Aufgabe 3.1Z: Einfluss der Nachrichtenphase bei PM

Wir betrachten die Phasenmodulation verschiedener Schwingungen $$ q(t) = \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$ Das Quellensignal ist hierbei normiert (Amplitude 1) dargestellt, so dass das phasenmodulierte Signal mit dem Modulationsindex (bzw. Phasenhub) $η$ wie folgt beschrieben werden kann: $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot q(t) \right)\hspace{0.05cm}.$$ Das in der oberen Grafik dargestellte Signal $s_1(t)$ ist durch die Parameterwerte $ϕ_N = –90°$ und $η_1 = 2$ charakterisiert. Die Frequenz $f_N$ dieses sinusförmigen Quellensignals soll ebenso wie die Trägerfrequenz $f_T$ aus dem dargestellten Signalausschnitt der Dauer $200 μs$ ermittelt werden.

Das Signal $s_2(t)$ unterscheidet sich von $s_1(t)$ möglicherweise durch eine andere Nachrichtenphase $ϕ_N$ und einen anderen Modulationsindex $η$. Alle anderen Systemparameter sind gegenüber $s_1(t)$ unverändert.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1.

Fragebogen

$f_N$ =

$KHz$

$f_T$ =

$KHz$

$ϕ_{max}$ =

$rad$

$Δt_{max}$ =

$μs$

$η_2$ =

$ϕ_{N2}$ =

$Grad$

Musterlösung

1. Man erkennt aus der Skizze, dass der dargestellte Signalausschnitt der Dauer $200 μs$ genau der Periodendauer des sinusförmigen Quellensignals entspricht. Daraus folgt $f_N = 5 kHz$. Zu den Zeitpunkten $t = 0$, $t = 100 μs$ und $t = 200 μs$ sind die Signale $z(t)$ und $s(t)$ phasensynchron. In der ersten Halbwelle von $q(t)$ kommen die Nulldurchgänge von $s(t)$ etwas früher als die des Trägersignals $z(t)$, was auf eine positive Phase hinweist. Dagegen ist im Bereich von 100 bis 200 μs die Phase $ϕ(t) < 0$.

2. Es gilt $f_T = 50 kHz$, da im dargestellten Signalausschnitt ($200 μs$) von $z(t)$ genau 10 Perioden abgezählt werden können.

3. Die maximale relative Phasenabweichung beträgt $ϕ_{max} = η_1/(2π) ≈ 0.318$.

4.Da die Periodendauer des Trägers $T_0 = 20 μs$ ist, erhält man $Δt_{max} = ϕ_{max} ·T0 ≈ 6.37 μs$.

5. Die maximale Phasenabweichung (Verschiebung der Nulldurchgänge) ist bei $s_2(t)$ genau so groß wie bei $s_1(t)$. Daraus kann auf $η_2 = η_1 = 2$ geschlossen werden.

6.Das Signal $s_2(t)$ ist gegenüber $s_1(t)$ um $25 μs$ nach rechts verschoben. Deshalb muss auch für die Quellensignale gelten: $$ q_2(t) = q_1(t - 25\,{\rm \mu s}) = \cos(2 \pi f_{\rm N} (t - 25\,{\rm \mu s}) ) = \cos (\omega_{\rm N} \cdot t - 0.75 \cdot \pi)\hspace{0.05cm}.$$ Dies entspricht der Phasenlage $ϕ_{N2} = –135°$.