Aufgabe 2.5: Scatter-Funktion

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Verzögerungs–Doppler–Funktion

Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der im Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:

• die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, t)$, die wir hier auch mit $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezeichnen,
• die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$
• die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$,
• die zeitvariante Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f, t)$.

Die Indizes stehen für die Verzögerung $\tau$, die Zeit $t$, die Frequenz $f$ sowie die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$.

Gegeben ist die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ entsprechend der oberen Grafik:

$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})-$$

$$\hspace{-0.1cm} \ - \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})- \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$

In der Literatur $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ oft auch Scatter–Funktion genannt und mit $s(\tau, f_{\rm D})$, bezeichnet.

Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion $|\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})|$ dargestellt ist, so dass die negativen Gewichte der beiden letzten Diracfunktionen nicht zu erkennen sind. In dieser Aufgabe sollen die zugehörige Verzögerungs–Zeit–Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ und die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ ermittelt werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels Das GWSSUS–Kanalmodell verdeutlichen.
• Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist auf der Grafik der ersten Seite dieses Kapitels angegeben.

Fragebogen

1

Bei welchen $\tau$–Werten hat die 2D–Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ Anteile?

	$\tau = 0$,
	$\tau = 1 \ \rm \mu s$,
	andere $\tau$–Werte.

2

Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t)|$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	$|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t)|$ ist unabhängig von $t$.
	Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
	Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.

3

Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t)|$. Welche der Aussagen treffen zu?

	$|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t)|$ ist unabhängig von $t$.
	Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
	Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.

4

Betrachten Sie nun die Frequenz–Doppler–Darstellung $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$. Für welche $f_{\rm D}$–Werte ist diese Funktion ungleich $0$?

	$f_{\rm D} = 0$,
	$f_{\rm D} = ± 50 \ \rm Hz$,
	$f_{\rm D} = ± 100 \ \rm Hz$.

5

Welche der folgenden Aussagen gelten für $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$?

	$|\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz)|$ ist unabhängig von $f_{\rm D}$.
	Es gilt $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \cos {(2\pi t_0 f)}$.
	Es gilt $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \sin {(2\pi t_0 f)}$.

6

Wie kommt man zur zeitvarianten Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f, t)$?

	Durch Fouriertransformation von $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ bezüglich $\tau$.
	Durch Fouriertransformation von $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezüglich $\tau$.
	Durch Fourierrücktransformation von $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ bezüglich $f_{\rm D}$.

Musterlösung

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