Aufgaben:Aufgabe 4.10: Binär und quaternär: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 3. Januar 2018, 14:43 Uhr
Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:
- Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
- Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
- Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
- Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
- $${\rm Pr}(b(t) = +b_0) = {\rm Pr}(b(t) = -b_0) ={1}/{2}.$$
- Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
- $${\rm Pr}(q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {1}/{6},$$
- $${\rm Pr}(q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {2}/{6}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
(2) Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:
- $${\rm E} \left [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = {\rm E} \left [ q(t) \right ] \cdot {\rm E} \left [ q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.
(3) Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
- $$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
- die Periodendauer $T_0$ (diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich),
- der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$, und
- die Varianz (Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$).
Nicht ermittelt werden können:
- die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$) ist $f_q(q) \ne f_b(b)$),
- die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie
- alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.