Aufgaben:Aufgabe 4.10: Binär und quaternär: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
(kein Unterschied)

Version vom 3. Januar 2018, 14:43 Uhr

Binär- und Quaternärsignal

Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:

  • Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
  • Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
  • Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
  • Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
$${\rm Pr}(b(t) = +b_0) = {\rm Pr}(b(t) = -b_0) ={1}/{2}.$$
  • Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
$${\rm Pr}(q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {1}/{6},$$
$${\rm Pr}(q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {2}/{6}.$$


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.


Fragebogen

1

Berechnen Sie den AKF-Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.

$\varphi_q(\tau = 0) \ =$

$\ \rm V^2$

2

Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $|\tau| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.

$\varphi_q(\tau = T) \ =$

$\ \rm V^2$

3

Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF?

$b_0\ =$

$\ \rm V$

4

Welche der folgenden Beschreibungsgrößen eines stochastischen Prozesses lassen sich aus der AKF ermitteln?

Periodendauer.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Linearer Mittelwert.
Varianz.
Moment 3. Ordnung.
Phasenbeziehungen.


Musterlösung

(1)  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:

$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$

(2)  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:

$${\rm E} \left [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = {\rm E} \left [ q(t) \right ] \cdot {\rm E} \left [ q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
Dreieckförmige AKF

Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.

(3)  Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:

$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$

Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:

  • die Periodendauer $T_0$ (diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich),
  • der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$, und
  • die Varianz (Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$).


Nicht ermittelt werden können:

  • die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$) ist $f_q(q) \ne f_b(b)$),
  • die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie
  • alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.