Phasenmodulation (PM)

1. Modulationsverfahren
2. Winkelmodulation und WM–Demodulation
3. Phasenmodulation (PM)

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# ÜBERBLICK ZUM DRITTEN HAUPTKAPITEL #

Das dritte Kapitel beschreibt die Winkelmodulation  $\rm (WM)$.  Dieser Name steht als Oberbegriff für

• Phasenmodulation  $\rm (PM)$, 
• Fequenzmodulation  $\rm (FM)$. 

Im Einzelnen werden behandelt:

1. die  »Gemeinsamkeiten und Unterschiede«  zwischen Phasen– und Frequenzmodulation,
2. die  »zugehörigen Demodulatoren«  für Phasen– und Frequenzmodulation,
3. die  »Signalverläufe und Spektralfunktionen«  winkelmodulierter Signale und der Einfluss einer Bandbegrenzung,
4. das gegenüber der AM  »günstigere Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis«  der FM.

Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Analoge Modulationsverfahren” des Praktikums „Simulation Digitaler Übertragungssysteme ”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

• dem Windows-Programm  AMV   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms;  und
• der zugehörigen  Praktikumsanleitung   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version.

Gemeinsamkeiten zwischen Phasen– und Frequenzmodulation

Schon im Kapitel  Allgemeines Modell der Modulation  wurde darauf hingewiesen,  dass es zwischen der Phasenmodulation  $\rm (PM)$  und der Frequenzmodulation  $\rm (FM)$  substanzielle Gemeinsamkeiten gibt.  Man fasst deshalb diese beiden verwandten Modulationsverfahren unter dem Oberbegriff „Winkelmodulation” zusammen.

$\rm Definition\text{:}$  Eine  Winkelmodulation  – abgekürzt  $\rm WM$  – liegt immer dann vor,  wenn sich das modulierte Signal wie folgt darstellen lässt:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos\big[\psi(t)\big] = A_{\rm T} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[ω_{\rm T} · t + ϕ(t)\big] \hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei bezeichnet  $A_{\rm T}$  wie bei der Amplitudenmodulation die Amplitude des Trägersignals  $z(t)$. 
• Die gesamte Information über das Quellensignal  $q(t)$  steckt nun aber in der  "Winkelfunktion"  $ψ(t)$.

Äquivalentes Tiefpass–Signal bei Winkelmodulation

Anhand der Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  in der komplexen Ebene  (wir bezeichnen diese Grafik als „Ortskurve”)  sind folgende Charakteristika der Winkelmodulation zu erkennen:

• Die Ortskurve ist ein  "Kreisbogen"  mit dem Radius  $A_{\rm T}$.  Daraus folgt,  dass die Hüllkurve eines winkelmodulierten Signals stets konstant ist:

$$a(t) = |s_{\rm TP}(t)|= A_{\rm T}= {\rm const.}$$

• Das äquivalente Tiefpass–Signal ist bei Winkelmodulation immer komplex und durch eine zeitabhängige  "Phasenfunktion"  $ϕ(t)$  (in Radian) festgelegt,  welche die Nulldurchgänge von  $s(t)$  bestimmt:

$$s_{\rm TP}(t)= A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm}.$$

• Bei symmetrischem Quellensignal  $q(t)$  kann  $ϕ(t)$  alle Werte zwischen  $±ϕ_{\rm max}$  annehmen,  wobei  $ϕ_{\rm max}$  den  Phasenhub  angibt.  Je größer der Phasenhub ist,  desto intensiver ist die Modulation.
• Bei einer harmonischen Schwingung ist der Phasenhub  $ϕ_{\rm max}$  gleich dem  Modulationsindex  $η$.  Die Verwendung von  $η$  zeigt im Folgenden also gleichzeitig an,  dass  $q(t)$  nur eine einzige Frequenz beinhaltet.
• Der Zusammenhang zwischen Quellensignal  $q(t)$  und Winkelfunktion  $ψ(t) = \cos\hspace{-0.1cm}\big[ω_{\rm T} · t + ϕ(t)\big]$  bzw. der daraus ableitbaren Phasenfunktion  $ϕ(t)$  unterscheidet sich bei der Phasen– und der Frequenzmodulation grundsätzlich,  worauf im Kapitel  Frequenzmodulation  noch ausführlich eingegangen wird.

$\text{Beispiel 1:}$  Die folgende Grafik zeigt jeweils

• rechts das Sendesignal  $s(t)$   ⇒   blaue Signalverläufe im Vergleich zum Trägersignal  $z(t)$   ⇒   rote Schwingungen,  sowie
• links das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  in der komplexen Ebene.

Die  (linke)  Darstellung in der komplexen Ebene bezeichnen wir auch als die „Ortskurve”   ⇒   grüne Kurvenverläufe.

Physikalisches Signal und äquivalentes Tiefpass–Signal bei Winkel- und Amplitudenmodulation

Die obere Skizze gilt für die Winkelmodulation  $\rm (WM)$:

• Das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} · {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}· \hspace{0.05cm}ϕ(t)}$  beschreibt einen Kreisbogen   ⇒   konstante Einhüllende  $a(t) = A_{\rm T}$.
• Die Information über das Quellensignal  $q(t)$  steckt hier also ausschließlich in der Lage der Nulldurchgänge von  $s(t)$.
• Gilt momentan  $ϕ(t) < 0$,  so treten die Nulldurchgänge von  $s(t)$  später als diejenigen von  $z(t)$  auf.
• Andernfalls,  bei  $ϕ(t) > 0$,   sind die Nulldurchgänge von  $s(t)$  gegenüber  $z(t)$  vorlaufend.

Die untere Skizze gilt für die  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation  $\rm (ZSB-AM)$  wie im Kapitel 2 beschrieben,  gekennzeichnet durch

• die zeitabhängige Hüllkurve  $a(t)$  gemäß dem Quellensignal  $q(t)$,
• äquidistante Nulldurchgänge von  $s(t)$  gemäß dem Träger  $z(t)$, 
• eine horizontale Gerade als Ortskurve  $s_{\rm TP}(t)$.

Das vorliegende dritte Kapitel wurde nach folgenden Gesichtspunkten gegliedert:

1. Ein jedes FM–System kann durch einfache Modifikationen in ein entsprechendes PM–System übergeführt werden und umgekehrt.
2. Größere Bedeutung bei Analogsystemen hat die FM aufgrund des günstigeren Rauschverhaltens.  Deshalb werden Realisierungsaspekte für Modulator/Demodulator erst im Kapitel  Frequenzmodulation  (FM) behandelt.
3. Die Phasenmodulation (PM) ist gegenüber der FM leichter zu verstehen.  Deshalb werden zunächst in diesem ersten Kapitel die grundlegenden Eigenschaften eines Winkelmodulationssystems am Beispiel der PM dargelegt.

Signalverläufe bei Phasenmodulation

Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit wird im Folgenden vorausgesetzt:

• ein cosinusförmiges Trägersignal  $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$,  das heißt die Trägerphase ist stets  $ϕ_{\rm T} = 0$,
• ein spitzenwertbegrenztes Quellensignal in den Grenzen  $\ –q_{\rm max} ≤ q(t) ≤ +q_{\rm max}$.

$\rm Definition\text{:}$  Ist die Phasenfunktion  $ϕ(t)$  proportional dem anliegenden Quellensignal  $q(t)$,  so spricht man von einer  Phasenmodulation  $\rm (PM)$,  und es gilt:

$$\phi(t)= K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\psi(t)= \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\psi(t)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $K_{\rm PM}$  die dimensionsbehaftete Modulatorkonstante.  Beschreibt  $q(t)$  einen Spannungsverlauf, so besitzt diese Konstante die Einheit  $\rm 1/V$.

Die Phasenmodulaton ist um so intensiver,

• je größer die Modulatorkonstante  $K_{\rm PM}$  ist,
• je größer der Maximalwert  $q_{\rm max}$  des Quellensignals ist.

$\rm Definitionen\text{:}$  (1)   Quantitativ erfasst wird dieser Sachverhalt durch den  Phasenhub

$$\phi_{\rm max} = K_{\rm PM} \cdot q_{\rm max}\hspace{0.05cm}.$$

(2)   Bei einer harmonischen Schwingung wird der „Phasenhub” auch als  Modulationsindex  bezeichnet und es gilt mit der Amplitude  $A_{\rm N}$  des Quellensignals:

$$\eta = \eta_{\rm PM} = K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}\hspace{0.05cm}.$$

Zu dieser Gleichung ist Folgendes anzumerken:

• Der Modulationsindex  $η$  ist vergleichbar mit dem Modulationsgrad  $m$  bei ZSB–AM mit Träger.
• In der Ortskurve beschreiben  $ϕ_{\rm max}$  bzw.  $η$   den halben Winkel des Kreisbogens in „Radian”.
• Bei anderem Quellensignal mit gleichem  $η$   – zum Beispiel:  andere Phase  $ϕ_{\rm N}$  – ändert sich die Ortskurve nicht,  lediglich die zeitliche Bewegung auf der Ortskurve.
• Der Modulationsindex wird auch zur Beschreibung der Frequenzmodulation herangezogen,  doch ist er dann etwas anders zu berechnen.
• Wir unterscheiden deshalb zwischen  $η_{\rm PM}$  und  $η_{\rm FM}$.

$\rm Beispiel \ 2\text{:}$  Die Grafik zeigt oben das sinusförmige Quellensignal  $q(t)$  mit der Frequenz  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$  und der Amplitude  $A_{\rm N}$  sowie darunter gezeichnet zwei phasenmodulierte Signale. 

• Diese unterscheiden sich durch den Parameter  $η = 1$  bzw.  $η = 3$:

Signalverläufe bei Phasenmodulation mit  $η = 1$  bzw.  $η = 3$

$$s_\eta(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t) \big]\hspace{0.05cm}.$$

• Grau gepunktet ist das cosinusförmige Trägersignal  $z(t)$  eingezeichnet,  wobei jeweils  $f_{\rm T} = 20 \ \rm kHz$  zugrunde liegt.
• Der Modulationsindex  $η = 1$  und damit das Sendesignal  $s_1(t)$  ergibt sich zum Beispiel

• mit  $A_{\rm N} = 1 \ \rm V$  und  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$,  aber auch
• mit den Parameterwerten  $A_{\rm N} = 2 \ \rm V$  und  $K_{\rm PM} = \rm 0.5/V$.

Man erkennt aus diesen Kurvenverläufen:

1. Die Nulldurchgänge von Sendesignal  $s_1(t)$  und Trägersignal  $z(t)$  stimmen genau dann überein,  wenn  $q(t) ≈ 0$  ist.
2. Bei  $q(t) = +\hspace{-0.05cm}A_{\rm N}$  kommen die Nulldurchgänge von  $s_1(t)$  um  $1/(2π) ≈ 0.159$  einer Trägerperiode  $T_0$  früher  („vorlaufend”).
3. Bei  $q(t) = -\hspace{-0.05cm}A_{\rm N}$  treten diese Nulldurcghgänge um den gleichen Bruchteil später auf   („nachlaufend”).
4. Erhöht man den Modulationsindex auf  $η = 3$  –  entweder durch Verdreifachung von  $A_{\rm N}$  oder von  $K_{\rm PM}$,  so ergibt sich qualitativ das gleiche Resultat,  aber eine intensivere Phasenmodulation.
5. Die Nulldurchgänge von  $s_3(t)$  sind nun gegenüber  $z(t)$  um maximal  $\rm ±3/(2π) ≈ ±0.5$  einer Trägerperiode verschoben,  also bis zu  $±T_0/2$.

Äquivalentes Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation

Als Vorbereitung zur Herleitung des Spektrums  $S(f)$  eines phasenmodulierten Signals  $s(t)$  wird zunächst das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  analysiert.  Dabei gehen wir von folgenden Voraussetzungen aus:

• ein sinusförmiges Quellensignal mit Amplitude  $A_{\rm N}$  und Frequenz  $f_{\rm N}$,
• ein cosinusförmiges Trägersignal mit Amplitude  $A_{\rm T}$  und Frequenz  $f_{\rm T}$,
• eine Phasenmodulation mit dem Modulationsindex  $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$.

Damit lauten das phasenmodulierte Signal sowie das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t) \big]\hspace{0.05cm},$$

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) }\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Signal ist periodisch und kann somit durch eine  komplexe Fourierreihe  dargestellt werden.  Damit erhält man allgemein:

$$s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_{n} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

In dem hier betrachteten Sonderfall  $($sinusförmiges Quellensignal,  cosinusförmiger Träger$)$  sind die im Allgemeinen komplexen Fourierkoeffizienten  $D_n$  alle reell und mit den  Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  erster Art und  $n$–ter Ordnung wie folgt gegeben:

$$D_{n} = A_{\rm T}\cdot {\rm J}_n (\eta) \hspace{0.05cm}. \hspace{1cm}$$

$\text{Wichtiges Zwischenergebnis:}$    Nun soll mathematisch nachgewiesen werden,  dass das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation tatsächlich in die folgende Funktionsreihe umgewandelt werden kann:

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

$\text{Beweis:}$  Wir setzen vereinfachend  $A_{\rm T} = 1$. Damit lautet das gegebene äquivalente Tiefpass–Signal:    

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) }\hspace{0.05cm}.$$

(1)  Mit  $x = {\rm j} · η · \sin(γ)$  und  $γ = ω_{\rm N} · t$  lautet die Potenzreihenentwicklung dieser Gleichung:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{x } = 1 + x + \frac{1}{2!} \cdot x^2 + \frac{1}{3!} \cdot x^3 + \text{...} = 1 + {\rm j} \cdot \eta \cdot \sin (\gamma)+ \frac{1}{2!} \cdot {\rm j}^2 \cdot \eta^2 \cdot \sin^2 (\gamma)+ \frac{1}{3!} \cdot {\rm j}^3 \cdot \eta^3 \cdot \sin^3 (\gamma) + \text{...}$$

(2)  Die einzelnen trigonometrischen Ausdrücke können wie folgt umgeformt werden:

$$\frac{1}{2!} \cdot {\rm j}^2 \cdot \eta^2 \cdot \sin^2 (\gamma) = \frac{- \eta^2}{2 \cdot 2!} \cdot \big[ 1 - \cos (2\gamma)\big],\hspace{1.0cm} \frac{1}{3!} \cdot {\rm j}^3 \cdot \eta^3 \cdot \sin^3 (\gamma) = \frac{- {\rm j} \cdot \eta^3}{4 \cdot 3!} \cdot \big[ 3 \cdot \sin (\gamma)- \sin (3\gamma)\big],$$

$$\frac{1}{4!} \cdot {\rm j}^4 \cdot \eta^4 \cdot \sin^4 (\gamma) = \frac{\eta^4}{8 \cdot 4!} \cdot \left[ 3+ 4 \cdot \cos (2\gamma)+ \cos (4\gamma)\right], \text{...}$$

(3)  Durch Umordnen erhält man mit  ${\rm J}_n(η)$,  den Besselfunktionen erster Art und $n$–ter Ordnung:

$$s_{\rm TP}(t) = 1 \cdot {\rm J}_0 (\eta) + 2 \cdot {\rm j}\cdot {\rm J}_1 (\eta)\cdot \sin (\gamma) \hspace{0.2cm} + 2 \cdot {\rm J}_2 (\eta)\cdot \cos (2\gamma) + 2 \cdot {\rm j}\cdot {\rm J}_3 (\eta)\cdot \sin (3\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_4 (\eta)\cdot \cos (4\gamma) + \text{...}$$

(4)  Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 (\eta) + \big[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{ - \rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \big]\cdot {\rm J}_1 (\eta) \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{ - \rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 (\eta)+ \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 3\gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{ - \rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 3\gamma} \right]\cdot {\rm J}_3 (\eta)+ \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{ - \rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\gamma} \right]\cdot {\rm J}_4 (\eta)+\text{...}$$

(5)  Die Besselfunktionen zeigen folgende Symmetrieeigenschaften:

$${\rm J}_{-n} (\eta) = ( - 1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm J}_{ - 1} (\eta) = - {\rm J}_{1} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{ - 2} (\eta) = {\rm J}_{2} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{ - 3} (\eta) = - {\rm J}_{3} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{ - 4} (\eta) = {\rm J}_{4} (\eta).$$

(6)  Berücksichtigt man diesen Sachverhalt und den bisher weggelassenen Faktor  $A_{\rm T}$,  so erhält man das gewünschte Ergebnis:

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

$\text{q.e.d.}$

Zur Berechnung der Besselfunktionen

Diese bereits 1844 von  Friedrich Wilhelm Bessel  eingeführten mathematischen Funktionen sind wie folgt definiert:

$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha\hspace{0.05cm},$$

und können gemäß der folgenden Gleichung durch eine Reihe angenähert werden:

$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$

Nebenstehende Grafik zeigt die jeweils ersten drei Summanden  $(k = 0,\ 1,\ 2)$  der Reihen  ${\rm J}_0(η)$, ... ,  ${\rm J}_3(η).$ 

• Der rot umrandete Term – gültig für  $n = 3$  und  $k = 2$  – lautet beispielsweise in ausgeschriebener Form:

$$\frac{(-1)^2 \cdot (\eta/2)^{3 \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{2\hspace{0.05cm}! \cdot (3+2)\hspace{0.05cm}!} = \frac{1}{240}\cdot (\frac{\eta}{2})^7 \hspace{0.05cm}.$$

• Die Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  findet man aber auch in Formelsammlungen oder mit dem von uns bereitgestellten Berechnungsmodul  Besselfunktionen erster Art.
• Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:

$${\rm J}_n (\eta) ={2 \cdot (n-1)}/{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Interpretation des Besselspektrums

Die Grafik zeigt die Besselfunktionen  ${\rm J}_0(η)$, ... ,  ${\rm J}_7(η)$  abhängig vom Modulationsindex  $η$  im Bereich  $0 ≤ η ≤ 10$.

Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung

Man findet diese auch in Formelsammlungen wie [BS01]  in tabellarischer Form.

• Die erste Art wird durch das  "$\rm J$"  ausgedrückt,
• die Ordnung durch den Index  $n$.

Anhand dieser Grafik können für das äquivalente Tiefpass-Signal

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}$$

folgende Eigenschaften abgeleitet werden:

• Das äquivalente Tiefpass–Signal setzt sich zusammen aus

• einem ruhenden Zeiger  $(n = 0)$ 
• sowie unendlich vielen im Uhrzeigersinn  $(n < 0)$  drehenden
• bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn  $(n > 0)$  drehenden Zeigern.

• Die jeweiligen Zeigerlängen hängen über die Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  vom Modulationsindex  $η$  ab. 

• Je kleiner  $η$  ist,  um so mehr Zeiger können allerdings für die Konstruktion von  $s_{\rm TP}(t)$  vernachlässigt werden.

• Für den Modulationsindex  $η = 1$  gilt beispielsweise folgende Näherung:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 (1) + {\rm J}_1 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_2 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_3 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}3 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}- {\rm J}_1 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_2 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}- {\rm J}_3 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}3 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei ist die Symmetriebeziehung  ${\rm J}_{–n}(η) = (–1)^n · {\rm J}_n(η)$  berücksichtigt.  Es gilt also:

$${\rm J}_{-1}(\eta) = - {\rm J}_{1}(\eta), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2}(\eta) = {\rm J}_{2}(\eta), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3}(\eta) = - {\rm J}_{3}(\eta).$$

• Weiter erkennt man aus obiger Gleichung,  dass sich  $s_{\rm TP}(t)$  mit  $η = 3$  aus deutlich mehr Zeigern zusammensetzt,  nämlich denen mit den Indizes  ${\rm J}_{–6}(\eta)$, ... ,  ${\rm J}_{+6}(\eta)$.

Äquivalentes Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation

$\rm Beispiel\ 3\text{:}$  Die Besselfunktionen liefern für den Modulationsindex  $η = 1$  folgende Werte:

$${\rm J}_0 = 0.765,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 = - {\rm J}_{ - 1} = 0.440, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 = {\rm J}_{ - 2} = 0.115,\hspace{0.3cm}{\rm J}_3 = - {\rm J}_{ - 3} = 0.020\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Zusammensetzung der Ortskurve aus den sieben Zeigern.  Beachten Sie:

1. Vereinfachend wird  $A_{\rm T} = 1$  gesetzt.
2. Die Frequenz des sinusförmigen Quellensignals ist  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$,  woraus sich die Periodendauer  $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 500 \ \rm µ s$  ergibt. 

Das linke Bild zeigt die Momentaufnahme zur Zeit  $t = 0$.

• Wegen  ${\rm J}_1 = – {\rm J}_{ – 1}$  und  ${\rm J}_3 = – {\rm J}_{ – 3}$  gilt hierfür:

$$s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm J}_0 + {\rm J}_{2} + {\rm J}_{ - 2} = 0.765 + 2 \cdot 0.115 = 0.995 \hspace{0.05cm}.$$

• Aus dem reellen Ergebnis folgt die Phase  ${\mathbf ϕ}(t = 0) = 0$  und der Betrag  $a(t = 0) = 1$.
• Der geringfügig abweichende Wert  $0.995$  zeigt,  dass  ${\rm J}_4 = {\rm J}_{ – 4}$  zwar klein ist  $(≈ 0.002)$,  aber nicht identisch Null.

Das rechte Bild zeigt die Verhältnisse zur Zeit  $t = T_{\rm N}/4 = 125\ \rm µ s$:

• Die Zeiger mit den Längen  ${\rm J}_{– 1}$  und  ${\rm J}_1$  haben sich im bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn um  $90^\circ$  gedreht und zeigen nun beide in Richtung der imaginären Achse.
• Die Zeiger  ${\rm J}_2$  und  ${\rm J}_{– 2}$  drehen doppelt so schnell wie  ${\rm J}_1$  bzw.  ${\rm J}_{– 1}$  und zeigen nun beide in Richtung der negativen reellen Achse.
• ${\rm J}_3$  und  ${\rm J}_{– 3}$  drehen im Vergleich zu  ${\rm J}_1$  und  ${\rm J}_{– 1}$  mit dreifacher Geschwindigkeit und zeigen jetzt beide nach unten.

Damit erhält man:

$$s_{\rm TP}(t = 125\,{\rm µ s}) = {\rm J}_0 - 2 \cdot {\rm J}_{2} + {\rm j} \cdot (2 \cdot {\rm J}_{1} - 2 \cdot {\rm J}_{3})= 0.535 + {\rm j} \cdot 0.840$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(t = 125\,{\rm µ s}) = \sqrt{0.535^2 + 0.840^2}= 0.996\hspace{0.05cm},$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 125\,{\rm µ s}) = \arctan \frac{0.840}{0.535} = 57.5^\circ \approx 1\,{\rm rad}\hspace{0.05cm}.$$

Auch zu allen anderen Zeiten ergibt die vektorielle Summe der sieben Zeiger jeweils einen Punkt auf dem Kreisbogen mit Winkel  $ϕ(t)$,  wobei  $\vert ϕ(t) \vert ≤ η = 1\ \rm rad$  gilt.

Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals

$\text{Ohne Beweis:}$ 

• Ausgehend vom eben berechneten äquivalenten Tiefpass–Signal erhält man für das   analytische Signal:

$$s_{\rm +}(t) = s_{\rm TP}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}= A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N}) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}$$

• Durch Fouriertransformation ergibt sich für das   Spektrum des analytischen Signals:

$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$

• Das   Spektrum des physikalischen Signals   erhält man durch Ausweitung auf negative Frequenzen unter Berücksichtigung des Faktors  $1/2$:

$$S(f) = \frac{A_{\rm T} }{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$

Spektrum des analytischen Signals bei PM  $($gültig auch für FM$)$

Anhand der Grafik sind folgende Aussagen möglich:

• Das Spektrum  $S_+(f)$  eines phasenmodulierten Sinussignals besteht aus unendlich vielen diskreten Linien im Abstand der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$.  Es ist somit prinzipiell unendlich weit ausgedehnt.
• Die Höhen  (Gewichte)  der Spektrallinien bei  $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$  $($wobei  $n$  ganzzahlig ist$)$  sind durch den Modulationsindex  $η$   über die Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  festgelegt.
• Die Werte der Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  zeigen,  dass man in der Praxis durch Bandbegrenzung das Spektrum nur wenig verändert.  Der daraus resultierende Fehler wächst aber mit steigendem  $η$.
• Die Spektrallinien sind bei sinusförmigem Quellensignal und cosinusförmigem Träger reell und für gerades  $n$  symmetrisch um  $f_{\rm T}$.  Bei ungeradem  $n$  ist ein Vorzeichenwechsel zu berücksichtigen.
• Die Phasenmodulation einer Schwingung mit anderer Phase von Quellen– und/oder Trägersignal liefert das gleiche Betragsspektrum und unterscheidet sich nur bezüglich der Phasenfunktion.

Setzt sich das Nachrichtensignal aus mehreren Schwingungen zusammen, so ist die Berechnung des Spektrums schwierig, nämlich:  Faltung der Einzelspektren 
(siehe nächster Abschnitt und  Aufgabe 3.3).

Phasenmodulation der Summe zweier Sinusschwingungen

Setzt sich das Quellensignal aus der Summe zweier Sinusschwingungen zusammen,  so lauten die Signale am Ausgang des Phasenmodulators:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta_1 \cdot \sin (\omega_{\rm 1} \cdot t) + \eta_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm},$$

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [\hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 1} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}\eta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t)]}\hspace{0.05cm}.$$

• Zur einfacheren Darstellung setzten wir nun  $A_{\rm T} = 1$  und erhalten:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 1} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) } \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$

• Die Spektralfunktionen der beiden Terme lauten:

$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm 1} \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) } \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} B_1(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta_1) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm 1})\hspace{0.05cm},$$

$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm 2} \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) } \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} B_2(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta_2) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm 2})\hspace{0.05cm}.$$

• Die Besselfunktionen  $B_1(f)$  und  $B_2(f)$  beschreiben Linienspektren im Frequenzabstand  $f_1$  und  $f_2$,  deren Impulsgewichte durch  $η_1$  und  $η_2$  bestimmt sind.
• Aufgrund der Multiplikation im Zeitbereich ergibt sich für die Spektralfunktion die Faltung:

$$S_{\rm TP}(f) = B_1(f) \star B_2(f)= S_{\rm +}(f + f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

$\rm Beispiel\ 4\text{:}$  Die linke Grafik zeigt die Besselfunktion  $B_1(f)$  für  $η_1 = 0.64$  und  $f_1 = 1 \ \rm kHz$.  Auf die deutlich kleineren Linien bei  $f = ±2 \ \rm kHz$  mit den Gewichten  $0.05$  ist der Übersichtlichkeit halber verzichtet.

Äquivalentes Tiefpass-Spektrum als Faltung zweier Besselspektren

• Die Funktion  $B_2(f)$  gilt für den gleichen Modulationsindex  $η_2 = η_1$,  aber für die Nachrichtenfrequenz  $f_2 = 4 \ \rm kHz$.

• Das Tiefpass-Spektrum  $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) \star B_2(f)$  besteht hier aus neun Diraclinien.  Es ist im rechten Diagramm skizziert.

• Durch Frequenzverschiebung um  $f_{\rm T}$  nach rechts erhält man das Spektrum  $S_+(f)$  des analytischen Signals  $s_+(t)$.  Es gilt:

$$S_+(f = f_{\rm T}) = S_{\rm TP}(f = 0) = 0.81.$$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.1: Ortskurve bei Phasenmodulation

Aufgabe 3.1Z: Einfluss der Nachrichtenphase bei PM

Aufgabe 3.2: Spektrum bei Winkelmodulation

Aufgabe 3.2Z: Besselspektrum

Aufgabe 3.3: Summe zweier Schwingungen

Aufgabe 3.3Z: Kenngrößenbestimmung

Aufgabe 3.4: Einfacher Phasenmodulator