Aufgaben:Aufgabe 3.3: Summe zweier Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet | + | Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet bei Normierung auf die Trägeramplitude $(A_{\rm T} = 1)$: |
:$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$ | :$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$ | ||
| − | + | Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu $K_{\rm PM} = \rm 1/V$ angenommen. | |
| − | Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal | + | Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal |
:$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$ | :$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$ | ||
| − | anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt: | + | anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt: |
:$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} | :$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} | ||
{\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$ | {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$ | ||
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Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte. | Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte. | ||
| − | Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal | + | Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal |
:$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$ | :$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$ | ||
Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier aus folgender Angabe: | Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier aus folgender Angabe: | ||
:$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 \ \rm kHz$ jeweils positiv–imaginär sind. | + | Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 \ \rm kHz$ jeweils positiv–imaginär sind. |
Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal | Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal | ||
:$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$ | :$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$ | ||
| − | am Eingang des Phasenmodulators anliegt. Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{max} = 1.45 \ \rm V$ gilt. Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden. | + | am Eingang des Phasenmodulators anliegt. |
| + | *Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$ gilt. | ||
| + | *Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden. | ||
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Im Fragebogen bezeichnen | Im Fragebogen bezeichnen | ||
| − | *$S_{\rm TP}(f)$ die Spektralfunktion des äquivalenten | + | *$S_{\rm TP}(f)$ die Spektralfunktion des äquivalenten Tiefpass–Signals, |
| − | *$S_+(f)$ die Spektralfunktionen des analytischem Signals, | + | *$S_+(f)$ die Spektralfunktionen des analytischem Signals, |
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| + | jeweils unter der Annahme, dass $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$ anliegt und die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ beträgt. | ||
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''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]]. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]]. |
*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form. | *Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form. | ||
| − | *Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das | + | *Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Besselfunktion erster Art]] benutzen. |
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$? | + | {Es gelte $q(t) = q_1(t)+q_2(t)$. Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$? |
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| − | - | + | - Die Ortskurve ist eine Ellipse. |
- Die Ortskurve ist ein Kreis. | - Die Ortskurve ist ein Kreis. | ||
+ Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis. | + Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis. | ||
| − | - Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel $90^\circ$. | + | - Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel $90^\circ$. |
| − | {Berechnen Sie die Spektralfunktion $S_{\rm TP}(f)$. Zwischen welchen Frequenzen $f_{\rm min}$ und $f_{\rm max}$ liegen Spektrallinien? | + | {Berechnen Sie die Spektralfunktion $S_{\rm TP}(f)$. Zwischen welchen Frequenzen $f_{\rm min}$ und $f_{\rm max}$ liegen Spektrallinien? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$f_{\rm min} \ = \ $ { -5.15--4.85 } $\ \rm kHz$ | $f_{\rm min} \ = \ $ { -5.15--4.85 } $\ \rm kHz$ | ||
| − | $f_{\rm max} \ = \ ${ | + | $f_{\rm max} \ = \ ${ 5 3% } $\ \rm kHz$ |
| − | {Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 0$. | + | {Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 0$. |
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| − | ${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 0)] \ = \ $ { 0.72 3% } | + | ${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $ { 0.72 3% } |
| − | ${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 0)] \ = \ $ { 0. } | + | ${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $ { 0. } |
| − | {Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 1\ \rm kHz$. | + | {Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 1\ \rm kHz$. |
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| − | ${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)] \ = \ $ { 0.36 3% } | + | ${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $ { 0.36 3% } |
| − | ${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)] \ = \ $ { 0.03 3% } | + | ${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)\big] \ = \ $ { 0.03 3% } |
| − | {Berechnen Sie das Gewicht der $S_+(f)$–Diracfunktion bei $f = 98 \ \rm kHz$. | + | {Berechnen Sie das Gewicht der $S_+(f)$–Diracfunktion bei $f = 98 \ \rm kHz$. |
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| − | ${\rm Re}[S_{\rm | + | ${\rm Re}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $ { 0.09 3% } |
| − | ${\rm Im}[S_{\rm | + | ${\rm Im}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)\big] \ = \ $ { 0.12 3% } |
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1 | + | '''(1)''' Richtig ist die <u>dritte Antwort</u>: |
| + | *Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger $s_{\rm TP}(t)$ stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel: | ||
| + | :$$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$ | ||
| + | *Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung $166^\circ \approx 180^\circ$ ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis. | ||
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| + | '''(2)''' Es gilt allgemein $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$. | ||
| + | *Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 \ \rm kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$ beschränkt. | ||
| + | *Daraus folgt: | ||
| + | :$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$ | ||
| + | :$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$ | ||
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| + | '''(3)''' Das Faltungsprodukt für die Frequenz $f = 0$ ergibt sich durch Multiplikation von $B_1(f)$ mit $B_2(f)$ und anschließender Summation. | ||
| + | *Nur für $f = 0$ sind sowohl $B_1(f)$ als auch $B_2(f)$ von Null verschieden. | ||
| + | *Damit erhält man: | ||
| + | :$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(4)''' Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von $B_2(f)$ nach rechts – oder von $B_1(f)$ nach links – um $1 \ \rm kHz$ erfolgen. Somit erhält man: | ||
| + | :$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz}) | ||
| + | + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) | ||
| + | = 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$ | ||
| + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | '''5 | + | '''(5)''' Die Diraclinie $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$ entspricht der $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei $f = -2 \ \rm kHz$. Diese ist |
| − | $$S_{\rm TP}(f = -2\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) + | + | :$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) + |
| − | + | B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$ | |
| − | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$ | |
| − | $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 10. Juni 2020, 10:04 Uhr
Zwei verschiedene Besselspektren
Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet bei Normierung auf die Trägeramplitude $(A_{\rm T} = 1)$:
- $$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu $K_{\rm PM} = \rm 1/V$ angenommen.
Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal
- $$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt:
- $${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$
- $${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm} {\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \ \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.
Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal
- $$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$
Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier aus folgender Angabe:
- $${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$
Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 \ \rm kHz$ jeweils positiv–imaginär sind.
Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal
- $$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$
am Eingang des Phasenmodulators anliegt.
- Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{\rm max} = 1.45 \ \rm V$ gilt.
- Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.
Im Fragebogen bezeichnen
- $S_{\rm TP}(f)$ die Spektralfunktion des äquivalenten Tiefpass–Signals,
- $S_+(f)$ die Spektralfunktionen des analytischem Signals,
jeweils unter der Annahme, dass $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$ anliegt und die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ beträgt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.
- Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
- Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet Besselfunktion erster Art benutzen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist die dritte Antwort:
- Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger $s_{\rm TP}(t)$ stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:
- $$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$
- Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung $166^\circ \approx 180^\circ$ ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.
(2) Es gilt allgemein $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$.
- Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 \ \rm kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$ beschränkt.
- Daraus folgt:
- $$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$
- $$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$
(3) Das Faltungsprodukt für die Frequenz $f = 0$ ergibt sich durch Multiplikation von $B_1(f)$ mit $B_2(f)$ und anschließender Summation.
- Nur für $f = 0$ sind sowohl $B_1(f)$ als auch $B_2(f)$ von Null verschieden.
- Damit erhält man:
- $$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von $B_2(f)$ nach rechts – oder von $B_1(f)$ nach links – um $1 \ \rm kHz$ erfolgen. Somit erhält man:
- $$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz}) + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) = 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Die Diraclinie $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$ entspricht der $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei $f = -2 \ \rm kHz$. Diese ist
- $$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) + B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$
