Bessel Functions of the First Kind
Inhaltsverzeichnis
Applet Description
This applet allows the calculation and graphical representation of the Bessel functions of the first kind and $n$–th order according to the series representation:
- $${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
- Graphically represented, the functions ${\rm J}_n (x)$ for the order $n=0$ to $n=9$ can become different colors.
- The left-hand output provides the function values ${\rm J}_0 (x = x_1)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_1)$ for a slider-settable value $x_1$ in the range $0 \le x_1 \le 15$ with increment $0.5$.
- The right hand side returns the function values ${\rm J}_0 (x = x_2)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_2)$ for a slider-settable value $x_2$ (same range and value) Increment as on the left).
Theoretical Background
General Information about the Bessel Functions
Bessel functions (or cylinder functions) are solutions of the Bessel differential equation of the form
- $$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2) \cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$
This is an ordinary second-order linear differential equation. The parameter $ n $ is usually integer, as in this program. These mathematical functions, which were introduced in 1844 by Friedrich Wilhelm Bessel, can also be represented in closed form as integrals:
- $${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
The functions ${\rm J}_n (x)$ belong to the class of Bessel functions of the first kind (German: Besselfunktionen erster Art). The parameter $n$ is called the Order.
Annotation: There are a number of modifications of the Bessel functions, including the second-order Bessel functions named ${\rm Y}_n (x)$. For integer $n$, ${\rm Y}_n (x)$ can be replaced by ${\rm J}_n (x)$–functions. However, in this applet, only the first-order Bessel functions are ⇒ ${\rm J}_n (x)$ is considered.
Properties of the Bessel Functions
$\text{Property (A):}$ If the function values for $n = 0$ and $n = 1$ are known, then the Bessel function for $n ≥ 2$ can be determined iteratively:
- $${\rm J}_n (x) ={2 \cdot (n-1)}/{x} \cdot {\rm J}_{n-1} (x) - {\rm J}_{n-2} (x) \hspace{0.05cm}.$$
$\text{Example (A):}$ Consider ${\rm J}_0 (x = 2) = 0.22389$ and ${\rm J}_1 (x= 2) = 0.57672$. From this it can be calculated iteratively:
- $${\rm J}_2 (x= 2) ={2 \cdot 1}/{2} \cdot {\rm J}_{1} (x= 2) - {\rm J}_{0} (x= 2) = 0.57672 - 0.22389 = \hspace{0.15cm}\underline{0.35283}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm J}_3 (x= 2) ={2 \cdot 2}/{2} \cdot {\rm J}_{2} (x= 2) - {\rm J}_{1} (x= 2) = 2 \cdot 0.35283 - 0.57672 = \hspace{0.15cm}\underline{0.12894}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm J}_4 (x= 2) ={2 \cdot 3}/{2} \cdot {\rm J}_{3} (x= 2) - {\rm J}_{2} (x= 2) = 3 \cdot 0.12894 - 0.35283 = \hspace{0.15cm}\underline{0.03400}\hspace{0.05cm}.$$
$\text{Property (B):}$ The symmetry relationship applies ${\rm J}_{–n}(x) = (–1)^n · {\rm J}_n(x)$:
- $${\rm J}_{-1}(x) = - {\rm J}_{1}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2}(x) = {\rm J}_{2}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3}(x) = - {\rm J}_{3}(x).$$
$\text{Example (B):}$ For the spectrum of the analytic signal, in phase modulation of a sinusoidal signal:
- $$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$
Denote this
- $f_{\rm T}$ the carrier frequency,
- $f_{\rm N}$ the message frequency,
- $A_{\rm T}$ the carrier amplitude.
The parameter of the Bessel functions in this application is the modulation index $\eta$.
Based on the graphic, the following statements are possible:
- Here $S_+(f)$ consists of an infinite number of discrete lines at a distance of $f_{\rm N}$.
- It is thus in principle infinitely extended.
- The weights of the spectral lines at $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$ ($n$ integer) are determined by the modulation index $η$ over the Bessel functions ${\rm J}_n(η)$.
- The spectral lines are real in the case of a sinusoidal source signal and a cosinusoidal carrier and symmetric about $f_{\rm T}$ for even $n$.
- For odd $n$ , a sign change according to the $\text{Property (B)}$ has to be considered.
- The phase modulation of another phase oscillation of source and / or carrier signal provides the same magnitude spectrum.
Anwendungen der Besselfunktionen
Die Anwendungen der Besselfunktionen in den Natur– und Ingenieurswissenschaften sind vielfältig und spielen eine wichtige Rolle in der Physik, zum Beispiel:
- Untersuchung von Eigenschwingungen von zylindrischen Resonatoren,
- Lösung der radialen Schrödinger–Gleichung,
- Schalldruckamplituden von dünnflüssgigen Rotationsströmen,
- Wärmeleitung in zylindrischen Körpern,
- Streuungsproblem eines Gitters,
- Dynamik von Schwingkörpern,
- Winkelauflösung.
Man zählt die Besselfunktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.
Wir beschränken uns im Folgenden auf einige Gebiete, die in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ angesprochen werden.
Im enlischen Original Electromagnetic waves in a cylindrical waveguide Pressure amplitudes of inviscid rotational flows Heat conduction in a cylindrical object Modes of vibration of a thin circular (or annular) acoustic membrane (such as a drum or other membranophone) Diffusion problems on a lattice Solutions to the radial Schrödinger equation (in spherical and cylindrical coordinates) for a free particle Solving for patterns of acoustical radiation Frequency-dependent friction in circular pipelines Dynamics of floating bodies Angular resolution Ende
$\text{Beispiel (C):} \hspace{0.5cm} \text{Einsatz in der Spektralanalyse} \ \Rightarrow \ \text{Kaiser-Bessel-Filter}$
Als spektralen Leckeffekt bezeichnet man die Verfälschung des Spektrums eines periodischen und damit zeitlich unbegrenzten Signals aufgrund der impliziten Zeitbegrenzung der Diskreten Fouriertransformation (DFT). Dadurch werden zum Beispiel von einem Spektrumanalyzer
- im Zeitsignal nicht vorhandene Frequenzanteile vorgetäuscht, und/oder
- tatsächlich vorhandene Spektralkomponenten durch Seitenkeulen verdeckt.
Aufgabe der Spektralanalyse ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des spektralen Leckeffektes zu begrenzen.
Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser–Bessel–Fenster ⇒ siehe Abschnitt Spezielle Fensterfunktionen. Dessen zeitdiskrete Fenserfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung ⇒ ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter $\alpha=3.5$ und der Fensterlänge $N$:
- $$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$
Auf der Seite Gütekriterien von Fensterfunktionen sind u.a. die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:
- Günstig sind der große „Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen” und der gewünscht kleine „Maximale Skalierungsfehler”.
- Aufgrund der sehr großen „Äquivalenten Rauschbreite” schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium „Maximaler Prozessverlust” doch schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.
$\text{Beispiel (D):} \hspace{0.5cm} \text{Rice-Fading-Kanalmodell}$
Die Rayleigh–Verteilung beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.
Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: Line of Sight, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen $x(t)$ und $y(t)$ noch Gleichkomponenten $x_0$ und/oder $y_0$ hinzufügen:
$$\hspace{0.2cm}x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{0.2cm}z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt das Rice–Fading–Kanalmodell. Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:
- Der Realteil $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $x_0$ und Varianz $\sigma ^2$.
- Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.
- Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $\vert z(t)\vert$ riceverteilt, woraus die Bezeichnung „Rice–Fading” herrührt.
- Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $\vert z(t)\vert = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$, für $a \ge 0$ gilt folgende Gleichung, wobei ${\rm I_0}(x)$ die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung bezeichnet:
- $$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.$$
- Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion ${\rm I_0}(x)$ – jeweils erster Art – besteht also der Zusammenhang ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.
$\text{Beispiel (E):} \hspace{0.5cm} \text{Analyse des Frequenzspektrums von frequenzmodulierten Signalen}$
Im $\text{Beispiel (B)}$ wurde bereits gezeigt, dass die Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung der Frequenz $f_{\rm N}$ zu einem Linienspektrum führt. Die Spektrallinien liegen um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ bei $f_{\rm T} + n \cdot f_{\rm N}$ mit $n \in \{ \ \text{...}, -2, -1, \ 0, +1, +2, \text{...} \ \}$. Die Gewichte der Diraclinien sind ${\rm J }_n(\eta)$, abhängig vom Modulationsindex $\eta$.
Die Grafik zeigt das Betragsspektrum $\vert S_{\rm +}(f) \vert$ des analytischen Signals bei Phasenmodulation (PM) und Frequenzmodulation (FM), zwei unterschiedliche Formen der Winkelmodulation (WM). Bessellinien mit Werten kleiner als $0.03$ sind hierbei in beiden Fällen vernachlässigt.
Für die obere Bildhälfte sind die Modulatorparameter so gewählt, dass sich für $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ jeweils ein Besselspektrum mit dem Modulationsindex $η = 1.5$ ergibt. Lässt man die Phasenbeziehungen außer Acht, so ergeben sich für beide Systeme gleiche Spektren und gleiche Signale.
Die unteren Grafiken gelten bei sonst gleichen Einstellungen für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$. Man erkennt:
- Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ eine schmalere Spektralfunktion, da nun der Abstand der Bessellinien nur mehr $3 \ \rm kHz$ beträgt. Da bei PM der Modulationsindex unabhängig von $f_{\rm N}$ ist, ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
- Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von $3 \ \rm kHz$ auf. Da aber bei FM der Modulationsindex umgekehrt proportional zu $f_{\rm N}$ ist, gibt es nun unten aufgrund des größeren Modulationsindex $η = 2.5$ deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen (für $η = 1.5$ gültigen) Diagramm.
Das folgende Kapitel muss noch angepasst werden!
Zur Handhabung des Applets
(A) Vorauswahl für blauen Parametersatz
(B) Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider
(C) Vorauswahl für roten Parametersatz
(D) Parametereingabe $\lambda$ per Slider
(E) Graphische Darstellung der Verteilungen
(F) Momentenausgabe für blauen Parametersatz
(G) Momentenausgabe für roten Parametersatz
(H) Variation der grafischen Darstellung
$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),
$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)
$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)
$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.
( I ) Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$
(J) Bereich für die Versuchsdurchführung
Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:
- Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
- Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2006 von Markus Elsberger und Slim Lamine im Rahmen von Abschlussarbeiten mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2018 wurde das Programm von Xiaohan Liu (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt.
