Applets:Das Gram-Schmidt-Verfahren

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Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht die Augendiagramme für

• verschiedene Codierungen  (binär–redundanzfrei,  quaternär–redundanzfrei,  pseudo–ternär:  AMI und Duobinär)  sowie
• verschiedene Empfangskonzepte  (Matched–Filter–Empfänger,  CRO–Nyquistsystem,  gaußförmiges Empfangsfilter).

Das letzte Empfängerkonzept führt zu Impulsinterferenzen, das heißt:  Benachbarte Symbole beeinträchtigen sich bei der Symbolentscheidung gegenseitig.

Solche Impulsinterferenzen und deren Einfluss auf die Fehlerwahrscheinlichkeit lassen sich durch das Augendiagramm sehr einfach erfassen und quantifizieren.  Aber auch für die beiden anderen (impulsinterferenzfreien) Systeme lassen sich anhand der Grafiken wichtige Erkenntnisse gewinnen.

Ausgegeben wird zudem die ungünstigste („worst case”) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$, die bei den binären Nyquistsystemen identisch mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist und für die beiden anderen Systemvarianten eine geeignete obere Schranke darstellt:  $p_{\rm U} \ge p_{\rm M}$.

In der  $p_{\rm U}$–Gleichung bedeuten:

• ${\rm Q}(x)$  ist die  Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion.  Die normierte Augenöffnung kann Werte zwischen  $0 \le ö_{\rm norm} \le 1$  annehmen.
• Der Maximalwert  $(ö_{\rm norm} = 1)$  gilt für die binären Nyquistsysteme und  $ö_{\rm norm}=0$  steht für ein „geschlossenes Auge”.
• Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  hängt vom einstellbaren Parameter  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  ab, aber auch von der Codierung und vom Empfängerkonzept.

Theoretischer Hintergrund

Signaldarstellung mit orthonormalen Basisfunktionen

Wir gehen von einer Menge  $\{s_i(t)\}$  möglicher Sendesignale aus, die den möglichen Nachrichten  $m_i$  eineindeutig zugeordnet sind. Mit  $i = 1$, ... , $M$  gelte:

$$m \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} s(t) \in \{s_i(t) \}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm} m = m_i \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} s(t) = s_i(t) \hspace{0.05cm}.$$

Für das Folgende setzen wir weiter voraus, dass die  $M$ Signale  $s_i(t)$  energiebegrenzt  sind, was meist gleichzeitig bedeutet, dass sie nur von endlicher Dauer sind.

$\text{Satz:}$  Eine jede Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale lässt sich in  $N \le M$  orthonormale Basisfunktionen  $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  entwickeln. Es gilt:

$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) , \hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N \hspace{0.05cm}.$$

Jeweils zwei Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  und  $\varphi_k(t)$  müssen orthonormal zueinander sein, das heißt, dass gelten muss  $(\delta_{jk}$  nennt man das Kronecker–Symbol$)$:

$$<\hspace{-0.1cm}\varphi_j(t), \hspace{0.05cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm}> = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{jk} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.1cm}j = k \\ {\rm falls}\hspace{0.1cm} j \ne k \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

Der Parameter  $N$  gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  benötigt werden, um die  $M$  möglichen Sendesignale darzustellen. Mit anderen Worten:   $N$  ist die Dimension des Vektorraums, der von den  $M$  Signalen aufgespannt wird. Dabei gilt:

• Ist  $N = M$, so sind alle Sendesignale zueinander orthogonal. Sie sind nicht notwendigerweise orthonormal, das heißt, die Energien  $E_i = <\hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.05cm}s_i(t) \hspace{-0.1cm}>$  können durchaus ungleich Eins sein.
  
• Der Fall  $N < M$  ergibt sich, wenn mindestens ein Signal  $s_i(t)$  als Linearkombination von Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  dargestellt werden kann, die sich aus anderen Signalen  $s_j(t) \ne s_i(t)$  ergeben haben.
  

Darstellung der drei Sendesignale durch zwei Basisfunktionen

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten  $M = 3$  energiebegrenzte Signale gemäß der Grafik.

Man erkennt sofort:

• Die Signale  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$  sind zueinander orthogonal.
  

• Die Energien sind  $E_1 = A^2 \cdot T = E$  und  $E_2 = (A/2)^2 \cdot T = E/4$.
  

• Die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sind jeweils formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$.
• Beide Signale besitzen jeweils die Energie „Eins”:

$$\varphi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1} } = \frac{s_1(t)}{\sqrt{A^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} } \cdot \frac{s_1(t)}{A}$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_1(t) = s_{11} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{11} = \sqrt{E}\hspace{0.05cm},$$

$$\varphi_2(t) =\frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2} } = \frac{s_2(t)}{\sqrt{(A/2)^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} } \cdot \frac{s_2(t)}{A/2}\hspace{0.05cm}$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_2(t) = s_{21} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{21} = {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}.$$

• Das Signal  $s_3(t)$  kann durch die vorher bestimmten Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  ausgedrückt werden:

$$s_3(t) =s_{31} \cdot \varphi_1(t) + s_{32} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},$$

$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} s_{31} = {A}/{2} \cdot \sqrt {T}= {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{32} = - A \cdot \sqrt {T} = -\sqrt{E} \hspace{0.05cm}.$$

Trotz  $M=3$  gilt also im vorliegenen Fall nur  $N=2$.

Im rechten unteren Bild sind die Signale in einer 2D–Darstellung mit den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  als Achsen dargestellt, wobei  $E = A^2 \cdot T$  gilt und der Zusammenhang zu den anderen Grafiken durch die Farbgebung zu erkennen ist.

Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  in diesem zweidimensionellen Vektorraum lassen sich daraus wie folgt ablesen:

$$\mathbf{s}_1 = (\sqrt{ E}, \hspace{0.1cm}0), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.1cm}\sqrt{ E}/2), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_3 = (\sqrt{ E}/2,\hspace{0.1cm}-\sqrt{ E} ) \hspace{0.05cm}.$$

Das Verfahren nach Gram-Schmidt

Im letzten  $\text{Beispiel}$  war die Bestimmung der beiden orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sehr einfach, da diese formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$  waren. Das  Gram–Schmidt–Verfahren  findet die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_N(t)$  für beliebig vorgebbare Signale  $s_1(t)$, ... , $s_M(t)$, und zwar wie folgt:

• Die erste Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist stets formgleich mit  $s_1(t)$. Es gilt:

$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{|| s_1(t)||} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_1(t) || = 1, \hspace{0.2cm}s_{11} =|| s_1(t)||,\hspace{0.2cm}s_{1j} = 0 \hspace{0.2cm}{\rm f{\rm \ddot{u}r }}\hspace{0.2cm} j \ge 2 \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Hinweise zur Nomenklatur:}$ 

(1)  Ausgehend von zwei reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  erhält man für das  innere Produkt allgemein:

$$<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Daraus ergibt sich die  Euklidische Norm  der Zeitfunktion $s_1(t)$:

$$\vert \vert s_1(t) \vert \vert = \sqrt{<\hspace{-0.1cm}s_1(t), \hspace{0.15cm}s_1(t) \hspace{-0.1cm}>} $$

Es wird nun angenommen, dass aus den Signalen  $s_1(t)$, ... , $s_{k-1}(t)$  bereits die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  berechnet wurden  $(n \le k)$.

• Dann berechnen wir mittels der nächsten Funktion  $s_k(t)$  die Hilfsfunktion

$$\theta_k(t) = s_k(t) - \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj} \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} s_{kj} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_k(t), \hspace{0.05cm}\varphi_j(t) \hspace{-0.1cm} >, \hspace{0.2cm} j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}, n-1\hspace{0.05cm}.$$

• Hat diese Hilfsfunktion die Norm   $||\theta_k(t)|| = 0$, so liefert  $s_k(t)$  keine neue Basisfunktion.  Vielmehr lässt sich dann  $s_k(t)$  durch die  $n-1$  bereits vorher gefundenen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  ausdrücken:

$$s_k(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj}\cdot \varphi_j(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Eine neue Basisfunktion  (nämlich die  $n$–te)  ergibt sich nur für den Fall  $||\theta_k(t)|| \ne 0$:

$$\varphi_n(t) = \frac{\theta_k(t)}{|| \theta_k(t)||} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_n(t) || = 1\hspace{0.05cm}.$$

Diese Prozedur wird solange fortgesetzt, bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.

• Danach hat man alle  $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  gefunden.
• Der Sonderfall  $N = M$  ergibt sich nur dann, wenn alle  $M$  Signale linear voneinander unabhängig sind.
  

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die  $M = 4$  energiebegrenzten Signale  $s_1(t)$, ... , $s_4(t)$  entsprechend der Grafik. Zur Vereinfachung der Berechnungen sind hier sowohl die Amplituden als auch die Zeit normiert.

Zum Gram-Schmidt-Verfahren

Man erkennt aus diesen Skizzen:

• Die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist formgleich mit  $s_1(t)$.  Wegen  $E_1 = \vert \vert s_1(t) \vert \vert ^2 = 3 \cdot 0.5^2 = 0.75$  ergibt sich  $s_{11} = \vert \vert s_1(t) \vert \vert = 0.866$.  $\varphi_1(t)$  selbst besitzt abschnittsweise die Werte  $\pm 0.5/0.866 = \pm0.577$.

• Zur Berechnung der Hilfsfunktion  $\theta_2(t)$  berechnen wir

$$s_{21} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.05cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0 \cdot (+0.577) + 1 \cdot (-0.577)+ 0 \cdot (-0.577)= -0.577$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = (0.333, \hspace{0.15cm} 0.667, \hspace{0.15cm} -0.333) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\vert \vert \theta_2(t) \vert \vert^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 + (-1/3)^2 = 0.667$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{22} = \sqrt{0.667} = 0.816,\hspace{0.3cm} \varphi_2(t) = \theta_2(t)/s_{22} = (0.408, \hspace{0.15cm} 0.816, \hspace{0.15cm} -0.408)\hspace{0.05cm}. $$

• Die inneren Produkte zwischen  $s_1(t)$  mit  $\varphi_1(t)$  bzw.  $\varphi_2(t)$  liefern folgende Ergebnisse:

$$s_{31} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.577) + 0.5 \cdot (-0.577)- 0.5 \cdot (-0.577)= 0.289$$

$$s_{32} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.408) + 0.5 \cdot (+0.816)- 0.5 \cdot (-0.408)= 0.816$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_3(t) = s_3(t) - 0.289 \cdot \varphi_1(t)- 0.816 \cdot \varphi_2(t) = 0\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet:   Die grüne Funktion  $s_3(t)$  liefert keine neue Basisfunktion  $\varphi_3(t)$, im Gegensatz zur Funktion  $s_4(t)$. Die numerischen Ergebnisse hierfür können der Grafik entnommen werden.

Die verschiedenen Rubriken bei der Auswahl der Programmparameter

Das Programm bietet insgesamt  $4 \cdot 6 = 24$  Möglichkeiten zur Einstellung der jeweiligen Menge  $\{s_i(t)\}$  möglicher Sendesignale.  Diese  $24$  Parametersätze sind in vier Rubriken eingeteilt. Die vier Rubriküberschriften treffen den Sachverhalt nicht hundertprozentig und sind deshalb in Hochkommata gesetzt:

(1)  Rubrik  „Basisband”   ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (A)$  ...  $\rm (F)$:

Signalform bei „Basisband”

• Jedes Mustersignal  $s_i(t)$  besteht aus drei Rechteckfunktionen unterschiedlicher Höhen und jeweiliger Dauer  $T$. 
• Die einzelnen Rechteckhöhen sind Vielfache von  $\pm 0.25$  und die gesamte Signaldauer ergibt  $3T$.
• Mit dem seitlichen Slider kann man das Signal  $s_i(t)$  um Vielfache von  $\pm 0.25$  nach oben und unten verschieben.
• Solche Signale treten zum Beispiel bei der binären oder mehrstufigen  Basisbandübertragung  auf.
• Im  $\text{Beispiel 2}$  des angegebenen Links erkennt man die zum Beispiel grafischen Darstellungen

• eines binären Signals  $q(t)$,
• eines ternären Signals  $s_3(t)$,
• eines quaternären Signals  $s_4(t)$.

(2)  Rubrik  „M–ASK / BPSK”  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (G)$  ...  $\rm (L)$:

Signalform bei „M–ASK / BPSK”

• Die Mustersignale  $s_i(t)$  haben ebenfalls die Dauer  $3T$  und sind ähnlich aufgebaut wie bei der Rubrik  (1).
• Im Unterschied zu  (1)  wird jede Rechteckfunktion  $($Dauer $T)$  durch eine Periode einer Sinusfunktionen ersetzt.
• Der angegebene Zahlenwert gibt hier die Amplitude des sinusförmigen Teilstücks an.
• Bei negativem Vorzeichen wird aus dem „Sinus” die Funktion „Minus–Sinus”.
• Solche Signale können zum Beispiel bei der M–ASK  (mehrstufiges Amplitude Shift Keying)  auftreten, ebenso bei  BPSK (Binary Phase Shift Keying).

(3)  Rubrik  „Nur eine Frequenz”  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (M)$  ...  $\rm (R)$:

Signalform bei „Nur eine Frequenz”

• Alle Mustersignale  $s_i(t)$  haben die Dauer  $T$  und sind jeweils Harmonische Schwingungen der Form

$$s_i(t) = A \cdot \cos(2\pi \cdot f \cdot t - \varphi).$$

• In der Grafik dargestellt ist der Fall:  $A=0.75, \hspace{0.3cm}f= 2 \cdot f_0 =2/T, \hspace{0.3cm}\varphi= 90^\circ$   ⇒   sinusförmiger Verlauf.
• Alle Signale eines Musterfunktions–Satzes  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  haben die gleiche Frequenz  $f$.
• Die  $M$  Signalformen eines Sets können sich allein durch die Amplitude  $A$  und die Phase  $\varphi$  unterscheiden.
• Solche Harmonische haben für alle (analogen und digitalen) Nachrichtensysteme große Bedeutung.

(4)  Rubrik  „Mehrere Frequenzen”  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (S)$  ...  $\rm (X)$:

Versuchsdurchführung

Noch anpassen

• Wählen Sie zunächst die Nummer  (1, ...)  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

Bis hierher

(1)  Es gilt die Einstellung  $\rm A$.  Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken.  Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.

•  Einstellung  $\rm A$  beschreibt das $\text{Beispiel 2}$  im Theorieteil. Die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist identisch mit dem Signal  $s_1(t)$,  aber mit Signalenergie  $E=1$.
•  Es gibt hier nur  $N=3$  Basisfunktionen, da die Hilfsfunktion  $\theta_3(t)$  identisch Null ist.
•  Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  ... , $s_4(t)$  können im 3D–Vektorraum abgelesen werden;  Beispiel:  $\mathbf{s}_4 = (-1.444, \hspace{0.15cm} -0.408, \hspace{0.15cm} +0.707)$.

(2)  Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken für die Einstellung  $\rm B$.  Wählen Sie hierfür und bei den weiteren Aufgaben „Gesamtdarstellung”.

•  Auch hier gibt es  $N=3$  Basisfunktionen.  Bei Änderung auf  $s_4 = (-1, \hspace{0.15cm} -1, \hspace{0.25cm} 0)$  nur mehr  $N=2$.

(3)  Bei der Einstellung  $\rm C$  ist die Reihenfolge der Signale gegenüber  $\rm B$  vertauscht.  Wie wirkt sich das auf die Basisfunktionen aus?

•  Auch hier gibt es  $N=3$  Basisfunktionen, aber nun andere:  Nämlich  $\varphi_1(t) = s_1(t)$,  $\varphi_2(t) = s_2(t)$,  $\varphi_3(t) = s_3(t)$.

(4)  Die  $M=4$  Signale der Einstellung  $\rm D$  lassen sich durch nur  $N=2$  Basisfunktionen ausdrücken?  Begründen Sie dieses Ergebnis.

•  Es gilt  $s_3(t) = s_1(t)/4 - s_2(t)/2$  und  $s_4(t) = -s_1(t) - s_2(t)$.  Das heißt:  $s_3(t)$  und  $s_4(t)$  liefern keine neuen Basisfunktionen.

(5)  Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken für die Einstellung  $\rm E$  im Vergleich zur Einstellung  $\rm D$.

•  Bei der Einstellung  $\rm E$  ist die Reihenfolge der Signale gegenüber der Einstellung   $\rm D$  vertauscht. Ähnlich wie zwischen  $\rm B$  und  $\rm C$.
•  Auch diese  $M=4$  Signale lassen sich somit durch nur  $N=2$  Basisfunktionen ausdrücken, aber durch andere als in der Aufgabe  (4).

(6)  Welches Ergebnis liefern die vier Signale gemäß der Einstellung  $\rm F$?

•  Die die Signale  $s_1(t)$, ... , $s_4(t)$  basieren alle auf einer einzigen Basisfunktion   $\varphi_1(t)$, die formgleich mit  $s_1(t)$  ist.  Es gilt  $N=1$.
•  Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  ... , $s_4(t)$  sind  $\pm 0.866$  und  $\pm 1.732$.  Sie liegen alle auf einer Linie.

(7)  Es gilt nun die „M–ASK / BPSK”–Einstellung  $\rm G$.  Interpretieren Sie das Ergebnis und versuchen Sie, einen Zusammenhang zu einer früheren Aufgabe herzustellen.

•  Vergleicht man die angegebenen Zahlenwerte, so erkennt man, dass eine ähnliche Konstellation betrachtet wird wie bei der „Basisband”–Einstellung  $\rm A$.
•  Der einzige Unterschied ist, dass nun alle Energien nur halb so groß sind wie vorher.  Bezüglich der Amplituden wirkt sich das um den Faktor  $\sqrt{2}$  aus.
•  Somit ist nun der vektorielle Repräsentant des unteren Signals    $\mathbf{s}_4 = (-1.021, \hspace{0.15cm} -0.289, \hspace{0.15cm} +0.500)$  anstelle von  $\mathbf{s}_4 = (-1.444, \hspace{0.15cm} -0.408, \hspace{0.15cm} +0.707)$.
•  Bei der Einstellung  $\rm H$  sind gegenüber  $\rm G$  alle Amplituden verdoppelt. Somit ergibt sich hier wieder  $\mathbf{s}_4 = (-1.444, \hspace{0.15cm} -0.408, \hspace{0.15cm} +0.707)$.

(8)  Es gelte die „M–ASK / BPSK”–Einstellung  $\rm I$.  Interpretieren Sie das Ergebnis.  Versuchen Sie wieder, einen Zusammenhang zu einer früheren Aufgabe herzustellen.

•  Hier wird eine ähnliche Konstellation betrachtet wird wie bei der „Basisband”–Einstellung  $\rm C$, aber nun mit nur halb so großen Energien.
•  Somit ist nun der vektorielle Repräsentant des unteren Signals    $\mathbf{s}_4 = (+0.707, \hspace{0.15cm} -0.707, \hspace{0.15cm} 0.000)$  anstelle von  $\mathbf{s}_4 = (+1.000, \hspace{0.15cm} -1.000, \hspace{0.15cm} 0.000)$.

(9)  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  und  $12 \ {\rm dB}$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Es gibt nun drei Augenöffnungen. Gegenüber  (5)  ist also  $ö_{\rm norm}$  um den Faktor  $3$  kleiner,  $\sigma_{\rm norm}$  dagegen nur um etwa den Faktor  $\sqrt{5/9)} \approx 0.75$.
•  Für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  ergibt sich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2.27\%$  und für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$  nur mehr  $0.59\%$.

(10)  Für die restlichen Aufgaben gelte stets  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Betrachten Sie das Augendiagramm für  $M=4 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.5$.

•  In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle „Fünf–Symbol–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $4^5 = 1024$  Teilstücke   ⇒   maximal  $1024$  unterscheidbare Linien.
•  Alle  $1024$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur vier Punkte:  $ö_{\rm norm}= 0.333$. $\sigma_{\rm norm} = 0.143$  ist etwas größer als in  (9)  ⇒   ebenso  $p_{\rm U} \approx 1\%$.

(11)  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  und variieren Sie  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$.   Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.48$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 0.21\%$.  Kompromiss zwischen  $ö_{\rm norm}= 0.312$  und  $\sigma_{\rm norm}= 0.109$.
•  Bei zu kleiner Grenzfrequenz dominieren die Impulsinterferenzen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 0.3$:  $ö_{\rm norm}= 0.157; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.086$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 3.5\%$.
•  Bei zu großer Grenzfrequenz dominiert das Rauschen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 1.0$:  $ö_{\rm norm}= 0.333; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.157$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 1.7\%$.
•  Aus dem Vergleich mit  (9)  erkennt man:  Bei Quaternärcodierung ist es günstiger, Impulsinterferenzen zuzulassen.

(12)  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (AMI-Code), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? Interpretation.

•  Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist in beiden Fällen gleich. Die Abtastwerte sind jeweils  $g_0 = 0.771, \ g_1 = 0.114$.
•  Beim AMI–Code gibt es zwei Augenöffnungen mit je  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1) = 0.214$.  Beim Binärcode:  $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1 = 0.543$.
•  Die AMI–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Die Symbole  $+1$  und  $-1$  wechseln sich ab   ⇒   es gibt keine lange  $+1$–Folge und keine lange  $-1$–Folge.
•  Darin liegt der einzige Vorteil des AMI–Codes:  Dieser kann auch bei einem gleichsignalfreien Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f= 0)=0$  angewendet werden.

(13)  Gleiche Einstellung wie in  (12), zudem  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Analysieren Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit des AMI–Codes.

•  Trotz kleinerem  $\sigma_{\rm norm} = 0.103$  hat der AMI–Code eine höhere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2\%$  als der Binärcode:  $\sigma_{\rm norm} = 0.146, \ p_{\rm U} \approx \cdot 10^{-4}.$
•  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.34$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  ⇒    $p_{\rm U} =50\%$. Beim Binärcode:  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}>0.34$  ist das Auge geöffnet.

(14)  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (Duobinärcode), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.30$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem?

•  Redundanzfreier Binärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.096, \ \sigma_{\rm norm} = 0.116 \ p_{\rm U} \approx 20\% $       Duobinärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.167, \ \sigma_{\rm norm} = 0.082 \ p_{\rm U} \approx 2\% $.
• Insbesondere bei kleinem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  liefert der Duobinärcode gute Ergebnisse, da die Übergänge von  $+1$  nach  $-1$  (und umgekehrt) im Auge fehlen.
• Selbst mit  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.2$  ist das Auge noch geöffnet. Im Gegensatz zum AMI–Code  ist aber „Duobinär” bei gleichsignalfreiem Kanal nicht anwendbar.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Auswahl:   Codierung
                   (binär,  quaternär,  AMI–Code,  Duobinärcode)

    (B)     Auswahl:   Detektionsgrundimpuls
                    (nach Gauß–TP,  CRO–Nyquist,  nach Spalt–TP}

    (C)     Prametereingabe zu  (B)
                   (Grenzfrequenz,  Rolloff–Faktor,  Rechteckdauer)

    (D)     Steuerung der Augendiagrammdarstellung
                   (Start,  Pause/Weiter,  Einzelschritt,  Gesamt,  Reset)

    (E)     Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

    (F)     Darstellung:  Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$

    (G)     Darstellung:  Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

    (H)     Darstellung:  Augendiagramm im Bereich  $\pm T$

    ( I )     Numerikausgabe:  $ö_{\rm norm}$  (normierte Augenöffnung)

    (J)     Prametereingabe  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  für  (K)

    (K)     Numerikausgabe:  $\sigma_{\rm norm}$  (normierter Rauscheffektivwert)

    (L)     Numerikausgabe:  $p_{\rm U}$  (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

    (M)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    (N)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    (O)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2008 von  Thomas Großer  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

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