Digitale Filter

Allgemeines Blockschaltbild

Jedes Signal $x(t)$ kann an einem Rechner nur durch die Folge $〈x_ν〉$ seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei $x_ν$ für $x(ν · T_{\rm A})$ steht. Der zeitliche Abstand $T_{\rm A}$ zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das Abtasttheorem nach oben begrenzt.

Um den Einfluss eines linearen Filters mit dem Frequenzgang $H(f)$ auf das zeitdiskrete Signal $〈x_ν〉$ zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben. Nachfolgend sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.

Für die Abtastwerte des Ausgangssignals gilt somit: $y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$

Hierzu ist folgendes zu bemerken:

Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Wertes $y_ν$ am Filterausgang vom aktuellen Eingangswert $x_ν$ und von den $M$ vorherigen Eingangswerten $x_{ν–1}, ... , x_{ν–M}.$
Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von $y_ν$ durch die vorherigen Werte $y_{ν–1}, ... , y_{ν–M}$ am Filterausgang. Sie gibt somit den rekursiven Teil des Filters an.
Man bezeichnet den ganzzahligen Parameter $M$ als die Ordnung des digitalen Filters.

Nichtrekursive Filter

Sind alle Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} =$ 0, so spricht von einem nichtrekursiven Filter.

Ein solches nichtrekursives Filter $M$ -ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:

Der Ausgangswert $y_ν$ hängt nur vom aktuellen und den $M$ vorherigen Eingangswerten ab:

$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$

Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit $x(t) = δ(t)$ . In diskreter Schreibweise lautet das entsprechende Eingangssignal: $x_ν ≡$ 0 mit Ausnahme von $x_0 =$ 1:

$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )} .$

Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt daraus für den Filterfrequenzgang:

$H(f) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}f\mu T_{\rm A} } } .$

Ein Zweiwegekanal, bei dem

das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um 2 μs verzögert ankommt, und
in 4 μs Abstand – also absolut zur Zeit $t =$ 6 μs – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,

kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind: $M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{\mu s}},\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$