Aufgabe 4.09: Recursive Systematic Convolutional Codes

Zustandsübergangsdiagramm eines RSC–Codes

In der Aufgabe A4.8 wurden bereits wichtige Eigenschaften von Faltungscodes aus dem Zustandsübergangsdiagramm abgeleitet, wobei von einer nichtrekursiven Filterstruktur ausgegangen wurde.

Nun wird ein Rate–1/2–RSC–Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht „RSC” für „Recursive Systematic Convolutional”.

Die Übertragungsfunktionsmatrix eines RSC–Faltungscodes kann wie folgt angegeben werden:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \left [ 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G^{(2)}(D)/G^{(1)}(D) \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Ansonsten gelten hier die genau gleichen Voraussetzungen wie bei Aufgabe A4.8. Wir verweisen wieder auf folgende Theorieseiten:

Systematische Faltungscodes (1)

Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (1)

Definition der freien Distanz (1)

GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (2)

Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes (2)

Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion

Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:

Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\hspace{0.2cm} x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$.
Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\hspace{0.2cm} x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlegendes zu den Turbocodes.
Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3.
In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet:
- Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \, ...)$,
- Paritysequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \, ...)$,
- Impulsantwort: $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \, ...); \hspace{0.2cm}$ diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, ...)$.
	Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.

	Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.
	Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$.
	Bei begrenzter Informationssequenz $\underline{u}$ ist stets auch $\underline{p}$ begrenzt.

	Es gilt $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \ ... $
	Es gilt $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$.
	Es gilt $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$.

	Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.
	Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$.
	Bei unbegrenzter Impulsantwort $\underline{g}$ ist stets auch $\underline{p}$ unbegrenzt.