Digitale Filter

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Allgemeines Blockschaltbild


Jedes Signal  $x(t)$  kann an einem Rechner nur durch die Folge  $〈x_ν〉$  seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei  $x_ν$  für  $x(ν · T_{\rm A})$  steht.

Blockschaltbild eines digitalen Filters
  • Der zeitliche Abstand  $T_{\rm A}$  zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das  Abtasttheorem  nach oben begrenzt.
  • Um den Einfluss eines linearen Filters mit Frequenzgang  $H(f)$  auf das zeitdiskrete Signal  $〈x_ν〉$  zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben.
  • Rechts sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.


Für die Abtastwerte des Ausgangssignals gilt somit:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$


Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

  • Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Ausgangs  $y_ν$  vom aktuellen Eingang  $x_ν$  und von den  $M$  vorherigen Eingangswerten  $x_{ν–1}$, ... , $x_{ν–M}.$
  • Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von  $y_ν$  durch die vorherigen Werte  $y_{ν–1}$, ... , $y_{ν–M}$  am Filterausgang.  Sie gibt somit den rekursiven Teil des Filters an.
  • Man bezeichnet den ganzzahligen Parameter  $M$  als die Ordnung  des digitalen Filters.

Nichtrekursives Filter


$\text{Definition:}$  Sind alle Rückführungskoeffizienten  $b_{\mu} = 0$, so spricht von einem  nichtrekursiven Filter.


Ein solches nichtrekursives Filter  $M$–ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:

Nichtrekursives digitales Filter
  • Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt nur vom aktuellen und den  $M$  vorherigen Eingangswerten ab:
$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$
  • Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit  $x(t) = δ(t)$:
$$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )} .$$
  • Das entsprechende Eingangssignal in zeitdiskreter Schreibweise lautet:   $x_ν ≡0$  mit Ausnahme von  $x_0 =1$.
  • Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt daraus für den Filterfrequenzgang:
$$H(f) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \mu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} T_{\rm A} } } .$$

$\text{Beispiel 1:}$  Ein Zweiwegekanal, bei dem

  • das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um  $2\ \rm µ s$  verzögert ankommt, und
  • in  $4\ \rm µ s$  Abstand – also absolut zur Zeit  $t = 6\ \rm µ s$  – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,


kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:

$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$

Rekursives Filter


$\text{Definition:}$  Sind alle Vorwärtskoeffizienten identisch  $a_\nu = 0$  mit Ausnahme von  $a_0$,   so liegt ein  (rein) rekursives Filter  vor.


Rekursives digitales Filter erster Ordnung

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall  $M = 1$  (Blockschaltbild entsprechend der Grafik).  Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf:

  • Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab:
$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$
  • Dies zeigt die folgende Rechung:
$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2}. $$


$\text{Definition:}$ 

  • Die  zeitdiskrete Impulsantwort  $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$  ist definitionsgemäß der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei  $t =0$  anliegt.
  • Bei einem rekursiven Filter reicht die (zeitdiskrete) Impulsantwort schon mit  $M = 1$  bis ins Unendliche:
$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉= 〈\hspace{0.05cm}a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2 \ \text{...} \hspace{0.05cm}〉.$$


Weiter ist anzumerken:

  • Aus Stabilitätsgründen muss  $b_1 < 1$  gelten.
  • Bei  $b_1 = 1$  würde sich die Impulsantwort  $h(t)$  bis ins Unendliche erstrecken und bei  $b_1 > 1$  würde  $h(t)$  sogar bis ins Unendliche anklingen.
  • Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor  $b_1$  kleiner als die vorherige Diraclinie:
$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$
Zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Filters

$\text{Beispiel 2:}$  Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort  $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$  eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern  $a_0 = 1$  und  $b_1 = 0.6$.

  • Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
  • Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils  $b_1 = 0.6$.


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung

Aufgabe 5.3Z: Nichtrekursives Filter

Aufgabe 5.4: Sinusgenerator