Aufgaben:Aufgabe 4.09: Recursive Systematic Convolutional Codes: Unterschied zwischen den Versionen
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Nun wird ein Rate–1/2–RSC–Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht „RSC” für „Recursive Systematic Convolutional”. | Nun wird ein Rate–1/2–RSC–Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht „RSC” für „Recursive Systematic Convolutional”. | ||
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| + | #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes]] | ||
| + | #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion|Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion]] | ||
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| − | + | Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei: | |
| − | + | * Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\hspace{0.2cm} x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$. | |
| − | + | * Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\hspace{0.2cm} x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$. | |
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* In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet: | * In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet: | ||
| − | ** Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \ | + | ** Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm} )$, |
| − | ** Paritysequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \ | + | ** Paritysequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{...} \hspace{0.05cm})$, |
| − | ** Impulsantwort: $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \ | + | ** Impulsantwort: $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{...} \hspace{0.05cm} ); \hspace{0.2cm}$ diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{...} \hspace{0.05cm} )$. |
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{Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$? | {Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$? | ||
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| − | + Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \ | + | + Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{...} \hspace{0.05cm})$. |
| − | - Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \ | + | - Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{...} \hspace{0.05cm})$. |
{Es gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz $\underline{p}$? | {Es gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz $\underline{p}$? | ||
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- Bei begrenzter Informationssequenz $\underline{u}$ ist stets auch $\underline{p}$ begrenzt. | - Bei begrenzter Informationssequenz $\underline{u}$ ist stets auch $\underline{p}$ begrenzt. | ||
{Wie lautet die $D$–Übertragungsfunktion $G(D)$? | {Wie lautet die $D$–Übertragungsfunktion $G(D)$? | ||
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| − | + Es gilt $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \ ... $ | + | + Es gilt $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \text{...} \hspace{0.05cm}$ |
+ Es gilt $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$. | + Es gilt $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$. | ||
- Es gilt $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$. | - Es gilt $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$. | ||
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{Es gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz $\underline{p}$? | {Es gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz $\underline{p}$? | ||
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| − | + Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \ | + | + Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{...} \hspace{0.05cm})$. |
| − | - Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \ | + | - Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \text{...} \hspace{0.05cm})$. |
- Bei unbegrenzter Impulsantwort $\underline{g}$ ist stets auch $\underline{p}$ unbegrenzt. | - Bei unbegrenzter Impulsantwort $\underline{g}$ ist stets auch $\underline{p}$ unbegrenzt. | ||
| − | {Wie groß ist die freie Distanz dieses RSC–Coders? | + | {Wie groß ist die freie Distanz $d_{\rm F}$ dieses RSC–Coders? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$d_{\rm F} \ = \ ${ 5 3% } | $d_{\rm F} \ = \ ${ 5 3% } | ||
Version vom 31. Januar 2018, 15:21 Uhr
Zustandsübergangsdiagramm eines RSC–Codes
In der Aufgabe 4.8 wurden aus dem Zustandsübergangsdiagramm bereits wichtige Eigenschaften von Faltungscodesabgeleitet, wobei von einer nichtrekursiven Filterstruktur ausgegangen wurde.
Nun wird ein Rate–1/2–RSC–Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht „RSC” für „Recursive Systematic Convolutional”.
Die Übertragungsfunktionsmatrix eines RSC–Faltungscodes kann wie folgt angegeben werden:
- $${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \left [ 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G^{(2)}(D)/G^{(1)}(D) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
Ansonsten gelten hier die genau gleichen Voraussetzungen wie bei Aufgabe 4.8. Wir verweisen wieder auf folgende Theorieseiten:
- Systematische Faltungscodes
- Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm
- Definition der freien Distanz
- GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters
- Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes
- Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion
Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet „$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
- Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\hspace{0.2cm} x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$.
- Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\hspace{0.2cm} x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlegendes zu den Turbocodes.
- Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet:
- Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm} )$,
- Paritysequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{...} \hspace{0.05cm})$,
- Impulsantwort: $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{...} \hspace{0.05cm} ); \hspace{0.2cm}$ diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{...} \hspace{0.05cm} )$.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Verfolgt man die Übergänge im Zustandsdiagramm für die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ am Eingang, so erhält man den Weg
- $$S_0 → S_1 → S_3 → S_2 → S_1 → S_3 → S_2 → S_1 → S_3 \ ...$$
Bei jedem Übergang ist das erste Codesymbol $x_i^{(1)}$ gleich dem Informationsbit $u_i$ und das Codesymbol $x_i^{(2)}$ gibt das Paritybit $p_i$ an. Damit erhält man das Ergebnis entsprechend dem Lösungsvorschlag 1:
- $$\underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) = \underline{g}\hspace{0.05cm}.$$
Bei einem jeden RSC–Code ist die Impulsantwort $\underline{g}$ unendlich lang und wird irgendwann periodisch, hier mit der Periode $P = 3$ und „$0, \, 1, \, 1$”.
(2) Die Grafik zeigt die Lösung dieser Aufgabe entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$. Hierbei ist die Generatormatrix $\mathbf{G}$ nach unten und rechts unendlich weit ausgedehnt. Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.
Verdeutlichung von $\underline{p} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$
(3) Zwischen der Impulsantwort $\underline{g}$ und der $D$–Übertragungsfunktion $\mathbf{G}(D)$ besteht der Zusammenhang
- $$\underline{g}= (\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm}, \hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm}, \hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm}, \hspace{-0.05cm}0\hspace{-0.05cm}, \hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm}, \hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm}, \hspace{-0.05cm}0\hspace{-0.05cm}, \hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm}, \hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm}, ... ) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad G(D) = 1\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D\hspace{-0.05cm} +\hspace{-0.05cm} D^2\hspace{-0.05cm} +\hspace{-0.05cm} D^4 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^5 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^7 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^8 + ... \hspace{0.05cm}.$$
entsprechend dem ersten Lösungsvorschlag. Überprüfen wir nun den zweiten Vorschlag:
- $$G(D) = \frac{1+ D^2}{1+ D + D^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(D) \cdot [1+ D + D^2] = 1+ D^2 \hspace{0.05cm}.$$
Die folgende Rechnung zeigt, dass diese Gleichung tatsächlich stimmt:
- $$(1+ D+ D^2+ D^4 +D^5 + D^7 + D^8 + ... ) \cdot (1+ D+ D^2 ) =$$
- $$=1+ D+ D^2\hspace{1.05cm} +D^4 + D^5 \hspace{1.05cm} +D^7 + D^8 \hspace{1.05cm} + D^{10}+ ... $$
- $$+ \hspace{0.8cm}D+ D^2+D^3 \hspace{1.05cm}+ D^5 + D^6 \hspace{1.05cm} +D^8 + D^9 \hspace{1.25cm} + ... $$
- $$+ \hspace{1.63cm} D^2+D^3+ D^4 \hspace{1.05cm}+ D^6 +D^7 \hspace{1.05cm}+ D^9 + D^{10} \hspace{0.12cm}+ ... $$
- $$=\underline{1\hspace{0.72 cm}+ D^2} \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind die Vorschläge 1 und 2. Da Gleichung (2) stimmt, muss die letzte Gleichung falsch sein.
(4) Aus $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$ folgt $U(D) = 1 + D + D^2$. Damit gilt auch:
- $$P(D) = U(D) \cdot G(D) = (1+D+D^2) \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2}= 1+D^2$$
- $$\Rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$
Richtig ist somit nur der Lösungsvorschlag 1. Insbesondere ist anzumerken:
- Wären die Größen $u_i$ und $g_i$ reellwertig, so würde die (diskrete) Faltung $\underline{p} = \underline{u} * \underline{g}$ stets zu einer Verbreiterung führen ⇒ $\underline{p}$ wäre in diesem Fall breiter als $\underline{u}$ und auch breiter als $\underline{g}$.
- Bei $u_i ∈ {\rm GF}(2)$ und $g_i ∈ {\rm GF}(2)$ kann es (muss es aber nicht) dagegen vorkommen, dass auch bei unbegrenztem $\underline{u}$ oder bei unbegrenztem $\underline{g}$ das Faltungsprodukt $\underline{p} = \underline{u} * \underline{g}$ begrenzt ist.
Das Ergebnis wird nun noch entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$ überprüft.
Verdeutlichung von $\underline{p} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, ...)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$
(5) In ähnlicher Vorgehensweise wie in der Aufgabe A4.8, (4) wird auch hier die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad $S_0 → S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → \ ... \ $ bestimmt. Die zugehörige Codesequenz $\underline{x}$ ist nun aber „ $00 \ 11 \ 10 \ 11 \ 00 \ ... $”. Damit ergibt sich die freie Distanz zu $d_{\rm F} \ \underline{= 5}$. Beim nichtrekursiven Code von Aufgabe A4.8 wurde dagegen nur die freie Distanz $d_{\rm F} = 3$ ermittelt.
