Stochastische Signaltheorie/Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften: Unterschied zwischen den Versionen

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==AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters==
 
==AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters==
 
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Wir betrachten ein ''nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung'' gemäß der folgenden Grafik.  
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Wir betrachten ein ''nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung''&nbsp; gemäß der folgenden Grafik.  
[[Datei:P_ID555__Sto_T_5_3_S1_neu.png |frame| Nichtrekursives Filter ''M''-ter Ordnung]]
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Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈x_ν〉$ ist
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Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist
* mittelwertfrei ($m_x = 0$),  
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* mittelwertfrei $(m_x = 0)$,  
 
*gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$), und  
 
*gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$), und  
 
* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”) <br>&rArr; &nbsp; statistisch unabhängige Abtastwerte.  
 
* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”) <br>&rArr; &nbsp; statistisch unabhängige Abtastwerte.  
 
  
  
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*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:  
 
*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:  
 
:$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}  {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,}  \\  0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.}  \\\end{array}} \right.$$
 
:$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}  {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,}  \\  0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.}  \\\end{array}} \right.$$
*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ ist wie folgt gegeben:
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*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist wie folgt gegeben:
 
:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu  \cdot a_{\mu  + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
 
:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu  \cdot a_{\mu  + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
*Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind $0$, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch zu $k = 0$:  
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*Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind Null, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch zu $k = 0$:  
 
:$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$
 
:$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$
  
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:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2  \cdot ( {a_0 ^2  + a_1 ^2 }) = 4,$$
 
:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2  \cdot ( {a_0 ^2  + a_1 ^2 }) = 4,$$
 
:$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot a_0  \cdot a_1  = 1.92.$$
 
:$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot a_0  \cdot a_1  = 1.92.$$
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Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:  
 
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*Wegen $a_0^2 + a_1^2 = 1$  besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal: &nbsp;  $σ_x^2 = φ_x(0) = 4$.  
 
*Wegen $a_0^2 + a_1^2 = 1$  besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal: &nbsp;  $σ_x^2 = φ_x(0) = 4$.  
*Im Gegensatz zur Eingangsfolge $〈x_ν〉$ gibt es bei der Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten. }}
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*Im Gegensatz zur Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ gibt es bei der Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten. }}
  
  
 
==Zur Koeffizientenbestimmung==
 
==Zur Koeffizientenbestimmung==
 
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Nun soll folgende Fragebeantwortet werden:  
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Nun soll folgende Frage beantwortet werden: &nbsp; Wie können die Koeffizienten $a_0$, ... , $a_M$ eines nichtrekursiven Filters $M$&ndash;ter Ordnung ermittelt werden,  
 
 
Wie können die Koeffizienten $a_0$, ... , $a_M$ eines nichtrekursiven Filters $M$&ndash;ter Ordnung ermittelt werden,  
 
 
*wenn die gewünschten AKF-Werte $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$ gegeben sind, und
 
*wenn die gewünschten AKF-Werte $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$ gegeben sind, und
 
* außerhalb des Bereiches von  $-M · T_{\rm A}$ bis $+M · T_{\rm A}$ alle AKF-Werte Null sein sollen.  
 
* außerhalb des Bereiches von  $-M · T_{\rm A}$ bis $+M · T_{\rm A}$ alle AKF-Werte Null sein sollen.  
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten die folgende Konstellation:  
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten die folgende Konstellation:  
 
*ein rekursives Filter erster Ordnung  &nbsp;⇒  &nbsp; $M = 1$,  
 
*ein rekursives Filter erster Ordnung  &nbsp;⇒  &nbsp; $M = 1$,  
*eine zeitdiskrete Eingangsfolge $〈x_ν〉$ mit Mittelwert $m_x =$ 0 und Streuung $σ_x = 1$,  
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*eine zeitdiskrete Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ mit Mittelwert $m_x =$ 0 und Streuung $σ_x = 1$,  
*gewünschte AKF-Werte der Folge $〈y_ν〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.  
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*gewünschte AKF-Werte der Folge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.  
  
  
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Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M = 1$ die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:  
 
Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M = 1$ die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:  
 
*Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.  
 
*Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.  
*Ersetzt man $a_0$ durch $a_1$ und umgekehrt, so ergibt sich die gleiche Bestimmungsgleichung. Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.  
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*Ersetzt man $a_0$ durch $a_1$ und umgekehrt, so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.  
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*Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.  
  
  
 
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$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung|letzten Abschnitt]] gezeigt wurde, ist der Parametersatz $a_0 = 0.7$, $a_1 = 0.3$ geeignet, die AKF-Werte $φ_0 = 0.58$ und $φ_1 = 0.21$ zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:  
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$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften#Zur_Koeffizientenbestimmung|letzten Abschnitt]] gezeigt wurde, ist der Parametersatz &nbsp;$a_0 = 0.7$, &nbsp;$a_1 = 0.3$&nbsp; geeignet, die AKF-Werte &nbsp;$φ_0 = 0.58$&nbsp; und &nbsp;$φ_1 = 0.21$&nbsp; zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:
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[[Datei:P_ID557__Sto_T_5_3_S2_b_neu_100.png |frame| Beispiel zur AKF-Berechnung|right]]
 
:$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})  
 
:$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A})  
 
+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$
 
+ 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$
  
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Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten  
 
Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten  
 
*$a_0 = - 0.7,\quad a_1  = -0.3,$
 
*$a_0 = - 0.7,\quad a_1  = -0.3,$
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Die Grafik zeigt die entsprechenden Impulsantworten, die zur gewünschten AKF führen.}}  
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==Aufgaben zum Kapitel==
 
==Aufgaben zum Kapitel==

Version vom 24. August 2018, 08:56 Uhr

AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters


Wir betrachten ein nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung  gemäß der folgenden Grafik.

Nichtrekursives Filter $M$-ter Ordnung

Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist

  • mittelwertfrei $(m_x = 0)$,
  • gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$), und
  • ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”)
    ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.


Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:

  • Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:
$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,} \\ 0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.} \\\end{array}} \right.$$
  • Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist wie folgt gegeben:
$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
  • Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind Null, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch zu $k = 0$:
$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$


$\text{Beispiel 1:}$  Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung (Filterkoeffizienten $a_0 = 0.6$, $a_1 = 0.8$) zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung $σ_x = 2$ an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind $0$):

AKF am Ausgang eines Filters erster Ordnung
$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot ( {a_0 ^2 + a_1 ^2 }) = 4,$$
$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot a_0 \cdot a_1 = 1.92.$$

Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:

  • Wegen $a_0^2 + a_1^2 = 1$ besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal:   $σ_x^2 = φ_x(0) = 4$.
  • Im Gegensatz zur Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ gibt es bei der Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten.


Zur Koeffizientenbestimmung


Nun soll folgende Frage beantwortet werden:   Wie können die Koeffizienten $a_0$, ... , $a_M$ eines nichtrekursiven Filters $M$–ter Ordnung ermittelt werden,

  • wenn die gewünschten AKF-Werte $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$ gegeben sind, und
  • außerhalb des Bereiches von $-M · T_{\rm A}$ bis $+M · T_{\rm A}$ alle AKF-Werte Null sein sollen.


Für $σ_x = 1$ ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem, wobei zur Vereinfachung der Schreibweise $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$ verwendet wird:

$$\begin{align*}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu^2 ,}\\ \varphi _1 & = \sum\limits_{\mu = 0}^{M - 1} {a_\mu \cdot a_{\mu + 1} ,} \\ & . & \\ & . &\\ & . &\\ \varphi _{M - 1} & = a_0 \cdot a_{M - 1} + a_1 \cdot a_M , \\ \\ \varphi _M & = a_0 \cdot a_M .\end{align*}$$


$\text{Fazit:}$ 

  • Man erhält somit für die $M + 1$ Koeffizienten auch $M + 1$ unabhängige Gleichungen.
  • Durch sukzessives Eliminieren der Koeffizienten $a_1$, ... , $a_M$ bleibt für $a_0$ schließlich eine nichtlineare Gleichung höherer Ordnung übrig.


$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die folgende Konstellation:

  • ein rekursives Filter erster Ordnung  ⇒   $M = 1$,
  • eine zeitdiskrete Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ mit Mittelwert $m_x =$ 0 und Streuung $σ_x = 1$,
  • gewünschte AKF-Werte der Folge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$:   $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.


Damit lautet das obige Gleichungssystem:

$$\varphi _0 = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.58,$$
$$\varphi _1 = a_0 \cdot a_1 = 0.21.$$

Dies führt zu einer Gleichung vom Grad $4$, nämlich

$$a_0 ^2 + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2 = 0.58\quad \Rightarrow \quad a_0 ^4 - 0.58 \cdot a_0 ^2 + 0.21^2 = 0.$$

Eine Lösung stellt $a_0 = 0.7$ dar. Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man $a_1 = 0.3$.


Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall   ⇒   $M = 1$ für $a_0$ eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad $4$ ergibt.

Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung


Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M = 1$ die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:

  • Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
  • Ersetzt man $a_0$ durch $a_1$ und umgekehrt, so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.
  • Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.


$\text{Beispiel 3:}$  Wie im letzten Abschnitt gezeigt wurde, ist der Parametersatz  $a_0 = 0.7$,  $a_1 = 0.3$  geeignet, die AKF-Werte  $φ_0 = 0.58$  und  $φ_1 = 0.21$  zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:

Beispiel zur AKF-Berechnung
$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A}) + 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$


Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten

  • $a_0 = - 0.7,\quad a_1 = -0.3,$
  • $a_0 = +0.3,\quad a_1 = +0.7,$
  • $a_0 = - 0.3,\quad a_1 = -0.7.$


Diese Konfigurationen ergeben sich durch

  • gleichzeitiges Multiplizieren aller Koeffizienten mit $-1$, sowie
  • Vertauschen der Zahlenwerte von $a_0$ und $a_1$.


Die Grafik zeigt die jeweiligen Impulsantworten, die zur gewünschten AKF führen.

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 5.5: AKF-äquivalente Filter

Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung

Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung

Aufgabe 5.6Z: Nochmals FIlterdimensionierung