Applets:Zur Verdeutlichung des Matched-Filters

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Programmbeschreibung

Das Applet behandelt die Systemkomponenten  „Abtastung”  und  „Signalrekonstruktion”, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der  Pulscodemodulation  $({\rm PCM})$  von großer Wichtigkeit sind.  Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.  Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte  $x(\nu \cdot T_{\rm A})$  des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$.

Oben:    Zugrundeliegendes Modell für Abtastung und Signalrekonstruktion
Unten:   Beispiel zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$

• Beim Sender wird aus dem zeitkontinuierlichen Quellensignal  $x(t)$  das zeitdiskrete (abgetastete) Signal  $x_{\rm A}(t)$  gewonnen.  Man nennt diesen Vorgang  Abtastung  oder  A/D–Wandlung.
• Der entsprechende Programmparameter für den Sender ist die Abtastrate  $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$. In der unteren Grafik ist der Abtastabstand  $T_{\rm A}$  eingezeichnet.
• Beim Empfänger wird aus dem zeitdiskreten Empfangssignal  $y_{\rm A}(t)$  das zeitkontinuierliche Sinkensignal  $y(t)$  erzeugt   ⇒   Signalrekonstruktion  oder  D/A–Wandlung  entsprechend dem Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$.

Das Applet berücksichtigt nicht die PCM–Blöcke  „Quantisierung”,  „Codierung / Decodierung” und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen. 

Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$

Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:

• Im Programm ist vereinfachend  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  gesetzt.
• Bei geeigneten Systemparametern ist somit auch das Fehlersignal   $\varepsilon(t) = y(t)-x(t)\equiv 0$  möglich.

Das Abtasttheorem und die Signalrekonstruktion lassen sich im Frequenzbereich besser erklären.  Im Programm werden deshalb auch alle Spektralfunktionen angezeigt:

             $X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t)$,  $X_{\rm A}(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x_{\rm A}(t)$,  $Y(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ y(t)$,  $E(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ \varepsilon(t).$ 

Parameter für den Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  sind die Grenzfrequenz und der Rolloff–Faktor  (siehe untere Grafik):

$$f_{\rm G} = \frac{f_2 +f_1}{2},\hspace{1cm}r = \frac{f_2 -f_1}{f_2 +f_1}.$$

Hinweise:

(1)   Alle Signalwerte sind normiert auf  $\pm 1$  zu verstehen. 

(2)   Die Leistungsberechnung erfolgt durch Integration über die jeweilige Periodendauer  $T_0$:

$$P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x^2(t)\ {\rm d}t,\hspace{0.8cm}P_\varepsilon = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} \varepsilon^2(t).$$

(3)   Die Signalleistung  $P_x$  und die Verzerrungsleistung  $P_\varepsilon$  werden ebenfalls normiert ausgegeben, was implizit den Bezugswiderstand  $R = 1\, \rm \Omega$  voraussetzt. 

(4)   Daraus kann der Signal–Verzerrungs–Abstand  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$  berechnet werden.

(5)   Besteht die Spektralfunktion  $X(f)$  bei positiven Frequenzen aus  $I$  Diraclinien mit den (eventuell komplexen) Gewichten  $X_1$, ... , $X_I$,
         so gilt für die Sendeleistung unter Berücksichtigung der spiegelbildlichen Linien bei den negativen Frequenzen:

$$P_x = 2 \cdot \sum_{i=1}^I |X_k|^2.$$

(6)   Entsprechend gilt für die Verzerrungsleistung, wenn die Spektralfunktion  $E(f)$  im Bereich  $f>0$  genau  $J$  Diraclinien mit Gewichten  $E_1$, ... , $E_J$  aufweist:

$$P_\varepsilon = 2 \cdot \sum_{j=1}^J |E_j|^2.$$

Optimierungskriterium des Matched–Filters

$\text{Definition:}$  Das  Matched-Filter  – auch Korrelationsfilter  genannt – dient zum Nachweis der Signalexistenz.

Blockschaltbild des Matched-Filter-Empfängers

• Der  Matched-Filter-Empfänger  kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt:   mit maximalem SNR – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen  $n(t)$  gestörtes impulsförmiges Nutzsignal  $g(t)$  vorhanden ist oder nicht.

• Zur Herleitung des Matched-Filter-Empfängers wird die skizzierte Anordnung betrachtet.

Für die einzelnen Komponenten gelten folgende Voraussetzungen:

• Der Nutzanteil  $g(t)$  des Empfangssignals  $r(t)=g(t)+n(t)$  sei impulsförmig und somit  energiebegrenzt.
• Das heißt:   Das Integral über  $\big [g(t)\big ]^2$  von  $–∞$  bis  $+∞$  liefert den endlichen Wert  $E_g$.
• Das Störsignal  $n(t)$  sei  Weißes Gaußsches Rauschen  mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$.
• Das Filterausgangssignal  $d(t)$  setzt sich additiv aus zwei Anteilen zusammen.  Der Anteil  $d_{\rm S}(t)$  geht auf das  $\rm S$ignal  $g(t)$  zurück, der Anteil  $d_{\rm N}(t)$  auf das  $\rm N$oise  $n(t)$.
• Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter   ⇒   Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma _d ^2 } }\mathop = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$

• Hierbei bezeichnen  $σ_d^2$  die  Varianz  (Leistung) von $d_{\rm N}(t)$ und  $T_{\rm D}$  den (geeignet gewählten)  Detektionszeitpunkt.

Matched-Filter-Optimierung

Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal  $g(t)$  mit dem zugehörigen Spektrum  $G(f)$.

• Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$  für jedes beliebige Filter mit der Impulsantwort  $h(t)$  und dem Frequenzgang  $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ wie folgt geschrieben werden  (ohne Berücksichtigung des Rauschens   ⇒   Index  $\rm S$  für „Signal”):

$$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$

• Der  „Rauschanteil”  $d_{\rm N}(t)$  des Filterausgangssignals  (Index  $\rm N$  für „Noise”) rührt allein vom Weißen Rauschen  $n(t)$  am Eingang des Empfängers her.  Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$:

$$\sigma _d ^2 = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

• Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$

$\text{Hier zunächst ohne Beweis:}$    Man kann zeigen, dass dieser Quotient für den folgenden Frequenzgang  $H(f)$  am größten wird:

$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } . $$

• Damit erhält man für das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Matched–Filter–Ausgang  $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante  $K_{\rm MF})$:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } }.$$

• $E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem  Satz von Parseval  sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann:

$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$

$\text{Beispiel 1:}$   Ein rechteckförmiger Impuls  $g(t)$  mit Amplitude  $\rm 1\hspace{0.05cm}V$,  Dauer  $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$  und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden.

• Somit ist die Impulsenergie  $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$.
• Die Rauschleistungsdichte sei  $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$.

Das beste Ergebnis   ⇒   das  maximale S/N–Verhältnis  erzielt man mit dem Matched-Filter:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } = \frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}.$$

Das oben angegebene Matched–Filter–Kriterium wird nun schrittweise hergeleitet.  Wenn Sie daran nicht interessiert sind, so springen Sie bitte zur Fortsetzungsseite  Interpretation des Matched–Filters.

$\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$ 

$(1)$  Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen  $A(f)$  und  $B(f)$:

$$\left \vert {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert ^2 \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$

$(2)$  Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal–zu–Rauschverhältnis an:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {H(f)} \right \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$

$(3)$  Mit  $A(f) = G(f)$  und  $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }$  ergibt sich somit die folgende Schranke:

$$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$

$(4)$  Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein:

$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }.$$

$(5)$  Dann erhält man aus der obigen Gleichung  $(2)$  folgendes Ergebnis:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

$\text{Das heißt:}$

• Mit dem Ansatz  $(4)$  für das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht.
• Mit keinem anderen Filter  $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$  kann man ein höheres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis erzielen.
• Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal.

q.e.d.

Interpretation des Matched-Filters

Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet:

$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$

Durch  Fourierrücktransformation  erhält man die dazugehörige Impulsantwort:

$$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$$

Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren:

• Das  Matched-Filter  ist durch den Term  $G^{\star}(f)$  an das Spektrum des aufzufindenden Impulses  $g(t)$  angepasst – daher sein Name (englisch: to match ≡ anpassen).
• Die  Konstante  $K_{\rm MF}$  ist aus Dimensionsgründen notwendig.
• Ist  $g(t)$  ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”.  Der Frequenzgang ist somit dimensionslos.
• Die  Impulsantwort  $h_{\rm MF}(t)$  ergibt sich aus dem Nutzsignal  $g(t)$  durch Spiegelung   ⇒   aus $g(t)$ wird $g(–t)$     sowie einer Verschiebung um  $T_{\rm D}$  nach rechts.
• Der  früheste Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$  folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung  $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$   $($„Kausalität”,  siehe Buch Lineare zeitinvariante Systeme$)$.
• Der  Nutzanteil  $d_{\rm S} (t)$  des Filterausgangssignals ist formgleich mit der  Energie-AKF   $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$  und gegenüber dieser um  $T_{\rm D}$  verschoben. Es gilt:

$$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(t) * g(T_{\rm D} - t) = K_{\rm MF} \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$

$\text{Bitte beachten Sie:}$  Bei einem energiebegrenzten Signal  $g(t)$  kann man nur die  Energie–AKF  angeben:

$$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$

Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals  $x(t)$, nämlich

$$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$

wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer  $T_{\rm M}$  sowie auf den Grenzübergang  $T_{\rm M} → ∞$  verzichtet.

$\text{Beispiel 2:}$  Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen  $\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  und  $\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$  liegt und der Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  gewünscht wird.

Unter diesen Voraussetzungen gilt:

• Die Matched–Filter–Impulsantwort  $h_{\rm MF}(t)$  muss im Bereich von  $t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$  bis  $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  konstant sein.
• Für  $t < t_1$  sowie für  $t > t_2$  darf sie keine Anteile besitzen.
• Der Betragsfrequenzgang  $\vert H_{\rm MF}(f)\vert$  ist hier  $\rm si$–förmig.
• Die Höhe der Impulsantwort  $h_{\rm MF}(t)$  spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von  $K_{\rm MF}$  ist.

Versuchsdurchführung

Überarbeiten

• Wählen Sie zunächst die Nummer  (1, ... , 10)  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Die Nummer  0  entspricht einem „Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Alle Signalwerte sind normiert auf  $\pm 1$  zu verstehen.  Auch die ausgegebenen Leistungen sind normierte Größen.

Alles normiert

Für (1) soll voreingestellt sein, ohne dass es in der Aufgabenstellung erwähnt wird: Spalt-TP, $A_h=0.5,\ \Delta t_h=1.6,\ \tau_h=0.8, \ T_D = 2$

(1)  Der Eingangsimpuls sei gaußförmig mit  $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=1$.  Welche Einstellung führt zum „Matched–Filter”?  Wie groß ist  $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$  mit  $N_0=0.1$?

•  Das Matched–Filter muss ebenfalls einen gaußförmigen Verlauf haben und es muss gelten:  $\Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=1$   ⇒   $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=2$.
•  Durch die periodische Fortsetzung hat  $X_{\rm A}(f)$  Linien gleicher Höhe bei  $\pm \text{4 kHz}$,  $\pm \text{6 kHz}$,  $\pm \text{14 kHz}$,  $\pm \text{16 kHz}$,  $\pm \text{24 kHz}$,  $\pm \text{26 kHz}$,  usw.
•  Der Rechteck–Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$  entfernt alle Linien bis auf die beiden bei  $\pm \text{4 kHz}$  ⇒  $Y(f) =X(f)$  ⇒  $y(t) =x(t)$  ⇒   $P_\varepsilon = 0$.
•  Die Signalrekonstruktion funktioniert hier perfekt  $(P_\varepsilon = 0)$  und zwar für alle Amplituden $A$  und beliebige Phasen $\varphi$.

(2)  Es gelte weiter  $A=1$,  $f_0 = \text{4 kHz}$,  $\varphi=0$,  $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$.  Welchen Einfluss haben hier die Rolloff–Faktoren  $r=0.2$,  $r=0.5$  und   $r=1$?
          Geben Sie die jeweiligen Leistungen  $P_x$  und  $P_\varepsilon$  an.  für welche  $r$–Werte ist  $P_\varepsilon= 0$?  Gelten diese Ergebnisse auch für andere  $A$  und  $\varphi$?

•  Die Signalleistung ist mit  $|X_1|=0.5$  gleich  $P_x = 2\cdot 0.5^2 = 0.5$.  Die Verzerrungsleistung  $P_\varepsilon$  hängt signifikant vom Rolloff–Faktor  $r$  ab.
•  Für  $r \le 0.2$  ist  $P_\varepsilon=0$.  Die  $X_{\rm A}(f)$–Linie bei  $f_0 = \text{4 kHz}$  wird durch den Tiefpass nicht verändert und die unerwünschte  Linie bei  $\text{6 kHz}$  voll unterdrückt.
•  $r = 0.5$ :  $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.35$,  $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.15$  ⇒   $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0.15$  ⇒  $P_\varepsilon = 0.09$  ⇒  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=7.45\ \rm dB$.
• $r = 1.0$ :  $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.3$,  $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.2$  ⇒   $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0.2$  ⇒  $P_\varepsilon = 0.16$  ⇒  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=4.95\ \rm dB$.
•  Für alle  $r$  ist  $P_\varepsilon$  unabhängig von  $\varphi$.  Die Amplitude  $A$  beeinflusst  $P_x$  und  $P_\varepsilon$  in gleicher Weise   ⇒   der Quotient ist jeweils unabhängig von  $A$.

(3)  Nun gelte  $A=1$,  $f_0 = \text{5 kHz}$,  $\varphi=0$,  $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$,  $r=0$  $($Rechteck–Tiefpass$)$.  Interpretieren Sie das Ergebnis der Signalrekonstruktion.

•  $X(f)$  besteht aus zwei Diraclinien bei  $\pm \text{5 kHz}$  $($Gewicht  $0.5)$.  Durch die periodische Fortsetzung hat  $X_{\rm A}(f)$  Linien bei  $\pm \text{5 kHz}$,  $\pm \text{15 kHz}$,  $\pm \text{25 kHz}$,  usw.
•   Der Rechteck–Tiefpass entfernt die Linien bei  $\pm \text{15 kHz}$,  $\pm \text{25 kHz}$,  Die Linien bei  $\pm \text{5 kHz}$  werden wegen  $H_{\rm E}(\pm f_{\rm G}) = H_{\rm E}(\pm \text{5 kHz}) = 0.5$ halbiert
•    ⇒   $\text{Gewichte von }X(f = \pm \text{5 kHz})$:  $0.5$   |   $\text{Gewichte von }X(f_{\rm A} = \pm \text{5 kHz})$:  $1.0$;     |   $\text{Gewichte von }Y(f = \pm \text{5 kHz})$:  $0.5$   ⇒   $Y(f)=X(f)$.
•  Die Signalrekonstruktion funktioniert also auch hier perfekt  $(P_\varepsilon = 0)$.  Das gilt auch für die Phase  $\varphi=180^\circ$   ⇒   $x(t) = -A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t)$.

(4)  Es gelten weiter die Einstellungen von  (3)  mit Ausnahme von  $\varphi=30^\circ$.  Interpretieren Sie die Unterschiede gegenüber der Einstellung  (3)   ⇒   $\varphi=0^\circ$.

•  Die Phasenbeziehung geht verloren.  Das Sinkensignal  $y(t)$  verläuft cosinusförmig  $(\varphi_y=0^\circ)$  mit um  $\cos(\varphi_x)$  kleinerer Amplitude als das Quellensignal  $x(t)$.
•  Begründung im Frequenzbereich:  Bei der periodische Fortsetzung von  $X(f)$  ⇒  $X_{\rm A}(f)$  sind nur die Realteile zu addieren.  Die Imaginärteile löschen sich aus.
•  Die  $f_0$–Diraclinie von  $Y(f)$  ist reell, die von  $X(f)$  komplex und die von  $E(f)$  imaginär   ⇒   $\varepsilon(t)$  verläuft minus–sinusförmig   ⇒   $P_\varepsilon = 0.125$.

(5)  Verdeutlichen Sie sich nochmals das Ergebnis von  (4)  im Vergleich zu den Einstellungen  $f_0 = \text{5 kHz}$,  $\varphi=30^\circ$,  $f_{\rm A} = \text{11 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5.5 kHz}$.

•  Bei dieser Einstellung hat das  $X_{\rm A}(f)$–Spektrum auch einen positiven Imaginärteil bei  $\text{5 kHz}$  und einen negativen Imaginärteil gleicher Höhe bei  $\text{6 kHz}$.
•  Der Rechteck–Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $\text{5.5 kHz}$  entfernt diesen zweiten Anteil.  Somit ist bei dieser Einstellung  $Y(f) =X(f)$   ⇒   $P_\varepsilon = 0$.
•  Jede  $f_0$–Schwingung beliebiger Phase ist fehlerfrei aus seinen Abtastwerten rekonstruierbar, falls  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_{\rm 0} + \mu, \ f_{\rm G}= f_{\rm A}/2$  $($beliebig kleines $\mu>0)$.
•  Bei wertkontinuierlichem Spektrum mit   $X(|f|> f_0) \equiv 0$  ⇒   $\big[$keine Diraclinien bei $\pm f_0 \big ]$ genügt grundsätzlich die Abtastrate  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_{\rm 0}$.

(6)  Es gelten weiter die Einstellungen von  (3)  und  (4)  mit Ausnahme von  $\varphi=90^\circ$.  Interpretieren Sie die Darstellungen im Zeit– und Frequenzbereich.

•  Das Quellensignal wird genau bei seinen Nulldurchgängen abgetastet   ⇒   $x_{\rm A}(t) \equiv 0$  ⇒    $y(t) \equiv 0$  ⇒  $\varepsilon(t)=-x(t)$  ⇒  $P_\varepsilon = P_x$  ⇒  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=0\ \rm dB$.
•  Beschreibung im Frequenzbereich:  Wie in  (4)  löschen sich die Imaginärteile von  $X_{\rm A}(f)$  aus.  Auch die Realteile von  $X_{\rm A}(f)$  sind wegen des Sinusverlaufs Null.

(7)  Nun betrachten wir das  $\text {Quellensignal 2}$.  Die weiteren Parameter seien  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,  $r=0$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Das Quellensignal besitzt Spektralanteile bis  $\pm \text{2 kHz}$.  Die Signalleistung ist $P_x = 2 \cdot \big[0.1^2 + 0.25^2+0.15^2\big]= 0.19 $. 
•  Mit der Abtastrate  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$  sowie den Empfängerparametern  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$  und  $r=0$ funktioniert die Signalrekonstruktion perfekt:  $P_\varepsilon = 0$.
•  Ebenso mit dem Trapez–Tiefpass mit  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$, wenn für den Rolloff–Faktor gilt:  $r \le 0.2$.

(8)  Was passiert, wenn die Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = \text{1.5 kHz}$  des Rechteck–Tiefpasses zu klein ist?  Interpretieren Sie insbesondere das Fehlersignal  $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.

•  Das Fehlersignal  $\varepsilon(t)=-0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t -60^\circ)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t +120^\circ)$  ist gleich dem (negierten) Signalanteil bei  $\text{2 kHz}$.  Stimmt das?
•  Die Verzerrungsleistung ist  $P_\varepsilon(t)=2 \cdot 0.15^2= 0.045$  und der Signal–zu–Verzerrungsabstand  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=10 \cdot \lg \ (0.19/0.045)= 6.26\ \rm dB$.

(9)  Was passiert, wenn die Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = \text{3.5 kHz}$  des Rechteck–Tiefpasses zu groß ist?  Interpretieren Sie insbesondere das Fehlersignal  $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.

•  Das Fehlersignal  $\varepsilon(t)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{3 kHz} \cdot t +60^\circ)$  ist nun gleich dem vom Tiefpass nicht entfernten $\text{3 kHz}$–Anteil des Sinkensignals  $y(t)$.  Stimmt das?
•  Gegenüber der Teilaufgabe  (8)  verändert sich die Frequenz von  $\text{2 kHz}$  auf  $\text{3 kHz}$  und auch die Phasenbeziehung.
•  Die Amplitude dieses  $\text{3 kHz}$–Fehlersignals ist gleich der Amplitude des  $\text{2 kHz}$–Anteils von$x(t)$.  Auch hier gilt  $P_\varepsilon(t)= 0.045$,  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)= 6.26\ \rm dB$.

(10)  Abschließend betrachten wir das  $\text {Quellensignal 4}$  $($Anteile bis  $\pm \text{4 kHz})$, sowie  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,  $0 \le r\le 1$.  Interpretation der Ergebnisse.

•  Bis zum Rolloff–Faktor  $r=0.2$  funktioniert die Signalrekonstruktion perfekt  $(P_\varepsilon = 0)$.  Erhöht man  $r$, so nimmt  $P_\varepsilon$  kontinuierlich zu und  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$  ab.
•  Mit  $r=1$  werden die Signalfrequenzen  $\text{0.5 kHz}$,  ...,  $\text{4 kHz}$  abgeschwächt, umso mehr, je höher die Frequenz ist, zum Beispiel  $H_{\rm E}(f=\text{4 kHz}) = 0.6$.
•  Ebenso beinhaltet  $Y(f)$  aufgrund der periodischen Fortsetzung auch Anteile bei den Frequenzen  $\text{6 kHz}$,  $\text{7 kHz}$,  $\text{8 kHz}$,  $\text{9 kHz}$  und  $\text{9.5 kHz}$.
•  Zu den Abtastzeitpunkten  $t\hspace{0.05cm}' = n \cdot T_{\rm A}$  stimmen  $x(t\hspace{0.05cm}')$  und  $y(t\hspace{0.05cm}')$  exakt überein   ⇒   $\varepsilon(t\hspace{0.05cm}') = 0$.  Dazwischen nicht   ⇒   kleine Verzerrungsleistung  $P_\varepsilon = 0.008$.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Auswahl eines von vier Quellensignalen

    (B)     Parameterwahl für Quellensignal  $1$  (Amplitude, Frequenz, Phase)

    (C)     Ausgabe der verwendeten Programmparameter

    (D)     Parameterwahl für Abtastung  $(f_{\rm G})$  und
                Signalrekonstruktion  $(f_{\rm A},\ r)$

    (E)     Skizze des Empfänger–Frequenzgangs  $H_{\rm E}(f)$

    (F)     Numerische Ausgabe  $(P_x, \ P_{\rm \varepsilon}, \ 10 \cdot \lg(P_x/ P_{\rm \varepsilon})$

    (G)     Darstellungsauswahl für Zeitbereich

    (H)     Grafikbereich für Zeitbereich

    ( I )     Darstellungsauswahl für Frequenzbereich

    (J)     Grafikbereich für Frequenzbereich

    (K)     Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2008 von  Slim Lamine  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
• 2020 wurde das Programm von  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch die  Exzellenzinitiative  der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen