Stochastische Signaltheorie/Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften: Unterschied zwischen den Versionen

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Die zeitdiskrete Eingangsgröße  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist
 
Die zeitdiskrete Eingangsgröße  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist
 
* mittelwertfrei  $(m_x = 0)$,  
 
* mittelwertfrei  $(m_x = 0)$,  
*gaußverteilt  (mit  Streuung  $σ_x)$,  und  
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*gaußverteilt  $($mit  Streuung  $σ_x)$,  und  
 
* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”)   ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.  
 
* ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”)   ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.  
  
  
 
Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
 
Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:  
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*Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion:  $\rm (AKF)$  am Eingang lautet:  
 
:$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}  {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,}  \\  0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.}  \\\end{array}} \right.$$
 
:$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}  {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,}  \\  0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.}  \\\end{array}} \right.$$
 
*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist wie folgt gegeben:
 
*Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist wie folgt gegeben:
 
:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu  \cdot a_{\mu  + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
 
:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu  \cdot a_{\mu  + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
*Alle AKF–Werte mit&nbsp; $k > M$&nbsp; sind Null, und alle AKF–Werte mit&nbsp; $k < M$&nbsp; sind symmetrisch zu&nbsp; $k = 0$:  
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*Alle AKF–Werte mit&nbsp; $k > M$&nbsp; sind Null,&nbsp; und alle AKF–Werte mit&nbsp; $k < M$&nbsp; sind symmetrisch zu&nbsp; $k = 0$:  
 
:$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$
 
:$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$
  
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Nun soll folgende Frage beantwortet werden: &nbsp; Wie können die Koeffizienten&nbsp; $a_0$, ... , $a_M$&nbsp; eines nichtrekursiven Filters&nbsp; $M$&ndash;ter Ordnung ermittelt werden,  
 
Nun soll folgende Frage beantwortet werden: &nbsp; Wie können die Koeffizienten&nbsp; $a_0$, ... , $a_M$&nbsp; eines nichtrekursiven Filters&nbsp; $M$&ndash;ter Ordnung ermittelt werden,  
*wenn die gewünschten AKF-Werte&nbsp; $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$&nbsp; gegeben sind, und
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*wenn die gewünschten AKF-Werte&nbsp; $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$&nbsp; gegeben sind,&nbsp; und
 
* außerhalb des Bereiches von&nbsp;  $-M · T_{\rm A}$&nbsp; bis&nbsp; $+M · T_{\rm A}$&nbsp; alle AKF-Werte Null sein sollen.  
 
* außerhalb des Bereiches von&nbsp;  $-M · T_{\rm A}$&nbsp; bis&nbsp; $+M · T_{\rm A}$&nbsp; alle AKF-Werte Null sein sollen.  
  
  
Für&nbsp; $σ_x = 1$&nbsp; ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem, wobei zur Vereinfachung der Schreibweise&nbsp; $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$&nbsp; verwendet wird:
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Für&nbsp; $σ_x = 1$&nbsp; ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem,&nbsp; wobei zur Vereinfachung der Schreibweise&nbsp; $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$&nbsp; verwendet wird:
 
:$$\begin{align*}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu^2  ,}\\ \varphi _1 &  = \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - 1} {a_\mu  \cdot a_{\mu  + 1} ,}  \\ & ... &\\  \varphi _{M - 1} & = a_0  \cdot a_{M - 1}  + a_1  \cdot a_M ,  \\ \varphi _M  & =  a_0  \cdot a_M .\end{align*}$$
 
:$$\begin{align*}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu^2  ,}\\ \varphi _1 &  = \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - 1} {a_\mu  \cdot a_{\mu  + 1} ,}  \\ & ... &\\  \varphi _{M - 1} & = a_0  \cdot a_{M - 1}  + a_1  \cdot a_M ,  \\ \varphi _M  & =  a_0  \cdot a_M .\end{align*}$$
  
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten die folgende Konstellation:  
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten die folgende Konstellation:  
*ein rekursives Filter erster Ordnung  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 1$,  
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#ein rekursives Filter erster Ordnung  &nbsp; ⇒  &nbsp; $M = 1$,  
*eine zeitdiskrete Eingangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_x =$ 0 &nbsp; und&nbsp; Streuung&nbsp; $σ_x = 1$,  
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#eine zeitdiskrete Eingangsfolge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_x =$ 0 &nbsp; und&nbsp; Streuung&nbsp; $σ_x = 1$,  
*gewünschte AKF-Werte der Folge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$&nbsp; und&nbsp; $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.  
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#gewünschte AKF&ndash;Werte der Folge&nbsp; $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$: &nbsp; $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$&nbsp; und&nbsp; $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.  
  
  
Damit lautet das obige Gleichungssystem:
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*Damit lautet das obige Gleichungssystem:
 
:$$\varphi _0  = a_0 ^2  + a_1 ^2  = 0.58,$$
 
:$$\varphi _0  = a_0 ^2  + a_1 ^2  = 0.58,$$
 
:$$\varphi _1  = a_0  \cdot a_1  = 0.21.$$
 
:$$\varphi _1  = a_0  \cdot a_1  = 0.21.$$
Dies führt zu einer Gleichung vom Grad&nbsp; $4$, nämlich
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*Dies führt zu einer Gleichung vom Grad&nbsp; $4$,&nbsp; nämlich
 
:$$a_0 ^2  + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2  = 0.58\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^4  - 0.58 \cdot a_0 ^2  + 0.21^2  = 0.$$
 
:$$a_0 ^2  + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2  = 0.58\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^4  - 0.58 \cdot a_0 ^2  + 0.21^2  = 0.$$
Eine Lösung stellt&nbsp; $a_0 = 0.7$&nbsp; dar.&nbsp; Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man&nbsp; $a_1 = 0.3$. }}
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*Eine Lösung stellt&nbsp; $a_0 = 0.7$&nbsp; dar.&nbsp; Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man&nbsp; $a_1 = 0.3$.  
  
  
Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall &nbsp; ⇒ &nbsp;  $M = 1$&nbsp;  für&nbsp; $a_0$&nbsp; eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad&nbsp; $4$&nbsp; ergibt.  
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Man erkennt aus diesem Beispiel,&nbsp; dass sich schon im einfachsten Fall&nbsp;   $(M = 1)$&nbsp;  für&nbsp; $a_0$&nbsp; eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad&nbsp; $4$&nbsp; ergibt.}}
  
 
==Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung==
 
==Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung==
 
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Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit&nbsp; $M = 1$&nbsp; die Bestimmungsgleichung für&nbsp; $a_0$&nbsp; vom Grad&nbsp; $4$.&nbsp; Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen.  
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Wie das letzte Beispiel gezeigt hat,&nbsp; ist mit&nbsp; $M = 1$&nbsp; die Bestimmungsgleichung für&nbsp; $a_0$&nbsp; vom Grad&nbsp; $4$.&nbsp; Dies bedeutet gleichzeitig,&nbsp; dass es auch vier Koeffizientensätze gibt,&nbsp; die alle zur gleichen AKF führen.  
  
 
Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:  
 
Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:  
*Die Koeffizienten&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_1$&nbsp; können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.  
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*Die Koeffizienten&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_1$&nbsp; können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern,&nbsp; ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.  
*Ersetzt man&nbsp; $a_0$&nbsp; durch&nbsp; $a_1$&nbsp; und umgekehrt, so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.  
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*Ersetzt man&nbsp; $a_0$&nbsp; durch&nbsp; $a_1$&nbsp; und umgekehrt,&nbsp; so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.  
 
*Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.  
 
*Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.  
  

Aktuelle Version vom 29. Januar 2022, 17:35 Uhr

AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters


Wir betrachten ein  nichtrekursives Laufzeitfilter  $M$–ter Ordnung  gemäß der folgenden Grafik.

Nichtrekursives Filter $M$-ter Ordnung

Die zeitdiskrete Eingangsgröße  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist

  • mittelwertfrei  $(m_x = 0)$,
  • gaußverteilt  $($mit  Streuung  $σ_x)$,  und
  • ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”)   ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.


Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:

  • Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion:  $\rm (AKF)$  am Eingang lautet:
$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,} \\ 0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.} \\\end{array}} \right.$$
  • Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$  ist wie folgt gegeben:
$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$
  • Alle AKF–Werte mit  $k > M$  sind Null,  und alle AKF–Werte mit  $k < M$  sind symmetrisch zu  $k = 0$:
$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$

$\text{Beispiel 1:}$  Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung  $($Filterkoeffizienten  $a_0 = 0.6$,  $a_1 = 0.8)$  zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung  $σ_x = 2$  an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind Null):

AKF am Ausgang eines Filters erster Ordnung
$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot ( {a_0 ^2 + a_1 ^2 }) = 4,$$
$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot a_0 \cdot a_1 = 1.92.$$

Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:

  • Wegen  $a_0^2 + a_1^2 = 1$  besitzt das Ausgangssignal  $y(t)$  genau die gleiche Varianz  $σ_y^2 = φ_y(0) = 0.4$  wie das Eingangssignal:   $σ_x^2 = φ_x(0)$.
  • Im Gegensatz zur Eingangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  gibt es bei der Ausgangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$  statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten.


Zur Koeffizientenbestimmung


Nun soll folgende Frage beantwortet werden:   Wie können die Koeffizienten  $a_0$, ... , $a_M$  eines nichtrekursiven Filters  $M$–ter Ordnung ermittelt werden,

  • wenn die gewünschten AKF-Werte  $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$  gegeben sind,  und
  • außerhalb des Bereiches von  $-M · T_{\rm A}$  bis  $+M · T_{\rm A}$  alle AKF-Werte Null sein sollen.


Für  $σ_x = 1$  ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem,  wobei zur Vereinfachung der Schreibweise  $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$  verwendet wird:

$$\begin{align*}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu^2 ,}\\ \varphi _1 & = \sum\limits_{\mu = 0}^{M - 1} {a_\mu \cdot a_{\mu + 1} ,} \\ & ... &\\ \varphi _{M - 1} & = a_0 \cdot a_{M - 1} + a_1 \cdot a_M , \\ \varphi _M & = a_0 \cdot a_M .\end{align*}$$

$\text{Fazit:}$ 

  • Man erhält somit für die  $M + 1$  Koeffizienten auch  $M + 1$  unabhängige Gleichungen.
  • Durch sukzessives Eliminieren der Koeffizienten  $a_1$, ... , $a_M$  bleibt für  $a_0$  schließlich eine nichtlineare Gleichung höherer Ordnung übrig.


$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die folgende Konstellation:

  1. ein rekursives Filter erster Ordnung   ⇒   $M = 1$,
  2. eine zeitdiskrete Eingangsfolge  $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$  mit Mittelwert  $m_x =$ 0   und  Streuung  $σ_x = 1$,
  3. gewünschte AKF–Werte der Folge  $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$:   $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$  und  $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.


  • Damit lautet das obige Gleichungssystem:
$$\varphi _0 = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.58,$$
$$\varphi _1 = a_0 \cdot a_1 = 0.21.$$
  • Dies führt zu einer Gleichung vom Grad  $4$,  nämlich
$$a_0 ^2 + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2 = 0.58\quad \Rightarrow \quad a_0 ^4 - 0.58 \cdot a_0 ^2 + 0.21^2 = 0.$$
  • Eine Lösung stellt  $a_0 = 0.7$  dar.  Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man  $a_1 = 0.3$.


Man erkennt aus diesem Beispiel,  dass sich schon im einfachsten Fall  $(M = 1)$  für  $a_0$  eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad  $4$  ergibt.

Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung


Wie das letzte Beispiel gezeigt hat,  ist mit  $M = 1$  die Bestimmungsgleichung für  $a_0$  vom Grad  $4$.  Dies bedeutet gleichzeitig,  dass es auch vier Koeffizientensätze gibt,  die alle zur gleichen AKF führen.

Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:

  • Die Koeffizienten  $a_0$  und  $a_1$  können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern,  ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
  • Ersetzt man  $a_0$  durch  $a_1$  und umgekehrt,  so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.
  • Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.


$\text{Beispiel 3:}$  Wie im  letzten Abschnitt  gezeigt wurde, ist der Parametersatz  $a_0 = 0.7$,  $a_1 = 0.3$  geeignet, die AKF-Werte  $φ_0 = 0.58$  und  $φ_1 = 0.21$  zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:

Beispiel zur AKF-Berechnung
$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A}) + 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$

Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten

  • $a_0 = - 0.7,\quad a_1 = -0.3,$
  • $a_0 = +0.3,\quad a_1 = +0.7,$
  • $a_0 = - 0.3,\quad a_1 = -0.7.$


Diese Konfigurationen ergeben sich durch

  • gleichzeitiges Multiplizieren aller Koeffizienten mit  $-1$,  sowie
  • Vertauschen der Zahlenwerte von  $a_0$  und  $a_1$.


Die Grafik zeigt die jeweiligen Impulsantworten, die zur gewünschten AKF führen.

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 5.5: AKF-äquivalente Filter

Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung

Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung

Aufgabe 5.6Z: Nochmals FIlterdimensionierung