Aufgabe 1.1: Multiplexing beim GSM–System

Multiplexen beim GSM–Mobilfunk

Der seit 1992 in Europa etablierte Mobilfunkstandard "Global System for Mobile Communication" $\rm (GSM)$ nutzt sowohl Frequenz– als auch Zeitmultiplex, um mehreren Teilnehmern die Kommunikation in einer Zelle zu ermöglichen.

Nachfolgend sind einige Charakteristika des Systems in etwas vereinfachter Form angegeben. Eine exaktere Beschreibung finden Sie im Kapitel Allgemeine Beschreibung von GSM im Buch „Beispiele von Nachrichtensystemen”.

Das Frequenzband des Uplinks (die Verbindung von der Mobil– zur Basisstation) liegt zwischen $\text{890 MHz}$ und $\text{915 MHz}$. Unter Berücksichtigung der Guard–Bänder $($von je $\text{100 kHz)}$ an den beiden Enden steht somit für den Uplink eine Gesamtbandbreite von $\text{24.8 MHz}$ zur Verfügung.
Dieses Band wird von $K_{\rm F}$ Teilkanälen ("Radio Frequency Channels") genutzt, die mit jeweiligem Abstand $\text{200 kHz}$ frequenzmäßig nebeneinander liegen. Die Numerierung geschieht mit der Laufvariablen $k_{\rm F}$, beginnend mit $k_{\rm F} = 1$.
Der Frequenzbereich für den Downlink (die Verbindung von der Basis– zur Mobilstation) liegt um $\text{45 MHz}$ oberhalb des Uplinks und ist in genau gleicher Weise wie dieser aufgebaut.
Jeder dieser FDMA–Teilkanäle wird gleichzeitig von $K_{\rm T}$ Teilnehmern per TDMA ("Time Division Multiple Access") genutzt.
Jedem Teilnehmer steht im Abstand von $\text{4.62 ms}$ ein Zeitschlitz der Dauer $T ≈ 577 \rm µ s$ zur Verfügung.
Während dieser Zeit müssen die (näherungsweise) $156$ Bit übertragen werden, die das Sprachsignal unter Berücksichtigung von Datenreduktion und Kanalcodierung beschreiben.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zielsetzung von Modulation und Demodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
- Bündelung von Kanälen – Frequenzmultiplex sowie
- Zeitmultiplexverfahren.

Fragebogen

$K_{\rm F} \ = \ $

$f_{\rm M} \ = \ $

$\ \rm MHz$

$k_{\rm F} \ = \ $

$K_{\rm T} \ = \ $

$K \ = \ $

$R_{\rm Brutto} \ = \ $

$\ \rm kbit/s$

Musterlösung

(1) Aus der Gesamtbandbreite $\text{24.8 MHz}$ und dem Kanalabstand 200 kHz folgt

$$K_{\rm F}\hspace{0.15cm}\underline{ = 124}.$$

(2) Die Mittenfrequenz des ersten Kanals liegt bei $\text{890.2 MHz}$. Der Kanal „RFCH 100” liegt um $\text{ 99 · 200 kHz = 19.8 MHz}$ höher:

$$f_{\rm M}= 890.2 \ \rm MHz + 19.8 \ \rm MHz\hspace{0.15cm}\underline{ = 910 \ \rm MHz}.$$

(3) Um die Überlegungen zur Teilaufgabe (2) nutzen zu können, transformieren wir die Aufgabenstellung in den Uplink:

Der gleiche Kanal mit der Kennung $k_{\rm F}$, der im Downlink die Frequenz $\text{940 MHz}$ nutzt, liegt im Uplink bei $\text{895 MHz}$.
Damit gilt:

$$k_{\rm F} = 1 + \frac {895 \,\,{\rm MHz } - 890.2 \,\,{\rm MHz } }{0.2 \,\,{\rm MHz }} \hspace{0.15cm}\underline {= 25}.$$

(4) In einem TDMA–Rahmen der Dauer $\text{4.62}$ Millisekunden können $K_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 8}$ Zeitschlitze mit jeweiliger Dauer $T = 577 \ \rm µ s$ untergebracht werden.

Anmerkung: Bei GSM wird tatsächlich $K_{\rm T} = 8$ verwendet.

(5) Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1) und (4) erhält man:

$$K = K_{\rm F} \cdot K_{\rm T} = 124 \cdot 8 \hspace{0.15cm}\underline {= 992}$$

(6) Während der Zeit $T = 577 \ \rm µs$ müssen $156$ Bit übertragen werden.

Damit stehen für jedes Bit die Zeit $T_{\rm B} = 3.699 \ \rm µ s$ zur Verfügung.
Daraus ergibt sich die (Brutto–)Bitrate

$$R_{\rm Brutto} = \frac {1 }{T_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 270 \,\,{\rm kbit/s }}.$$

Diese Brutto–Bitrate beinhaltet neben den das Sprachsignal beschreibenden Datensymbolen auch die Trainigssequenz zur Kanalschätzung und die Redundanz für die Kanalcodierung. Die Netto–Bitrate beträgt beim GSM–System für jeden der acht Benutzer nur etwa $\text{13 kbit/s}$.