Aufgabe 2.5: Scatter-Funktion
Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der im Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
- die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, t)$, die wir hier auch mit $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezeichnen,
- die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$
- die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$,
- die zeitvariante Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f, t)$.
Die Indizes stehen für die Verzögerung $\tau$, die Zeit $t$, die Frequenz $f$ sowie die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$.
Gegeben ist die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ entsprechend der oberen Grafik:
- $$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})-$$
- $$\hspace{-0.1cm} \ - \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})- \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$
In der Literatur $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ oft auch Scatter–Funktion genannt und mit $s(\tau, f_{\rm D})$, bezeichnet.
Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion $|\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})|$ dargestellt ist, so dass die negativen Gewichte der beiden letzten Diracfunktionen nicht zu erkennen sind. In dieser Aufgabe sollen die zugehörige Verzögerungs–Zeit–Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ und die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ ermittelt werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels Das GWSSUS–Kanalmodell verdeutlichen.
- Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist auf der Grafik der ersten Seite dieses Kapitels angegeben.
Fragebogen
Musterlösung
