Diskrete Fouriertransformation und Inverse

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!!! Diese App wird gerade entwickelt. Entwicklungsstufe 0. Hat mit dem angekündigten Thema noch nichts zu tun!!!

Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen  $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:  $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt

• die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
• die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
• die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
• die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  Plot.ly

Theoretischer Hintergrund

Diskrete Fouriertransformation

Aus dem herkömmlichen  „ersten Fourierintegral”

$$X(f) =\int_{-\infty }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$

entsteht durch Diskretisierung  $(\text{d}t \to T_{\rm A}$,  $t \to \nu \cdot T_{\rm A}$,  $f \to \mu \cdot f_{\rm A}$,  $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1/N)$  die abgetastete und periodifizierte Spektralfunktion

$${\rm P}\{X(\mu \cdot f_{\rm A})\} = T_{\rm A} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} {\rm P}\{x(\nu \cdot T_{\rm A})\}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu /N} \hspace{0.05cm}.$$

Es ist berücksichtigt, dass aufgrund der Diskretisierung jeweils die periodifizierten Funktionen einzusetzen sind.

Aus Gründen einer vereinfachten Schreibweise nehmen wir nun die folgenden Substitutionen vor:

• Die  $N$  Zeitbereichskoeffizienten  seien mit der Laufvariablen  $\nu = 0$, ... , $N - 1$:

$$d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

• Die  $N$  Frequenzbereichskoeffizienten  seien mit der Laufvariablen  $\mu = 0,$ ... , $N$ – 1:

$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big|}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

• Abkürzend wird für den von  $N$  abhängigen  komplexen Drehfaktor  geschrieben:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit  $N=8$

$\text{Definition:}$ 

Unter dem Begriff  Diskrete Fouriertransformation  (kurz DFT)  versteht man die Berechnung der  $N$  Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  aus den  $N$  Signalkoeffizienten  $d(\nu)$:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik erkennt man an einem Beispiel

• die  $N = 8$  Signalkoeffizienten  $d(\nu)$  an der blauen Füllung,
• die  $N = 8$  Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  an der grünen Füllung.

Inverse Diskrete Fouriertransformation

Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) beschreibt das  „zweite Fourierintegral”

$$\begin{align*}x(t) & = \int_{-\infty }^{+\infty}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\end{align*}$$

in diskretisierter Form:   $d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.01cm}.$

Zur Definition der IDFT mit  $N=8$

$\text{Definition:}$ 

Unter dem Begriff  Inverse Diskrete Fouriertransformation  (kurz IDFT)  versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten  $d(\nu)$  aus den Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Mit den Laufvariablen  $\nu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$  und  $\mu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$  gilt auch hier:

$$d(\nu) = {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big \vert}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A} }\hspace{0.01cm},$$

$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big \vert}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A} } \hspace{0.01cm},$$

$$w = {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} \hspace{0.01cm}.$$

Ein Vergleich zwischen DFT und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann. Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:

• Der Exponent des Drehfaktors ist mit unterschiedlichem Vorzeichen anzusetzen.
• Bei der IDFT entfällt die Division durch  $N$.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
• Für die „1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

(1)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (a): Gleichsignal}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen FT? 

•  Im Zeitbereich sind alle  $d(\nu) =1$. Dann sind alle  $D(\mu) =0$  mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(0)] =1$.
•  Dies entspricht bei der herkömmlichen (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformation:   $x(t) = A\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = A \cdot \delta(f=0)$  mit  $A=1$.

(2)  Gehen Sie vom erhaltenen $D(\mu)$–Feld aus und verschieben Sie alle Koeffizienten um eine Stelle nach unten. Welche Zeitfunktion liefert die  $\rm IDFT$? 

•  Nun sind alle  $D(\mu) =0$  mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Das Zeitbereichsergebnis ist eine komplexe Exonentialfunktion.
•  Der Realteil des   $d(\nu)$–Feldes zeigt einen Cosinus und der Imaginärteil eine Sinusfunktion. Bei beiden Funktionen erkennt man jeweils eine Periode.

(3)  Ergänzen Sie das aktuelle $D(\mu)$–Feld  um den Koeffizienten  ${\rm Im}\big [D(1)] =1$. Welche Unterschiede erkennt man gegenüber (2) im Zeitbereich? 

•  Zum einen erkennt man nun bei Realteil und Imaginärteil eine Phasenverschiebung um zwei Stützwerte. Dies entspricht der Phase  $\varphi = 45^\circ$.
•  Zudem wurden die Amplituden von Real– und Imaginärteil jeweils um den Faktor  $\sqrt{2}$  vergrößert.

(4)  Setzen Sie das $D(\mu)$–Feld auf Null mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Durch welchen zusätzlichen $D(\mu)$–Koeffizienten erhält man ein reelles  $d(\nu)$–Feld?

•  Durch Probieren oder Nachdenken erkennt man, dass auch  ${\rm Re}\big [D(15)] =1$  gesetzt werden muss. Dann beschreibt das $d(\nu)$–Feld einen Cosinus.
•  Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:   $x(t) = 2 \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = \delta(f -f_0)+\delta(f +f_0)$.
•  Das Feld  $D(1)$  steht für die Frequenz  $f_0$  und aufgrund der Periodizät mit  $N=16$  wird die Frequenz  $-f_0$  durch  $D(15) = D(-1)$  ausgedrückt.

(5)  Mit welchem $D(\mu)$–Feld erhält man nach der  $\rm IDFT$  im  $d(\nu)$–Feld eine reelle Cosinusfunktion mit der Amplitude $A=1$?

•  Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenso wie die herkömmliche Fouriertransformation linear   ⇒   $D(1) = D(15)=0.5$.

(6)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (e): Cosinussignal}$ und anschließende Signalverschiebungen.  Was bewirken diese Verschiebungen im Frequenzbereich? 

•  Eine Verschiebung im Zeitbereich verändert das Cosinussignal zu einer „Harmonischen Schwingung” mit beliebiger Phase.
•  Das  $D(\mu)$–Feld ist weiterhin Null bis auf  $D(1)$  und  $D(15)$. Die Beträge   $|D(1)|$  und  $|D(15)|$  bleiben ebenfalls gleich.
•  Die alleinige Veränderung betrifft die Phase, also die unterschiedliche Aufteilung der Beträge auf Real– und Imaginärteil.

(7)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (f): Sinussignal}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen FT? 

•  Das Sinussignal ergibt sich aus dem Cosinussignal durch vier Zeitverschiebungen. Deshalb gelten alle Aussagen von (6) weiterhin.
•  Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:   $x(t) = \sin(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = {\rm j}/2 \cdot \big [\delta(f +f_0)-\delta(f -f_0)\big ]$.
•  Der Koeffizient  $D(1)$   ⇒   $($Frequenz: $+f_0)$  ist imaginär und hat den Imaginärteil  $-0.5$. Entsprechend gilt  ${\rm Im}\big [D(15)] =+0.5$   ⇒   $($Frequenz: $-f_0)$.

(8)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Aufgabe  (5).

•  Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:   $x(t) = \cos(2\pi \cdot (2f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -2 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +2f_0)$.
•  Für die Frequenz  $2f_0$ steht das Feld  $D(2)$  und für die Frequenz  $-2f_0$ aufgrund der Periodizät das Feld  $D(14) = D(-2)$ :   $D(2) = D(14) = 0.5$.

(9)  Untersuchen Sie nun den Fall  $\text{DFT von Sinussignal (zwei Perioden)}$. Welche Einstellung müssen Sie vornehmen? Interpretieren Sie das Ergebnis.

•  Zum gewünschten Signal kommt man von  $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$  mit zwei Verschiebungen. Bei  (7):  Vier Verschiebungen.
•   Das DFT–Ergebnis lautet dementsprechend:  ${\rm Im}\big [D(2)] =-0.5$  und  ${\rm Im}\big [D(14)] =+0.5$.

(10)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von (h) Alternierende Zeitkoeffizienten}$. Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis.

•  Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:   $x(t) = \cos(2\pi \cdot (8f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -8 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +8f_0)$.
•  $8f_0$  ist die höchste mit  $N=16$  in der DFT darstellbare Frequenz. Pro Periodendauer gibt es nur zwei Abtastwerte, nämlich  $+1$  und  $-1$.
•  Unterschied zur Teilaufgabe  (5): Aus  $D(1) =0.5$  wird nun  $D(8) =0.5$. Ebenso verschiebt sich  $D(15) =0.5$  auf  $D(8) =0.5$.   Endergebnis:  $D(8) =1$.

(11)  Welche Unterschiede erhält man mit den beiden Einstellungen     $\text{IDFT von Spektrum (C)}$  sowie    $\text{DFT von Signal (c)}$ ?

•  Im ersten Fall  ⇒   ${\rm Re}\big [D(\mu=1)] = 1$  ergibt sich im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $x(t) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$  mit positivem Vorzeichen.
•  Im zweiten Fall  ⇒   ${\rm Re}\big [d(\nu=1)] = 1$  ergibt sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $X(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$  mit negativem Vorzeichen.
•  Für  ${\rm Re}\big [d(\nu=15)] = 1$  würde sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $X(f) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$  mit positivem Vorzeichen ergeben.

(12)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (k) Dreieckimpuls}$. Interpretieren Sie die $d(\nu)$–Belegung und das DFT–Ergebnis.

•  Wählen Sie die Betragsdarstellung. $x(t)$  ist symmetrisch um  $t=0$  und erstreckt sich von  $-T/2$  bis  $+T/2$. Es gilt  $T_{\rm A} = T/16$.  $d(\nu)$–Belegung:
• $d(0)=x(0)= 1$, $d(1)=x(T_{\rm A})= 0.875$, ... ,  $d(8)=x(8T_{\rm A})= 0$,  $d(9)=x(-7T_{\rm A})= 0.125$, ...,  $d(15)=x(-T_{\rm A})= 0.875$.
• Im Frequenzbereich:  Erst Gleichanteil  ⇒  $D(0)$, dann positive Frequenzen  ⇒  $D(1) ,\text{ ... },D(8)$, dann negative Frequenzen (gespiegelt)  ⇒  $D(9), \text{ ... },D(15)$.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Parametereingabe per Slider:  $\sigma_X$,  $\sigma_Y$ und  $\rho$

    (B)     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    (C)     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    (D)     Höhenlinien darstellen anstelle von „1D-WDF”

    (E)     Darstellungsbereich für „2D-WDF”

    (F)     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    (G)     Darstellungsbereich für „1D-WDF” bzw. „Höhenlinien”

    (H)     Manipulation der 2D-Grafik („1D-WDF”)

    ( I )     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    (K)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

    ( L)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung







Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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