auch die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals ist also gaußförmig.  
 
*Der AKF–Wert bei $τ = 0$ ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_y(f)$ und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz) $σ_y^2$.  
 
*Der AKF–Wert bei $τ = 0$ ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_y(f)$ und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz) $σ_y^2$.  
 
*Dagegen ergibt die Fläche unter $φ_y(τ)$ den LDS-Wert ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also $N_0/2$. }}
 
*Dagegen ergibt die Fläche unter $φ_y(τ)$ den LDS-Wert ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also $N_0/2$. }}
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==Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal==
 
==Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal==
 
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[[Datei:P_ID469__Sto_T_5_1_S5_Ganz_neu.png |frame| Zur KKF-Berechnung |right]]
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[[Datei:P_ID469__Sto_T_5_1_S5_Ganz_neu.png |frame| Zur Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion |right]]
 
Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang $H(f)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Weiter gilt:  
 
Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang $H(f)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Weiter gilt:  
*Das stochastische Eingangssignal $x(t)$ ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$. Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit $φ_x(τ)$, während das Leitsungsdichtespektrum (LDS) mit  ${\it Φ}_x(f)$ bezeichnet wird.
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*Das stochastische Eingangssignal $x(t)$ ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$.  
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*Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit $φ_x(τ)$, während das Leistungsdichtespektrum (LDS) mit  ${\it Φ}_x(f)$ bezeichnet wird.
 
*Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses  $\{y(t)\}$ am Filterausgang sind die Musterfunktion $y(t)$, die Autokorrelationsfunktion $φ_y(τ)$ sowie das Leitsungsdichtespektrum  ${\it Φ}_y(f)$.
 
*Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses  $\{y(t)\}$ am Filterausgang sind die Musterfunktion $y(t)$, die Autokorrelationsfunktion $φ_y(τ)$ sowie das Leitsungsdichtespektrum  ${\it Φ}_y(f)$.
 
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$\text{Beweis:}$&nbsp;  Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen $x(t)$ und $y(t)$:
 
$\text{Beweis:}$&nbsp;  Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen $x(t)$ und $y(t)$:
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
Mit der allgemeingültigen Beziehung $y(t) = h(t) \ast x(t)$ und der formalen Integrationsvariablen $θ$ lässt sich hierfür auch schreiben:
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*Mit der allgemeingültigen Beziehung $y(t) = h(t) \ast x(t)$ und der formalen Integrationsvariablen $θ$ lässt sich hierfür auch schreiben:
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$
Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung erhält man:  
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*Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung erhält man:  
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}
 
h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
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M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}
 
M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}
 
\hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
 
\hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt $τ - θ$:
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*Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt $τ - θ$:
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot  \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}  {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)}  .$$  
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot  \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}  {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)}  .$$  
Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise. }}
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*Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.  
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Version vom 23. August 2018, 07:56 Uhr

# ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL #


Dieses Kapitel beschreibt den Einfluss eines Filters auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) stochastischer Signale.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • die Berechnung von AKF und LDS am Filterausgang (Stochastische Systemtheorie ),
  • die Struktur und die Darstellung Digitaler Filter  (nichrekursiv und rekursiv),
  • die Dimensionierung  der Filterkoeffizienten für eine vorgegebene AKF,
  • die Bedeutung des Matched-Filters  für Nachrichtensysteme (SNR-Maximierung),
  • die Eigenschaften des Wiener-Kolmogorow-Filters  zur Signalrekonstruktion.


Weitere Informationen zum Thema „Filterung stochastischer Signale” sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

  • Kapitel 10: Filterung stochastischer Signale (Programm fil)
  • Kapitel 11: Optimale Filter (Programm ofi)


des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

  • dem Lehrsoftwarepaket LNTsim  ⇒  Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und
  • der Praktikumsanleitung - Teil B  ⇒  Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10: Seite 229-248 und Kapitel 11: Seite 249-270.


Problemstellung


Filtereinfluss auf Spektrum und LDS

Wir betrachten wie im Buch Lineare zeitinvariante Systeme die rechts skizzierte Anordnung, wobei das System

  • sowohl durch die Impulsantwort $h(t)$
  • als auch durch seinen Frequenzgang $H(f)$


eindeutig beschrieben ist. Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit– und Frequenzbereich ist durch die Fouriertransformation gegeben.
Legt man an den Eingang das Signal $x(t)$ an und bezeichnet das Ausgangssignal mit $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:

  • Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Die folgende Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen:
$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$
  • Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen. Das Spektrum $X(f)$ ist die Fouriertransformierte von $x(t)$. Die Multiplikation mit dem Frequenzgang $H(f)$ führt zum Ausgangsspektrum $Y(f)$. Daraus lässt sich das Signal $y(t)$ durch Fourierrücktransformation gewinnen.
  • Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ nicht für alle Zeiten von ­$–∞$ bis $+∞$ vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren $X(f)$ und $Y(f)$ gar nicht existieren.
  • In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten Leistungsdichtespektren übergegangen werden.

Amplituden- und Leistungsdichtespektrum


Wir betrachten einen ergodischen Zufallsprozess $\{x(t)\}$, dessen Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ als bekannt vorausgesetzt wird. Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es gelten die folgenden Aussagen:

Zur AKF- und LDS-Berechnung eines Zufallssignals
  • Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$ angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von $x(t)$ explizit nicht bekannt ist.
  • Das Amplitudenspektrum $X(f)$ ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion $X(f)$ auch die gesamte Zeitfunktion $x(t)$ von $–∞$ bis $+∞$ über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
  • Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer $T_{\rm M}$ bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.


$\text{Satz:}$  Zwischen dem Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals $x(t)$ und dem Amplitudenspektrum $X_{\rm T}(f)$ des begrenzten Zeitausschnittes $x_{\rm T}(t)$ besteht der folgende Zusammenhang:

$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$


$\text{Beweis:}$  Vorne wurde die Autokorrelationsfunktion eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion $x(t)$ wie folgt angegeben:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
  • Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion $x(t)$ durch die auf den Zeitbereich $-T_{\rm M}/2$ bis $+T_{\rm M}/2$ begrenzte Funktion $x_{\rm T}(t)$ zu ersetzen. $x_{\rm T}(t)$ korrespondiert mit dem Spektrum $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des ersten Fourierintegrals und des Verschiebungssatzes:
$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm} \rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
  • Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:
$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \it t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
  • Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum $X_{\rm T}^{\star}(f)$. Daraus folgt weiter:
$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
  • Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von Wiener und Chintchine,
$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:
$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$$
q.e.d.

Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals


Kombiniert man die in den beiden letzten Abschnitten gemachten Aussagen, so kommt man zu folgendem wichtigen Ergebnis:

$\text{Satz:}$  Das Leistungsdichtespektrum (LDS) am Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems mit dem Frequenzgang $H(f)$ ergibt sich als das Produkt aus dem Eingangs–LDS ${\it Φ}_x(f)$ und der Leistungsübertragungsfunktion $\vert H(f)\vert ^2$.

$${ {\it \Phi}_y(f)} = { {\it \Phi}_x(f)} \cdot \vert H(f)\vert ^2.$$


$\text{Beweis:}$  Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:

$${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} { {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$

Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man das obige Ergebnis.

q.e.d.


Das folgende Beispiel verdeutlicht den Zusammenhang bei Weißem Rauschen.

Filtereinfluss im Frequenzbereich

$\text{Beispiel 1:}$  Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit Frequenzgang

$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$

liegt weißes Rauschen $x(t)$ mit der Rauschleistungsdichte ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$ (zweiseitige Darstellung) an.

Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:

$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}.$$

Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Ein- und Ausgang des Filters.
Anmerkungen:

  • Das Signal $x(t)$ kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt   ⇒   Integral über ${\it Φ}_x(f)$ von $-\infty$ bis $+\infty$.
  • Das Ausgangssignal $y(t)$ ist niederfrequenter als $x(t)$ und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über ${\it Φ}_y(f)$.

Autokorrelationsfunktion des Filterausgangssignals


Das berechnete Leistungsdichtespektrum (LDS) kann auch wie folgt geschrieben werden:

$${{\it \Phi}_y(f)} = {{\it \Phi}_x(f)} \cdot H(f) \cdot H^{\star}(f)$$

$\text{Satz:}$  Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation und durch Anwendung des Faltungssatzes:

$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(- \tau).$$


Beim Übergang vom Spektral– in den Zeitbereich ist zu beachten:

  • Einzusetzen sind jeweils die Fourierrücktransformierten, nämlich
$${{\it \varphi}_y(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_y(f)}, \hspace{0.5cm}{{\it \varphi}_x(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_x(f)}, \hspace{0.5cm}{h(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{H(f)}, \hspace{0.5cm}{h(-\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{H^{\star}(f)}$$
  • Zudem wird aus jeder Multiplikation eine Faltungsoperation.


Filtereinfluss im Zeitbereich

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie im $\text{Beispiel 1}$, aber diesmal im Zeitbereich:

  • weißes Rauschen ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,
  • gaußförmiges Filter:
$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$$

Man erkennt aus dieser Darstellung:

  • Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht $N_0/2$.
  • Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort $h(t)$ bzw. $h(–t)$ erhält man die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals.
  • Auch die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals ist also gaußförmig.
  • Der AKF–Wert bei $τ = 0$ ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_y(f)$ und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz) $σ_y^2$.
  • Dagegen ergibt die Fläche unter $φ_y(τ)$ den LDS-Wert ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also $N_0/2$.

Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal


Zur Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion

Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang $H(f)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Weiter gilt:

  • Das stochastische Eingangssignal $x(t)$ ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$.
  • Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit $φ_x(τ)$, während das Leistungsdichtespektrum (LDS) mit ${\it Φ}_x(f)$ bezeichnet wird.
  • Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses $\{y(t)\}$ am Filterausgang sind die Musterfunktion $y(t)$, die Autokorrelationsfunktion $φ_y(τ)$ sowie das Leitsungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$.


$\text{Satz:}$  Für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen dem Eingangs– und dem Ausgangssignal gilt:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$

Hierbei bezeichnet $h(τ)$ ist die Impulsantwort des Filters (mit der Zeitvariablen $τ$ anstelle von $t$).


$\text{Beweis:}$  Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen $x(t)$ und $y(t)$:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
  • Mit der allgemeingültigen Beziehung $y(t) = h(t) \ast x(t)$ und der formalen Integrationsvariablen $θ$ lässt sich hierfür auch schreiben:
$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$
  • Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung erhält man:
$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
  • Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt $τ - θ$:
$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$
  • Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.
q.e.d.


$\text{Fazit:}$  Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:

$${ {\it \Phi}_{xy}(f)} = H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} .$$

Die beiden Gleichungen zeigen, dass der Filterfrequenzgang $H(f)$ aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:

  • die statistischen Kenngrößen am Eingang, entweder die AKF $φ_x(τ)$ oder das LDS ${\it Φ}_x(f)$,
  • sowie die Kreuzkorrelationsfunktion $φ_{xy}(τ)$ bzw. deren Fouriertransformierte ${\it Φ}_{xy}(f)$.

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass

Aufgabe 5.1Z: $\cos^2$-Rauschbegrenzung

Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs

Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal