Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung

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Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $b_1$, die jeweils Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen können.

Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1”   ⇒  $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:

$$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0,\;0,\;0,\;...} \right\rangle .$$

Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Der Sonderfall $b_1 = 1$ führt zu einem nichtrekursiven Filter.
	Mit $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0$ gilt $y(t) = x(t)$.
	Mit $a_0 = 0$, $a_1 = 0.5$ und $b_1 = 0$ ist $y(t)$ gegenüber $x(t)$ unverzerrt.

2

Es gelte nun $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0.6$. Berechnen Sie die Ausgangsfolge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$. Welcher Ausgangswert $y_3$ tritt zum Zeitpunkt $t = 3 \cdot T_{\rm A}$ auf?

$a_1 = 0\text{:}\ \ y_3 \ = $

3

Es gelte weiter $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0.6$. Auf welchen Bereich $0$, ... , $M \cdot T_{\rm A}$ ist die Impulsantwort beschränkt, wenn man Werte kleiner als 0.001 vernachlässigt?

$M \ = $

4

Weiter gelte $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$. Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus (2) den Ausgangswert $y_3$ für $a_1 = -0.5$.

$a_1 = -0.5\text{:}\ \ y_3 \ = $

Musterlösung

Musterlösung

1.  Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt: b₁ = 0. Sind zusätzlich a₀ = 1 und a₁ = 0, so sind die Folgen 〈x_ν〉 und 〈y_ν〉 und damit natürlich auch die Signale x(t) und y(t) gleich. Mit a₀ = 0 und a₁ = 1 ist y(t) = x(t – T_A) um T_A verzögert, mit a₁ = 0.5 zusätzlich gedämpft. Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3.

2.  Zum Zeitpunkt ν = 0 ist y_ν = x_ν = 1. Für alle weiteren Zeitpunkte ν gilt x_ν = 0 und somit auch:

$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$

Insbesondere ist y₃ = b₁³ = 0.6³= 0.216.

3.  Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten:

$$y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$$

Dies führt zum Ergebnis:

$$M + 1 \ge \frac{{\lg \left( {0.001} \right)}}{{\lg \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51.\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$

Die Überprüfung der Werte y₁₃ ≈  0.0013 und y₁₄ ≈  0.0008 bestätigt dieses Ergebnis.

4.  Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man das Filter gegenüber Punkt b) nicht verändert (a₁ = 0) und dafür die Eingangsfolge

$$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;...} \right\rangle$$

berücksichtigt. Man erhält dann allgemein für ν > 0:

$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$

Mit b₁ = 0.6 und a₁ = –0.5 ergibt sich daraus

$$y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1} ,$$

und somit die Folge:

$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;...} \right\rangle .$$

Der gesuchte Wert ist y₄ = 0.036.