Aufgaben:Aufgabe 4.10: Turbocoder für UMTS und LTE: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die Mobilfunkstandards [[Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_UMTS|UMTS]] und [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE|LTE]] verwenden jeweils einen Turbocode, der weitgehend identisch ist mit dem im Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes|Grundlegendes zu den Turbocodes]] beschriebenen Coder. | + | Die Mobilfunkstandards [[Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_UMTS|UMTS]] und [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE|LTE]] verwenden jeweils einen Turbocode, der weitgehend identisch ist mit dem im Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes|Grundlegendes zu den Turbocodes]] beschriebenen Coder. |
| − | * Der $1/n$–Faltungscode ist systematisch, das heißt, dass die Codesequenz $\underline{x}$ die Informationssequenz $\underline{u}$ als Komponente beinhaltet. | + | * Der $1/n$–Faltungscode ist systematisch, das heißt, dass die Codesequenz $\underline{x}$ die Informationssequenz $\underline{u}$ als Komponente beinhaltet. |
| − | * Die Paritysequenzen $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ basieren auf der gleichen Übertragungsfunktion: | + | * Die Paritysequenzen $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ basieren auf der gleichen Übertragungsfunktion: |
:$$G_1(D) = G_2(D) = G(D).$$ | :$$G_1(D) = G_2(D) = G(D).$$ | ||
| − | * $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ verwenden allerdings unterschiedliche Eingangssequenzen $\underline{u}$ bzw. $\underline{u}_{\pi}$. Hierbei kennzeichnet ${\rm \Pi}$ den Interleaver, bei UMTS und LTE meist ein $S$–Random–Interleaver. | + | * $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ verwenden allerdings unterschiedliche Eingangssequenzen $\underline{u}$ bzw. $\underline{u}_{\pi}$. Hierbei kennzeichnet ${\rm \Pi}$ den Interleaver, bei UMTS und LTE meist ein $S$–Random–Interleaver. |
[[Datei:P_ID3052__KC_A_4_10b_v2.png|left|frame|Gegebene Filterstruktur]] | [[Datei:P_ID3052__KC_A_4_10b_v2.png|left|frame|Gegebene Filterstruktur]] | ||
| − | <br><br><br><br><br>Der wesentliche Unterschied gegenüber der Beschreibung im Theorieteil ergibt sich durch eine andere Übertragungsfunktion $G(D)$, die durch die | + | <br><br><br><br><br><br>Der wesentliche Unterschied gegenüber der Beschreibung im Theorieteil ergibt sich durch eine andere Übertragungsfunktion $G(D)$, die durch die links gezeichnete rekursive Filterstruktur gegeben ist. |
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| − | ** die [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung|algebraische und polynomische Beschreibung von Faltungscodes]], | + | ** die [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung|algebraische und polynomische Beschreibung von Faltungscodes]], |
| − | ** die [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm|Coderbeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm]]. | + | ** die [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm|Coderbeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm]]. |
| − | * Weitere Hinweise zur Vorgehensweise finden Sie in [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe 4.8]] und [[Aufgaben:Aufgabe_4.09:_Recursive_Systematic_Convolutional_Codes|Aufgabe 4.9]]. | + | * Weitere Hinweise zur Vorgehensweise finden Sie in der [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe 4.8]] und der [[Aufgaben:Aufgabe_4.09:_Recursive_Systematic_Convolutional_Codes|Aufgabe 4.9]]. |
| − | * Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird zur einfacheren Beschreibung in den Teilaufgaben teilweise durch deren $D$–Transformierte angegeben. Beispielsweise gilt: | + | * Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird zur einfacheren Beschreibung in den Teilaufgaben teilweise durch deren $D$–Transformierte angegeben. Beispielsweise gilt: |
:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad | :$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad | ||
U(D) = D+ D^2\hspace{0.05cm},$$ | U(D) = D+ D^2\hspace{0.05cm},$$ | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Wie lauten die Kenngrößen des betrachteten Turbocodes (Gedächtnis $m$, Einflusslänge $\nu$, Rate $R$)? | + | {Wie lauten die Kenngrößen des betrachteten Turbocodes (Gedächtnis $m$, Einflusslänge $\nu$, Rate $R$)? |
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$ m \hspace{0.2cm} = \ ${ 3 3% } | $ m \hspace{0.2cm} = \ ${ 3 3% } | ||
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$R \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.333 3% } | $R \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.333 3% } | ||
| − | {Wie lauten die Übertragungsfunktionen $G_1(D) = G_2(D) = G(D)$? | + | {Wie lauten die (identischen) Übertragungsfunktionen $G_1(D) = G_2(D) = G(D)$? |
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| − | + Es gilt $G(D) = (1 + D + D^3)/(1 + D^2 + D^3)$. | + | + Es gilt: $G(D) = (1 + D + D^3)/(1 + D^2 + D^3)$. |
| − | - Es gilt $G(D) = (1 + D^2 + D^3)/(1 + D + D^3)$. | + | - Es gilt: $G(D) = (1 + D^2 + D^3)/(1 + D + D^3)$. |
| − | {Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$? | + | {Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$ ? |
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| − | - Es gilt: $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$ | + | - Es gilt: $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$ |
| − | + Es gilt: $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$. | + | + Es gilt: $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})$. |
| − | + $\underline{g}$ setzt sich bis ins Unendliche fort. | + | + $\underline{g}$ setzt sich bis ins Unendliche fort. |
| − | {Gibt es periodische Anteile innerhalb der Impulsantwort $\underline{g}$? | + | {Gibt es periodische Anteile innerhalb der Impulsantwort $\underline{g}$ ? |
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| − | + Ja, mit Periodendauer $P = 7$. | + | + Ja, mit der Periodendauer $P = 7$. |
| − | - Ja, mit Periodendauer $P = 8$. | + | - Ja, mit der Periodendauer $P = 8$. |
- Nein. | - Nein. | ||
| − | {Es sei nun $U(D) = D + D^2$. Welche Aussagen stimmen? | + | {Es sei nun $U(D) = D + D^2$. Welche Aussagen stimmen? |
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| − | + Die Ausgangsfolge $\underline{p}$ beinhaltet einen periodischen Anteil. | + | + Die Ausgangsfolge $\underline{p}$ beinhaltet einen periodischen Anteil. |
| − | + Die Periode $P$ ist gegenüber $\underline{g}$ unverändert. | + | + Die Periode $P$ ist gegenüber $\underline{g}$ unverändert. |
| − | + Das Hamming–Gewicht der Eingangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$. | + | + Das Hamming–Gewicht der Eingangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$. |
| − | - Das Hamming–Gewicht der Ausgangsseqenz ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$. | + | - Das Hamming–Gewicht der Ausgangsseqenz ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$. |
| − | {Welche Aussagen treffen für $U(D) = D + D^8$ zu? | + | {Welche Aussagen treffen für $U(D) = D + D^8$ zu? |
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| − | - Die Ausgangsfolge $\underline{p}$ beinhaltet einen periodischen Anteil. | + | - Die Ausgangsfolge $\underline{p}$ beinhaltet einen periodischen Anteil. |
| − | - Die Periode $P$ ist gegenüber $\underline{g}$ unverändert. | + | - Die Periode $P$ ist gegenüber $\underline{g}$ unverändert. |
| − | + Das Hamming–Gewicht der Eingangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$. | + | + Das Hamming–Gewicht der Eingangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$. |
| − | + Das Hamming–Gewicht der Ausgangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$. | + | + Das Hamming–Gewicht der Ausgangssequenz ist $w_{\rm H}(\underline{p}) = 6$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | [[Datei:P_ID3060__KC_A_4_10c_v3.png|right|frame|Polynomdivision $G(D) = (1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$]] | + | [[Datei:P_ID3060__KC_A_4_10c_v3.png|right|frame|Polynomdivision zur Teilaufgabe '''(3)''': $G(D) = (1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$]] |
'''(1)''' Die Codeparameter sind $k = 1$ und $n = 3$ ⇒ Coderate $\underline{R = 1/3}$. | '''(1)''' Die Codeparameter sind $k = 1$ und $n = 3$ ⇒ Coderate $\underline{R = 1/3}$. | ||
*Das Gedächtnis (englisch: <i>Memory</i>) ist $\underline{m = 3}$. | *Das Gedächtnis (englisch: <i>Memory</i>) ist $\underline{m = 3}$. | ||
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\hspace{0.05cm}. $$ | \hspace{0.05cm}. $$ | ||
| − | Im Zustandsübergangsdiagramm (rechts) ist die Impulsantwort $\underline{g}$ gelb hinterlegt. Die Impulsantwort ergibt sich als die Paritysequenz $\underline{p}$ für die Informationssequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$. | + | Im Zustandsübergangsdiagramm (rechts) ist die Impulsantwort $\underline{g}$ gelb hinterlegt. Die Impulsantwort ergibt sich als die Paritysequenz $\underline{p}$ für die Informationssequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$. |
| − | * Die Übergänge im Diagramm sind mit „$u_i|\underline{x}_i$” beschriftet, was gleichbedeutend ist mit „$u_i|u_i p_i$”. Die Paritysequenz $\underline{p} | + | * Die Übergänge im Diagramm sind mit „$u_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\underline{x}_i$” beschriftet, was gleichbedeutend ist mit „$u_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}u_i \hspace{0.05cm}p_i$”. |
| + | *Die Paritysequenz $\underline{p} \ (=$ Impulsantwort $\underline{g})$ ergibt sich somit aus dem jeweiligen zweiten Coderausgangssymbol. | ||
* $\underline{g}$ wird durch folgende Zustände repräsentiert: | * $\underline{g}$ wird durch folgende Zustände repräsentiert: | ||
:$$S_0 → [S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 ] → [S_1 → \ ... \ → S_4] → \ \text{ ... } $$ | :$$S_0 → [S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 ] → [S_1 → \ ... \ → S_4] → \ \text{ ... } $$ | ||
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'''(5)''' Die folgende Grafik zeigt die Lösung anhand der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Es gilt $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... } )$. | '''(5)''' Die folgende Grafik zeigt die Lösung anhand der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Es gilt $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... } )$. | ||
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Man erkennt, dass die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u> richtig sind: | Man erkennt, dass die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u> richtig sind: | ||
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Im Übergangsdiagramm werden zunächst die Zustände $S_0 → S_0 → S_1 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$ durchlaufen. Danach folgt (unendlich oft) der periodische Anteil $S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$. | Im Übergangsdiagramm werden zunächst die Zustände $S_0 → S_0 → S_1 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$ durchlaufen. Danach folgt (unendlich oft) der periodische Anteil $S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$. | ||
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'''(6)''' Die letzte Grafik zeigt die Lösung für $U(D) = D + D^8 \Rightarrow \underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$. | '''(6)''' Die letzte Grafik zeigt die Lösung für $U(D) = D + D^8 \Rightarrow \underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$. | ||
| − | [[Datei:P_ID3063__KC_A_4_10f_v2.png| | + | [[Datei:P_ID3063__KC_A_4_10f_v2.png|right|frame|$\underline{p} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... }) \cdot \mathbf{G}$]] |
Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3 und 4</u>: | Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3 und 4</u>: | ||
*Die Eingangssequenz $\underline{u}$ beinhaltet zwei Einsen und die Ausgangssequenz $\underline{p}$ sechs Einsen. | *Die Eingangssequenz $\underline{u}$ beinhaltet zwei Einsen und die Ausgangssequenz $\underline{p}$ sechs Einsen. | ||
| − | *Ab der Position 10 ist nun die Ausgangssequenz $\underline{p} \equiv\underline{0}$ ⇒ die Vorschläge 1 und 2 treffen also nicht zu. | + | *Ab der Position 10 ist nun die Ausgangssequenz $\underline{p} \equiv\underline{0}$ <br>⇒ die Vorschläge 1 und 2 treffen also nicht zu. |
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''Weitergehende Hinweise:'' | ''Weitergehende Hinweise:'' | ||
| − | * Für einen Turbocode sind insbesondere solche Eingangsfolgen $\underline{u}$, deren $D$–Transformierte als $U(D) = f(D) \cdot [1 + D^{ | + | * Für einen Turbocode sind insbesondere solche Eingangsfolgen $\underline{u}$, deren $D$–Transformierte als $U(D) = f(D) \cdot [1 + D^{P}]$ darstellbar sind, äußerst ungünstig. |
*Sie bewirken den <i>Error Floor</i>, wie er auf der Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Leistungsf.C3.A4higkeit_der_Turbocodes|Leistungsfähigkeit der Turbocodes]] im Theorieteil zu erkennen ist. | *Sie bewirken den <i>Error Floor</i>, wie er auf der Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Leistungsf.C3.A4higkeit_der_Turbocodes|Leistungsfähigkeit der Turbocodes]] im Theorieteil zu erkennen ist. | ||
| − | *$P$ gibt dabei die Periode der Impulsantwort $\underline{g}$ an. | + | *$P$ gibt dabei die Periode der Impulsantwort $\underline{g}$ an. |
| − | *In unserem Beispiel gilt $f(D) = D$ und $P = 7$. | + | *In unserem Beispiel gilt $f(D) = D$ und $P = 7$. |
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 9. Juli 2019, 18:10 Uhr
Turbocoder für UMTS und LTE
Die Mobilfunkstandards UMTS und LTE verwenden jeweils einen Turbocode, der weitgehend identisch ist mit dem im Kapitel Grundlegendes zu den Turbocodes beschriebenen Coder.
- Der $1/n$–Faltungscode ist systematisch, das heißt, dass die Codesequenz $\underline{x}$ die Informationssequenz $\underline{u}$ als Komponente beinhaltet.
- Die Paritysequenzen $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ basieren auf der gleichen Übertragungsfunktion:
- $$G_1(D) = G_2(D) = G(D).$$
- $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ verwenden allerdings unterschiedliche Eingangssequenzen $\underline{u}$ bzw. $\underline{u}_{\pi}$. Hierbei kennzeichnet ${\rm \Pi}$ den Interleaver, bei UMTS und LTE meist ein $S$–Random–Interleaver.
Gegebene Filterstruktur
Der wesentliche Unterschied gegenüber der Beschreibung im Theorieteil ergibt sich durch eine andere Übertragungsfunktion $G(D)$, die durch die links gezeichnete rekursive Filterstruktur gegeben ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Turbocodes.
- Erwartet werden Kenntnisse über
- Weitere Hinweise zur Vorgehensweise finden Sie in der Aufgabe 4.8 und der Aufgabe 4.9.
- Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird zur einfacheren Beschreibung in den Teilaufgaben teilweise durch deren $D$–Transformierte angegeben. Beispielsweise gilt:
- $$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = D+ D^2\hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = D+ D^8\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
Polynomdivision zur Teilaufgabe (3): $G(D) = (1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$
(1) Die Codeparameter sind $k = 1$ und $n = 3$ ⇒ Coderate $\underline{R = 1/3}$.
- Das Gedächtnis (englisch: Memory) ist $\underline{m = 3}$.
- Die Einflusslängen ergeben sich zu $\nu = 1, \ \nu_2 = 4$ und $\nu_3 = 4$ ⇒ Gesamteinflusslänge $\underline{\nu = 9}$.
(2) Wie der Vergleich des rekursiven Filters auf der Angabenseite mit der Filterstruktur im Theorieteil für gebrochen–rationales $G(D)$ zeigt, ist der Lösungsvorschlag 1 richtig.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
Die obere Grafik verdeutlicht die Polynomdivision $(1 + D + D^3) \ / \ (1 + D^2 + D^3)$. Zur Erläuterung:
- Abgebrochen ist die Darstellung mit dem Rest $D^8 + D^9 = D^7 \cdot (D + D^2)$.
- Damit gilt auch:
- $$(D^8 + D^9) \hspace{0.05cm} /\hspace{0.05cm} (1+ D^2+ D^3 ) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} D^7 \cdot (D+ D^2+ D^3 + D^6) + {\rm Rest_2}$$
- Nach Zusammenfassen:
- $$G(D) = 1 + D + D^2 + D^3 + D^6 + D^8+ D^9+ D^{10} + D^{13} + \hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}. $$
- Die $D$–Rücktransformierte ergibt den Lösungsvorschlag 2:
- $$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$
- Die Impulsantwort setzt sich bis ins Unendliche fort ⇒ Lösungsvorschlag 3 ist ebenfalls richtig.
Zustandsübergangsdiagramm und Impulsantwort
(4) Die Impulsantwort kann wie folgt ausgedrückt werden:
- $$\underline{g}= \Big (\hspace{0.03cm}1\hspace{0.03cm}, \big [ \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0\hspace{0.03cm} \big ]_{\rm per} \Big ) \hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{P = 7} \hspace{0.05cm}. $$
Im Zustandsübergangsdiagramm (rechts) ist die Impulsantwort $\underline{g}$ gelb hinterlegt. Die Impulsantwort ergibt sich als die Paritysequenz $\underline{p}$ für die Informationssequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$.
- Die Übergänge im Diagramm sind mit „$u_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\underline{x}_i$” beschriftet, was gleichbedeutend ist mit „$u_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}u_i \hspace{0.05cm}p_i$”.
- Die Paritysequenz $\underline{p} \ (=$ Impulsantwort $\underline{g})$ ergibt sich somit aus dem jeweiligen zweiten Coderausgangssymbol.
- $\underline{g}$ wird durch folgende Zustände repräsentiert:
- $$S_0 → [S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 ] → [S_1 → \ ... \ → S_4] → \ \text{ ... } $$
(5) Die folgende Grafik zeigt die Lösung anhand der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Es gilt $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... } )$.
$\underline{p} = (0, \, 1, \, 1, \, \text{ ... } ) \cdot \mathbf{G}$
Man erkennt, dass die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3 richtig sind:
- Die vorliegende Paritysequenz $\underline{p}$ hat die gleiche Periode $P = 7$ wie die Impulsantwort $\underline{g}$.
- Das Hamming–Gewicht der (begrenzten) Eingangsfolge ist tatsächlich $w_{\rm H}(\underline{u}) = 2$.
- Der Vorschlag 4 ist falsch. Vielmehr gilt hier für die semi–infinite Ausgangssequenz: $w_{\rm H}(\underline{p}) → \infty$.
Im Übergangsdiagramm werden zunächst die Zustände $S_0 → S_0 → S_1 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$ durchlaufen. Danach folgt (unendlich oft) der periodische Anteil $S_1 → S_2 → S_5 → S_3 → S_7 → S_6 → S_4 → S_1$.
(6) Die letzte Grafik zeigt die Lösung für $U(D) = D + D^8 \Rightarrow \underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... })$.
$\underline{p} = (0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{ ... }) \cdot \mathbf{G}$
Richtig sind die Lösungsvorschläge 3 und 4:
- Die Eingangssequenz $\underline{u}$ beinhaltet zwei Einsen und die Ausgangssequenz $\underline{p}$ sechs Einsen.
- Ab der Position 10 ist nun die Ausgangssequenz $\underline{p} \equiv\underline{0}$
⇒ die Vorschläge 1 und 2 treffen also nicht zu.
Weitergehende Hinweise:
- Für einen Turbocode sind insbesondere solche Eingangsfolgen $\underline{u}$, deren $D$–Transformierte als $U(D) = f(D) \cdot [1 + D^{P}]$ darstellbar sind, äußerst ungünstig.
- Sie bewirken den Error Floor, wie er auf der Seite Leistungsfähigkeit der Turbocodes im Theorieteil zu erkennen ist.
- $P$ gibt dabei die Periode der Impulsantwort $\underline{g}$ an.
- In unserem Beispiel gilt $f(D) = D$ und $P = 7$.
