Aufgabe 1.5: Nachbildung des Jakes–Spektrums
Bei einem Mobilfunksystem macht sich der Dopplereffekt auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ bemerkbar. Es ergibt sich das sog. Jakes–Spektrum, das für die maximale Dopplerfrequenz $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz}$ in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}(f_{\rm D})$ hat nur Anteile innerhalb des Bereichs $\plusmn f_{\rm D, \ max}$ wobei gilt:
- $${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$
Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion. Diese ergibt sich aus ${\it \Phi}_z(f_{\rm D}$ durch die Fourierrücktransformation. Mit der Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung (${\rm J}_0$) erhält man:
- $$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$
Um den Dopplereffekt – und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger – bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im Rayleigh–Kanalmodell zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang $H_{\rm DF}(f_D)$. Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe. Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils $x(t)$. Für den Imaginärteil $y(t)$ ergeben sich genau gleiche Verhältnisse. Am Eingang des im Rayleigh–Kanalmodell linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen $n(t)$ mit der Varianz $\sigma_^2 = 0.5$ an. Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
- $$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses dieses Buches.
- Das digitale Filter wird im Kapitel Digitale Filter des Buches „Stochastische Signaltheorie” ausführlich behandelt.
Fragebogen
Musterlösung
