Aufgabe 4.10: Binär und quaternär

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Binärsignal  $b(t)$  und Quaternärsignal  $q(t)$

Wir betrachten hier ein Binärsignal  $b(t)$  und ein Quarternärsignal  $q(t)$, wobei gilt:

  • Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils  $T$  (Symboldauer).
  • Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole  $($mit Stufenzahl  $M = 2$  bzw.  $M = 4)$  sind statistisch unabhängig.
  • Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
  • Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
$${\rm Pr}\big[b(t) = +b_0\big] = {\rm Pr}\big[b(t) = -b_0\big] ={1}/{2}.$$
  • Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
$${\rm Pr}\big[q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {1}/{6},$$
$${\rm Pr}\big[q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {2}/{6}.$$



Hinweis:



Fragebogen

1

Berechnen Sie den AKF–Wert  $\varphi_q(\tau = 0)$  des Quarternärsignals.

$\varphi_q(\tau = 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$

2

Wie groß ist der AKF–Wert bei  $\tau = T$ ? Begründen Sie, warum die AKF–Werte für  $|\tau| > T$  genauso groß sind.  Skizzieren Sie den AKF–Verlauf.

$\varphi_q(\tau = T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

3

Mit welchen Amplitudenwerten  $(\pm b_0)$  hat das Binärsignal  $b(t)$  genau die gleiche AKF?

$b_0\ = \ $

$\ \rm V$

4

Welche der folgenden Beschreibungsgrößen eines stochastischen Prozesses lassen sich aus der AKF ermitteln?

Periodendauer.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Linearer Mittelwert.
Varianz.
Moment 3. Ordnung.
Phasenbeziehungen.


Musterlösung

(1)  Der AKF-Wert an der Stelle  $\tau = 0$  entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von  $q(t)$. Für diesen gilt:

Dreieckförmige AKF
$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$


(2)  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt.

  • Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von  $\nu$:
$${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E} \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [ q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
  • Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.
  • Im Bereich  $-T \le \tau \le +T$  ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.


(3)  Die  AKF $\varphi_b(\tau)$  des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich  $| \tau| > T$  ebenfalls identisch Null, und für  $-T \le \tau \le +T$  ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.

  • Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
  • Mit  $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$  sind die beiden Autokorrelationsfunktionen  $\varphi_q(\tau)$  und  $\varphi_b(\tau)$ identisch.


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.

Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:

  • die Periodendauer  $T_0$:   diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich;
  • der lineare Mittelwert:   Wurzel aus dem Endwert der AKF für  $\tau \to \infty$  und
  • die Varianz:  Differenz der AKF-Werte von  $\tau = 0$  und  $\tau \to \infty$.


Nicht ermittelt werden können:

  • die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:  trotz  $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$  ist  $f_q(q) \ne f_b(b)$;
  • die Momente höherer Ordnung:  für deren Berechnung benötigt man die WDF;
  • Alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften sind aus der AKF nicht erkennbar.