Aufgaben:Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | *Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt: $b_1 = 0$. | ||
| + | *Sind zusätzlich $a_0 = 1$ und $a_1 = 0$, so sind die Folgen $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$und damit natürlich auch die Signale $x(t)$ und $y(t)$ gleich. | ||
| + | *Mit $a_0 = 0$ und $a_1 = 1$ ist $y(t) = x(t-T_{\rm A})$ um $T_{\rm A}$ verzögert, mit $a_1 = 0.5$ zusätzlich gedämpft. | ||
| + | *Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge. | ||
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| + | '''(2)''' Zum Zeitpunkt $\nu = 0$ ist $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$. Für alle weiteren Zeitpunkte $\nu$ gilt $x_{\nu} = 0$ und somit auch: | ||
:$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$ | :$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$ | ||
| + | Insbesondere ist $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$. | ||
| − | + | '''(3)''' Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten: $y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$ Dies führt zum Ergebnis: | |
| − | + | :$$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$ | |
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| − | :$$M + 1 \ge \frac{{\lg \left( {0.001} \right)}}{{\lg \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51 | ||
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| − | + | Die Überprüfung der Werte $y_{13} \approx 0.0013$ und $y_{14} \approx 0.0008$ bestätigt dieses Ergebnis. | |
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| − | + | '''(4)''' Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man das Filter gegenüber der Teilaufgabe (2) nicht verändert $(a_1 = 0)$ und dafür die Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;...} \right\rangle$ berücksichtigt. Man erhält dann allgemein für $\nu \gt 0$: | |
:$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$ | :$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$ | ||
| − | + | Mit $b_1 = 0.6$ und $a_1 = -0.5$ ergibt sich daraus $y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1} ,$ | |
| − | + | und somit die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;...} \right\rangle .$ | |
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| − | + | Der gesuchte Wert ist $y_4\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$. | |
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Version vom 18. April 2017, 17:53 Uhr
Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $b_1$, die jeweils Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen können.
Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1” ⇒ $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:
- $$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0,\;0,\;0,\;...} \right\rangle .$$
Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt: $b_1 = 0$.
- Sind zusätzlich $a_0 = 1$ und $a_1 = 0$, so sind die Folgen $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$und damit natürlich auch die Signale $x(t)$ und $y(t)$ gleich.
- Mit $a_0 = 0$ und $a_1 = 1$ ist $y(t) = x(t-T_{\rm A})$ um $T_{\rm A}$ verzögert, mit $a_1 = 0.5$ zusätzlich gedämpft.
- Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge.
(2) Zum Zeitpunkt $\nu = 0$ ist $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$. Für alle weiteren Zeitpunkte $\nu$ gilt $x_{\nu} = 0$ und somit auch:
- $$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$
Insbesondere ist $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.
(3) Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten: $y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$ Dies führt zum Ergebnis:
- $$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$
Die Überprüfung der Werte $y_{13} \approx 0.0013$ und $y_{14} \approx 0.0008$ bestätigt dieses Ergebnis.
(4) Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man das Filter gegenüber der Teilaufgabe (2) nicht verändert $(a_1 = 0)$ und dafür die Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;...} \right\rangle$ berücksichtigt. Man erhält dann allgemein für $\nu \gt 0$:
- $$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$
Mit $b_1 = 0.6$ und $a_1 = -0.5$ ergibt sich daraus $y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1} ,$ und somit die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;...} \right\rangle .$
Der gesuchte Wert ist $y_4\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.
