Applets:Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts: Unterschied zwischen den Versionen

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==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
 
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Das Applet behandelt die Systemkomponenten&nbsp; &bdquo;Abtastung&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; $({\rm PCM})$&nbsp; von großer Wichtigkeit sind.&nbsp; Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.&nbsp; Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte&nbsp; $x(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.  
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Das Applet soll den so genannten &bdquo;Dopplereffekt&rdquo; verdeutlichen, benannt nach dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen Christian Andreas Doppler. Dieser sagt die Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen jeder Art voraus, die sich ergibt, wenn sich Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) relativ zueinander bewegen.&nbsp; Aufgrund dieses Sachverhalts unterscheidet sich die  Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$&nbsp; von der  Sendefrequenz $f_{\rm S}$.&nbsp; Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}=f_{\rm E}-f_{\rm S}$&nbsp; ist positiv,&nbsp; wenn sich Beobachter und Quelle einander annähern, andernfalls nimmt der Beobachter eine niedrigere Frequenz wahr, als tatsächlich gesendet wurde.
  
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Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$&nbsp; unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie lautet:
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:$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  {\text{ Exakte Gleichung}}.$$
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*Hierbei ist&nbsp; $v$&nbsp; die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger, während&nbsp; $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; die Lichtgeschwindigkeit angibt.
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*$\alpha$&nbsp; ist der Winkel&nbsp;  zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger.
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*$\varphi$&nbsp; bezeichnet im Applet den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung und der Horizontalen.&nbsp; Im allgemeinen ist&nbsp; $\alpha \ne \varphi$. 
  
*Beim Sender wird aus dem zeitkontinuierlichen Quellensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das zeitdiskrete (abgetastete) Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; gewonnen.&nbsp; Man nennt diesen Vorgang&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; oder&nbsp; '''A/D&ndash;Wandlung'''. 
 
*Der entsprechende Programmparameter für den Sender ist die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$. In der unteren Grafik ist der Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; eingezeichnet.
 
*Beim Empfänger wird aus dem zeitdiskreten Empfangssignal&nbsp; $y_{\rm A}(t)$&nbsp; das zeitkontinuierliche Sinkensignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; erzeugt &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Signalrekonstruktion'''&nbsp; oder&nbsp; '''D/A&ndash;Wandlung'''&nbsp;  entsprechend dem Empfänger&ndash;Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$.
 
  
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Bei realistischen Geschwindigkeiten&nbsp; $(v/c \ll 1)$&nbsp; ist folgende Näherung ausreichend, bei der relativitätstheoretische Effekte unberücksichtigt bleiben:
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:$$f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\text{ Näherung}}\hspace{0.05cm}.$$
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Beispielsweise sind beim Mobilfunk die Abweichungen zwischen&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; &ndash; also die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$&nbsp; &ndash; nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.&nbsp;
  
Das Applet berücksichtigt nicht die PCM&ndash;Blöcke&nbsp; &bdquo;Quantisierung&rdquo;, &nbsp;&bdquo;Codierung / Decodierung&rdquo; und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen.&nbsp;
 
  
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
==Theoretischer Hintergrund==
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Die erste Grafik zeigt die Ausgangssituation:  
 
Die erste Grafik zeigt die Ausgangssituation:  
*Der ruhende Sender&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; gibt die konstante Frequenz&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; ab.  
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*Der ruhende Sender&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; gibt die konstante Frequenz $f_{\rm S}$&nbsp; ab.  
 
*Die Wellenausbreitung ist in der Grafik durch konzentrische Kreise um&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; veranschaulicht.  
 
*Die Wellenausbreitung ist in der Grafik durch konzentrische Kreise um&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; veranschaulicht.  
*Beim ebenfalls ruhenden Empfänger&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; kommt dann natürlich die Frequenz&nbsp; $f_{\rm E} = f_{\rm S}$&nbsp; an.}}
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*Beim ebenfalls ruhenden Empfänger&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; kommt dann natürlich die Frequenz $f_{\rm E} = f_{\rm S}$&nbsp; an.}}
 
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[[Datei:P ID2114 Mob T 1 3 S2b v2.png|right|frame|Dopplereffekt: $\rm (S)$ bewegt sich auf ruhenden $\rm (E)$ zu]]
 
[[Datei:P ID2114 Mob T 1 3 S2b v2.png|right|frame|Dopplereffekt: $\rm (S)$ bewegt sich auf ruhenden $\rm (E)$ zu]]
  
*Das rechte Diagramm zeigt, dass die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; (blaue Schwingung) um etwa&nbsp; $20\%$&nbsp; größer ist als die Frequenz&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; am Sender (rote Schwingung).  
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*Das rechte Diagramm zeigt, dass die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz $f_{\rm E}$&nbsp; (blaue Schwingung) um etwa&nbsp; $20\%$&nbsp; größer ist als die Frequenz $f_{\rm S}$&nbsp; am Sender (rote Schwingung).  
 
*Aufgrund der Bewegung des Senders sind nun die Kreise nicht mehr konzentrisch.
 
*Aufgrund der Bewegung des Senders sind nun die Kreise nicht mehr konzentrisch.
  
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* Das linke Szenerio ergibt sich, wenn sich der Sender&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; vom Empfänger&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; entfernt: &nbsp;
 
* Das linke Szenerio ergibt sich, wenn sich der Sender&nbsp; $\rm (S)$&nbsp; vom Empfänger&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; entfernt: &nbsp;
* Dann ist die Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; (blaue Schwingung) um etwa&nbsp; $20\%$&nbsp; kleiner als die Sendefrequenz&nbsp; $f_{\rm S}$.<br>}}
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* Dann ist die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$&nbsp; (blaue Schwingung) um etwa&nbsp; $20\%$&nbsp; kleiner als die Sendefrequenz $f_{\rm S}$.<br>}}
 
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===Dopplerfrequenz als Funktion von Geschwindigkeit und Winkel der Verbindungslinie===
 
===Dopplerfrequenz als Funktion von Geschwindigkeit und Winkel der Verbindungslinie===
  
Wir vereinbaren:&nbsp; Gesendet wird die Frequenz&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; und empfangen die Frequenz&nbsp; $f_{\rm E}$.&nbsp; Als Dopplerfrequenz bezeichnet man die Differenz&nbsp; $f_{\rm D} =  f_{\rm E} - f_{\rm S}$&nbsp; aufgrund der Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter).  
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Wir vereinbaren:&nbsp; Gesendet wird die Frequenz $f_{\rm S}$&nbsp; und empfangen die Frequenz $f_{\rm E}$.&nbsp; Als Dopplerfrequenz bezeichnet man die Differenz $f_{\rm D} =  f_{\rm E} - f_{\rm S}$&nbsp; aufgrund der Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter).  
  
 
*Eine positive Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger&nbsp; (relativ)&nbsp; aufeinander zu bewegen.&nbsp;  
 
*Eine positive Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger&nbsp; (relativ)&nbsp; aufeinander zu bewegen.&nbsp;  
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Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; unter Einbeziehung eines Winkels&nbsp; $\alpha$&nbsp; zwischen Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger lautet:
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Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$&nbsp; unter Einbeziehung eines Winkels&nbsp; $\alpha$&nbsp; zwischen Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger lautet:
 
::<math>f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  {\text{ Exakte Gleichung}}.</math>
 
::<math>f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  {\text{ Exakte Gleichung}}.</math>
 
Hierbei bezeichnet&nbsp; $v$&nbsp; die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger, während&nbsp; $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; die Lichtgeschwindigkeit angibt.&nbsp;  
 
Hierbei bezeichnet&nbsp; $v$&nbsp; die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger, während&nbsp; $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; die Lichtgeschwindigkeit angibt.&nbsp;  
  
*Die Grafiken im&nbsp; $\text{Beispiel 3}$&nbsp; gelten für die unrealistisch große Geschwindigkeit&nbsp; $v = c/5 = 60000\, {\rm km/s}$, die zu den Dopplerfrequenzen&nbsp; $f_{\rm D} = \pm 0.2\cdot f_{\rm S}$&nbsp; führen.
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*Die Grafiken im&nbsp; $\text{Beispiel 3}$&nbsp; gelten für die unrealistisch große Geschwindigkeit&nbsp; $v = c/5 = 60000\, {\rm km/s}$, die zu den Dopplerfrequenzen $f_{\rm D} = \pm 0.2\cdot f_{\rm S}$&nbsp; führen.
  
*Beim Mobilfunk sind die Abweichungen zwischen&nbsp; $f_{\rm S}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; dagegen meist nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.&nbsp; Bei solchen realistischen Geschwindigkeiten&nbsp; $(v \ll c)$&nbsp; kann man von der folgenden Näherung ausgehen, bei der die durch die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A4tstheorie Relativitätstheorie]&nbsp; beschriebenen Effekte unberücksichtigt bleiben:
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*Beim Mobilfunk sind die Abweichungen zwischen $f_{\rm S}$&nbsp; und $f_{\rm E}$&nbsp; dagegen meist nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.&nbsp; Bei solchen realistischen Geschwindigkeiten&nbsp; $(v \ll c)$&nbsp; kann man von der folgenden Näherung ausgehen, bei der die durch die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A4tstheorie Relativitätstheorie]&nbsp; beschriebenen Effekte unberücksichtigt bleiben:
 
::<math>f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\text{ Näherung}}\hspace{0.05cm}.</math>   
 
::<math>f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\text{ Näherung}}\hspace{0.05cm}.</math>   
  
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Untersucht werden sollen verschiedene Geschwindigkeiten:
 
Untersucht werden sollen verschiedene Geschwindigkeiten:
* eine unrealistisch große Geschwindigkeit&nbsp; $v_1 = 0.6 \cdot c = 1.8 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6$,
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* eine unrealistisch große Geschwindigkeit&nbsp; $v_1 = 0.6 \cdot c = 1.8 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$ $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6$,
 
* die Maximalgeschwindigkeit&nbsp; $v_2 = 3 \ {\rm km/s} \ \ (10800 \ {\rm km/h})$&nbsp; bei unbemanntem Testflug&nbsp; $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}$,
 
* die Maximalgeschwindigkeit&nbsp; $v_2 = 3 \ {\rm km/s} \ \ (10800 \ {\rm km/h})$&nbsp; bei unbemanntem Testflug&nbsp; $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}$,
 
* etwa die Höchstgeschwindigkeit&nbsp; $v_3 = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$&nbsp; auf Bundesstraßen&nbsp; $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}$.
 
* etwa die Höchstgeschwindigkeit&nbsp; $v_3 = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$&nbsp; auf Bundesstraßen&nbsp; $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}$.
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\Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$
  
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - 0.6^2} }{1 - 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{0.4 } - 1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 1}
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:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - 0.6^2} }{1 - 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{0.4 } - 1 = 1
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 2
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 2
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{\rm -5}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2} }{1 - (10^{-5}) } - 1  \approx 1 + 10^{-5} - 1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 10^{-5} }
+
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{\rm -5}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2} }{1 - (10^{-5}) } - 1  \approx 1 + 10^{-5} - 1 = 10^{-5} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.00001
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.00001
 
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{\rm -7}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - (10^{-7})^2} }{1 - (10^{-7}) } - 1  \approx 1 + 10^{-7} - 1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 10^{-7} }
+
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{\rm -7}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - (10^{-7})^2} }{1 - (10^{-7}) } - 1  \approx 1 + 10^{-7} - 1 = 10^{-7} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.0000001
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.0000001
 
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
 
'''(2)'''&nbsp; Dagegen gilt nach der Näherung, also ohne Berücksichtigung  der Relativitätstheorie:
 
'''(2)'''&nbsp; Dagegen gilt nach der Näherung, also ohne Berücksichtigung  der Relativitätstheorie:
:$$f_{\rm E} =  f_{\rm S} \cdot \big [ 1 + {v}/{c}  \big ]
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:$$f_{\rm E} =  f_{\rm S} \cdot \big [ 1 + {v}/{c}  \big ]
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = {v}/{c}  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = {v}/{c}  \hspace{0.05cm}.$$
  
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.7cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ 0.6} \ \ \ &#8658; \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.6,$$
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:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.7cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \ = \ 0.6 \hspace{0.5cm} &#8658; \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.6,$$
 
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5}  \ \ \ &#8658; \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.00001,$$
 
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5}  \ \ \ &#8658; \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.00001,$$
 
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5}  \ \ \ &#8658; \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.0000001.$$}}
 
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5}  \ \ \ &#8658; \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.0000001.$$}}
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:$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c }   
 
:$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c }   
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}  = f_{\rm S} \cdot \left [  \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \right ]\hspace{0.3cm}
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  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}  = f_{\rm S} \cdot \left [  \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \right ]\hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } =  \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$
  
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  \hspace{0.05cm}.$$
 
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'''(2)'''&nbsp; Dagegen gilt nach der Näherung, also ohne Berücksichtigung  der Relativitätstheorie:
 
'''(2)'''&nbsp; Dagegen gilt nach der Näherung, also ohne Berücksichtigung  der Relativitätstheorie:
:$$f_{\rm E} =  f_{\rm S} \cdot \big [ 1 - {v}/{c}  \big ]
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:$$f_{\rm E} =  f_{\rm S} \cdot \big [ 1 - {v}/{c}  \big ] \hspace{0.3cm}
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = - {v}/{c}  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = - {v}/{c}  \hspace{0.05cm}.$$
  
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#&nbsp; Bei der exakten, relativistischen Gleichung ist diese Symmetrie nicht gegeben. }}
 
#&nbsp; Bei der exakten, relativistischen Gleichung ist diese Symmetrie nicht gegeben. }}
  
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{{GraueBox|TEXT= 
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$\text{Beispiel 6:}$&nbsp; Nun betrachten wir die auch für den Mobilfunk realistische Geschwindigkeit&nbsp; $v = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $v/c=10^{-7}$.&nbsp;
  
 
[[Datei:P_ID2118__Mob_Z_1_4.png|right|frame|Richtungen &nbsp;$\rm (A)$, &nbsp;$\rm (B)$,&nbsp;$\rm (C)$,&nbsp;$\rm (D)$]]
 
[[Datei:P_ID2118__Mob_Z_1_4.png|right|frame|Richtungen &nbsp;$\rm (A)$, &nbsp;$\rm (B)$,&nbsp;$\rm (C)$,&nbsp;$\rm (D)$]]
{{GraueBox|TEXT= 
 
$\text{Beispiel 6:}$&nbsp; Wie in den vorherigen Beispielen sei der Sender fest.&nbsp; Die Grafik zeigt mögliche
 
Bewegungsrichtungen des Empfängers.&nbsp; Die Richtung &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; wurde im&nbsp; $\text{Beispiel 4}$&nbsp; betrachtet und
 
die Richtung &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; im&nbsp; $\text{Beispiel 5}$.&nbsp;
 
  
'''(4)'''&nbsp; '''Gleichung (2)'''&nbsp; führt hier zum Ergebnis:
+
*Damit können wir uns auf die nichtrelativistische Näherung beschränken: &nbsp; $f_{\rm D} =  f_{\rm E} -  f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot  {v}/{c} \cdot  \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$
:$$f_{\rm D} =  f_{\rm E} -  f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot  {v_3}/{c} \cdot  \cos(\alpha)  
+
*Wie in den vorherigen Beispielen sei der Sender fest.&nbsp; Die Sendefrequenz betrage&nbsp; $f_{\rm S} = 2 \ {\rm GHz}$.
\hspace{0.05cm}.$$
+
 
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Die Grafik zeigt mögliche Bewegungsrichtungen des Empfängers.&nbsp;
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* Die Richtung &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; wurde im&nbsp; $\text{Beispiel 4}$&nbsp; betrachtet.&nbsp; Mit den aktuellen Parameterwerten ergibt sich
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 +
:$$f_{\rm D} =  2 \cdot 10^{9}\,\,{\rm Hz} \cdot  \frac{30\,\,{\rm m/s} }{3 \cdot 10^{8}\,\,{\rm m/s} } = 200\,{\rm Hz}.$$
 +
 
 +
* Für die Richtung &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; erhält man gemäß&nbsp; $\text{Beispiel 5}$&nbsp; den gleichen Zahlenwert mit negativem Vorzeichen: &nbsp;
 +
:$$f_{\rm D}    = -200\,{\rm Hz}.$$
  
 
* Die Fahrtrichtung&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; verläuft senkrecht&nbsp; $(\alpha = 90^\circ)$&nbsp; zur Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger.&nbsp; In diesem Fall tritt keine Dopplerverschiebung auf:  
 
* Die Fahrtrichtung&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; verläuft senkrecht&nbsp; $(\alpha = 90^\circ)$&nbsp; zur Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger.&nbsp; In diesem Fall tritt keine Dopplerverschiebung auf:  
:$$f_{\rm D} \ \underline {= \ 0}.$$  
+
:$$f_{\rm D} = 0.$$  
 
* Die Bewegungsrichtung&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; ist durch&nbsp; $\alpha = \ -135^\circ$ charakterisiert.&nbsp; Daraus resultiert:
 
* Die Bewegungsrichtung&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; ist durch&nbsp; $\alpha = \ -135^\circ$ charakterisiert.&nbsp; Daraus resultiert:
:$$f_{\rm D} =  2 \cdot 10^{9}\,\,{\rm Hz} \cdot \frac{30\,\,{\rm m/s}}{3 \cdot 10^{8}\,\,{\rm m/s}} \cdot  \cos(-135^{\circ}) \hspace{0.15cm} \underline{ \approx -141\,\,{\rm Hz}\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$f_{\rm D} =  200 \,{\rm Hz} \cdot   \cos(-135^{\circ}) \approx -141\,\,{\rm Hz}   \hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}
+
}}
  
  
 
=== Dopplerfrequenz und deren Verteilung===
 
=== Dopplerfrequenz und deren Verteilung===
<br>
 
'''deutlich kürzen und vereinfachen'''
 
 
  
 
Wir fassen die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen, wobei wir von der zweiten, also der nicht&ndash;relativistischen Gleichung ausgehen:
 
Wir fassen die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen, wobei wir von der zweiten, also der nicht&ndash;relativistischen Gleichung ausgehen:
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*Eine positive Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger&nbsp; (relativ)&nbsp; aufeinander zu bewegen.&nbsp; Eine negative Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$&nbsp; bedeutet, dass sich Sender und Empfänger&nbsp; (direkt oder unter einem Winkel)&nbsp; voneinander entfernen.<br>
 
*Eine positive Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger&nbsp; (relativ)&nbsp; aufeinander zu bewegen.&nbsp; Eine negative Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$&nbsp; bedeutet, dass sich Sender und Empfänger&nbsp; (direkt oder unter einem Winkel)&nbsp; voneinander entfernen.<br>
  
*Die maximale Frequenzverschiebung tritt auf, wenn sich Sender und Empfänger direkt aufeinander zu bewegen &nbsp; &#8658; &nbsp; Winkel&nbsp; $\alpha = 0^\circ$.&nbsp; Dieser Maximalwert hängt in erster Näherung von der Sendefrequenz&nbsp; $ f_{\rm S}$&nbsp; und der Geschwindigkeit&nbsp; $v$&nbsp; ab &nbsp; $(c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; gibt die Lichtgeschwindigkeit an$)$:
+
*Die maximale Frequenzverschiebung tritt auf, wenn sich Sender und Empfänger direkt aufeinander zu bewegen &nbsp; &#8658; &nbsp; Winkel&nbsp; $\alpha = 0^\circ$.&nbsp; Dieser Maximalwert hängt in erster Näherung von der Sendefrequenz&nbsp; $ f_{\rm S}$&nbsp; und der Geschwindigkeit&nbsp; $v$&nbsp; ab &nbsp; $(c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$&nbsp; gibt die Lichtgeschwindigkeit an$)$:&nbsp; $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot  {v}/{c}  \hspace{0.05cm}.$
 
 
::<math>f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot  {v}/{c}  \hspace{0.05cm}.</math>
 
  
 
*Erfolgt die Relativbewegung unter einem beliebigen Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; zur Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger, so entsteht eine Dopplerverschiebung um  
 
*Erfolgt die Relativbewegung unter einem beliebigen Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; zur Verbindungslinie Sender&ndash;Empfänger, so entsteht eine Dopplerverschiebung um  
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  \hspace{0.05cm}.</math>
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
  
Außerhalb des Bereichs  zwischen&nbsp; $-f_{\rm D}$&nbsp; und&nbsp; $+f_{\rm D}$&nbsp; hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stets den Wert Null.}}<br>
+
Außerhalb des Bereichs  zwischen&nbsp; $-f_{\rm D}$&nbsp; und&nbsp; $+f_{\rm D}$&nbsp; hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stets den Wert Null.
 
 
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Herleitung:}$&nbsp; Die entstehende Dopplerfrequenz in Abhängigkeit des Bewegungswinkels&nbsp; $\alpha$&nbsp;  lautet:
 
 
 
[[Datei:P ID3103 Mob T 1 3 S3 v2.png|right|frame|Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Dopplerfrequenz|class=fit]]
 
::<math>f_{\rm D} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \cos(\alpha) = g(\alpha)
 
\hspace{0.05cm}.</math>
 
 
 
Wir bezeichnen diese Funktion mit&nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; und gehen davon aus, dass
 
*$\alpha$&nbsp; alle Winkelwerte zwischen&nbsp; $\pm \pi$&nbsp; annimmt,&nbsp;
 
*und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit &nbsp; &rArr; &nbsp;  Gleichverteilung.&nbsp;
 
 
 
 
 
Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der Dopplerfrequenz entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;:
 
 
 
::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{ {\rm wdf}(\alpha)}{\vert g\hspace{0.08cm}'(\alpha)\vert}\Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=h(f_{\rm D})}
 
\hspace{0.05cm}</math>
 
 
 
Verwendet sind hier
 
*die  Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.08cm}'(\alpha)= - f_\text{D, max} \cdot \sin(\alpha)$, und
 
*die Umkehrfunktion&nbsp; $ \alpha = h(f_{\rm D})$.
 
 
 
 
 
Im Beispiel lautet die Umkehrfunktion:
 
:$$ \alpha = \arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}).$$
 
 
 
Die Grafik veranschaulicht den Rechengang zur Bestimmung der Dopplerfrequenz&ndash;WDF:
 
 
 
*Da die Kennlinie zwischen der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; und dem Winkel&nbsp; $\alpha$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $ g(\alpha) = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \cos(\alpha)$&nbsp;  auf den Wert&nbsp;  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; begrenzt ist, ist für&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; kein Wert außerhalb dieses Bereichs möglich.<br>
 
 
 
*Bei der Transformation von Zufallsgrößen muss zwischen Bereichen mit positiver und negativer Steigung der Transformationskennlinie unterschieden werden.&nbsp; Die&nbsp; $\alpha$&ndash;Werte zwischen&nbsp; $-\pi$&nbsp; und&nbsp; $0$ &nbsp; $($positive Steigung der Transformationskennlinie$)$zwischen der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; und dem Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; liefern das Ergebnis
 
 
 
::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{1/(2\pi)}{f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot  \sin(\alpha)} \Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})} = \frac{(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  )^{-1} }{  \sin(\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}))} = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 }  }
 
\hspace{0.05cm}.</math>
 
*Aus Symmetriegründen trägt der positive&nbsp; $\alpha$&ndash;Bereich in gleicher Weise bei, so dass im inneren Bereich insgesamt gilt:
 
 
 
::<math>{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 }  }
 
\hspace{0.05cm}.</math>
 
  
*Winkel im Bereich um&nbsp; $\alpha = \pm \pi/2$&nbsp; führen zu einer kleinen Dopplerfrequenz &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{\rm D} \approx 0$ &nbsp; $($violette Markierung$)$.&nbsp; Aufgrund der relativ großen Steigung der cosinusförmigen Kennlinie &nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; bei&nbsp; $\alpha = \pm \pi/2$ &nbsp; ist der WDF&ndash;Wert bei&nbsp; $f_{\rm D} \approx 0$&nbsp; allerdings sehr klein.<br>
+
[[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung|$\text{Herleitung}$]]&nbsp; über die  &bdquo;Nichtlineare Transformation von Zufallsgrößen&rdquo;}}<br>
  
*Kleine Winkel &nbsp; $($um&nbsp; $\alpha \approx 0)$ &nbsp; führen dagegen zur maximalen Dopplerfrequenz &nbsp; &#8658; &nbsp; $f_{\rm D} \approx f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$ &nbsp; $($rote Markierung$)$.&nbsp; Aufgrund der nahezu horizontalen Kennlinie&nbsp; $g(\alpha)$&nbsp; ist hier die&nbsp; $f_{\rm D}$&ndash;WDF deutlich größer.&nbsp; Für&nbsp; $f_{\rm D} \equiv f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$&nbsp; ergibt sich sogar ein unendlich großer Wert.<br>
 
  
*Winkel um&nbsp; $\alpha = \pm \pi$&nbsp; führen dagegen zur Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D} \approx -f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$ &nbsp; $($grüne Markierung$)$.&nbsp; Auch hier ist die Kennlinie nahezu horizontal und es ergibt sich wiederum ein großer WDF&ndash;Wert.}}<br><br>
 
  
=== AKF und LDS bei Rayleigh–Fading ===
+
=== Leistungsdichtespektrum bei Rayleigh–Fading ===
'''deutlich kürzen und vereinfachen'''
 
  
Die statistischen Bindungen innerhalb der reellen &bdquo;Signale&rdquo;&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; bzw. innerhalb der komplexen Größe&nbsp; $z(t)$&nbsp; sind auf den Dopplereffekt zurückzuführen.&nbsp;
+
Wir setzen nun eine in alle Richtungen gleich abstrahlende Antenne voraus.&nbsp; Dann ist das Doppler&ndash;$\rm LDS$&nbsp; (Leistungsdichtespektrum)&nbsp; formgleich mit der&nbsp; $\rm WDF$&nbsp; (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion)&nbsp; der Dopplerfrequenzen.  
  
################
+
*Für die Inphasekomponente&nbsp; ${\it \Phi}_x(f_{\rm D})$&nbsp; des LDS muss die WDF noch mit der Leistung&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; des Gaußprozesses multipliziert werden.
Wir setzen nun eine in alle Richtungen gleich abstrahlende Antenne voraus.&nbsp; Dann ist das Doppler&ndash;LDS formgleich mit der WDF der Dopplerfrequenzen.
+
*Für das resultierende LDS&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; des komplexen Faktors&nbsp; $z(t) =  x(t) + {\rm j} \cdot y(t) $&nbsp; gilt nach Verdoppelung:
 
 
Für&nbsp; ${\it \Phi}_x(f_{\rm D})$&nbsp; muss die WDF noch mit der Leistung&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; des Gaußprozesses multipliziert werden, und für das resultierende LDS&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; des komplexen Faktors&nbsp; $z(t) =  x(t) + {\rm j} \cdot y(t) $&nbsp; gilt nach Verdoppelung:
 
  
 
::<math>{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) =
 
::<math>{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) =
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Man nennt diesen Verlauf nach&nbsp; [http://ethw.org/William_C._Jakes,_Jr. William C. Jakes Jr.]&nbsp; das&nbsp; '''Jakes&ndash;Spektrum'''.&nbsp; Die Verdoppelung ist notwendig, da bisher nur der Beitrag des Realteils&nbsp;  $x(t)$&nbsp; betrachtet wurde. <br>
 
Man nennt diesen Verlauf nach&nbsp; [http://ethw.org/William_C._Jakes,_Jr. William C. Jakes Jr.]&nbsp; das&nbsp; '''Jakes&ndash;Spektrum'''.&nbsp; Die Verdoppelung ist notwendig, da bisher nur der Beitrag des Realteils&nbsp;  $x(t)$&nbsp; betrachtet wurde. <br>
 
Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man nach&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation:]]
 
 
::<math>\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},</math>
 
 
mit der&nbsp; Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung&nbsp; (erste Gleichung:&nbsp; Definition,&nbsp;  zweite Gleichung:&nbsp; Reihenentwicklung):
 
 
::<math>{\rm J }_0 (u) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot  \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{- {\rm j }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}u \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}
 
\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)}
 
\hspace{0.05cm}.</math>
 
 
Die Zahlenwerte dieser Funktion erhalten Sie mit dem&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)|gleichnamigen Applet]]. <br>
 
  
 
[[Datei:P_ID2117__Mob_T_1_3_S4_v2.png|right|frame|Doppler–LDS und Zeitfunktion (Betrag in dB) bei Rayleigh-Fading mit Dopplereffekt]]
 
[[Datei:P_ID2117__Mob_T_1_3_S4_v2.png|right|frame|Doppler–LDS und Zeitfunktion (Betrag in dB) bei Rayleigh-Fading mit Dopplereffekt]]
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Links dargestellt ist das Jakes&ndash;Spektrum   
+
$\text{Beispiel 7:}$&nbsp; Links dargestellt ist das Jakes&ndash;Spektrum   
 
*für&nbsp; $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 50 \ \rm Hz$&nbsp; (blaue Kurve) bzw.  
 
*für&nbsp; $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 50 \ \rm Hz$&nbsp; (blaue Kurve) bzw.  
 
*für&nbsp;  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; (rote Kurve).
 
*für&nbsp;  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; (rote Kurve).
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==Versuchsdurchführung==
 
==Versuchsdurchführung==
'''Eventuell noch überarbeiten'''
 
 
[[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
 
[[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; '''1'''&nbsp; ...&nbsp; '''10'''&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
+
*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; '''1'''&nbsp; ...&nbsp; '''8'''&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
 
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
 
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
 
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
 
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
 
*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 
*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*In den folgenden Aufgabenbeschreibungen und Musterlösungen sind die Frequenzen&nbsp; $f_{\rm S}$,&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp;  jeweils auf die Bezugsfrequenz&nbsp; $f_{\rm 0}$&nbsp; normiert.
+
*In den folgenden Beschreibungen sind $f_{\rm S}$, $f_{\rm E}$&nbsp; und $f_{\rm D}$&nbsp;  jeweils auf die Bezugsfrequenz $f_{\rm 0}$&nbsp; normiert.
 
+
<br clear=all>
 
 
'''bis hierher'''
 
 
 
'''AS:'''&nbsp; &nbsp; &nbsp;  Für (1) gilt auch &nbsp; $S_x=150,\ S_y=200,\ \varphi=0$
 
 
 
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Zunächst betrachten wir die relativistische Einstellung &bdquo;Exakt&rdquo;.&nbsp; Der Sender bewegt sich stets mit Geschwindigkeit&nbsp; $v/c = 0.8$&nbsp; und die Sendefrequenz sei&nbsp; $f_{\rm S}= 1$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Welche Empfangsfrequenzen&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; ergeben sich bei beiden Bewegungsrichtungen?&nbsp; Wie groß ist jeweils die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$?}}
+
'''(1)'''&nbsp; Zunächst betrachten wir die relativistische Einstellung &bdquo;Exakt&rdquo;.&nbsp; Der Sender bewegt sich mit&nbsp; $v/c = 0.8$,&nbsp; die Sendefrequenz sei&nbsp; $f_{\rm S}= 1$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Welche Empfangsfrequenzen&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; ergeben sich bei beiden Bewegungsrichtungen?&nbsp; Wie groß ist jeweils die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$?}}
  
:*&nbsp;Wenn sich der Sender unter dem Winkel&nbsp; $\varphi=0^\circ$&nbsp; dem Empfänger annähert, ergibt sich die Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 3$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= 2$.&nbsp;
+
:*&nbsp;Nähert sich der Sender unter dem Winkel&nbsp; $\varphi=0^\circ$&nbsp; dem Empfänger an, ergibt sich die Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 3$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= 2$.  
:*&nbsp;Entfernt sich der Sender vom Empfänger&nbsp; $($z.B. für&nbsp; $\varphi=0^\circ$,&nbsp;wenn er diesen überholt, oder für&nbsp; $\varphi=180^\circ)$, dann gilt&nbsp; $f_{\rm E}= 0.333$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= -0.667$.&nbsp;
+
:*&nbsp;Entfernt sich der Sender vom Empfänger&nbsp; $($für&nbsp; $\varphi=0^\circ$,&nbsp;wenn er diesen überholt, oder&nbsp; $\varphi=180^\circ)$, dann:&nbsp; $f_{\rm E}= 0.333$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $f_{\rm D}= -0.667$.  
:*&nbsp;Das gleiche Ergebnis erhält man bei ruhendem Sender und sich bewegendem Empfänger:&nbsp; Kommen sich beide näher, dann gilt&nbsp; $f_{\rm D}= 2$,&nbsp; ansonsten&nbsp; $f_{\rm D}= -0.667$.     
+
:*&nbsp;Gleiches Ergebnis bei ruhendem Sender und sich bewegendem Empfänger:&nbsp; Kommen sich beide näher, dann gilt&nbsp; $f_{\rm D}= 2$,&nbsp; sonst&nbsp; $f_{\rm D}= -0.667$.     
 
   
 
   
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Die Einstellungen bleiben weitgehend erhalten.&nbsp; Wie ändern sich sich die Ergebnisse gegenüber&nbsp; '''(1)'''&nbsp; mit der Sendefrequenz&nbsp; $f_{\rm S}= 1.5$?<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Tipp für eine möglichst zeitsparende Versuchsdurchführung:&nbsp; Schalten Sie abwechselnd zwischen den Fahrtrichtungen &bdquo;Rechts&rdquo; und &bdquo;Links&rdquo; hin und her.}}
+
'''(2)'''&nbsp; Die Einstellungen bleiben weitgehend erhalten.&nbsp; Wie ändern sich sich die Ergebnisse gegenüber&nbsp; '''(1)'''&nbsp; mit der Sendefrequenz&nbsp; $f_{\rm S}= 1.5$?<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Tipp für eine möglichst zeitsparende Versuchsdurchführung:&nbsp; Schalten Sie abwechselnd zwischen &bdquo;Rechts&rdquo; und &bdquo;Links&rdquo; hin und her.}}
  
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=0^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 4.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}=  3$. &nbsp; Aber:&nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 3$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Beides wie in&nbsp; '''(1)'''.  
+
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=0^\circ$:&nbsp; $f_{\rm E}= 4.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}=  3$. &nbsp; Somit:&nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 3$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Beides wie in&nbsp; '''(1)'''.  
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=180^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}=  -1$. &nbsp; Aber:&nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.333$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.667$&nbsp; &rArr; &nbsp; Beides wie in&nbsp; '''(1)'''.
+
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=180^\circ$:&nbsp; $f_{\rm E}= 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm D}=  -1$. &nbsp; Somit:&nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.333$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.667$&nbsp; &rArr; &nbsp; Beides wie in&nbsp; '''(1)'''.
 
 
'''AS:'''&nbsp; &nbsp; &nbsp;  Für (3) gilt auch &nbsp; $S_x=300,\ S_y=200,\ \varphi=0$
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Wir betrachten weiter die relativistische Einstellung &bdquo;Exakt&rdquo;.&nbsp; Der Sender bewegt sich nun mit Geschwindigkeit&nbsp; $v/c = 0.4$&nbsp; und die Sendefrequenz sei&nbsp; $f_{\rm S}= 2$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Welche Frequenzen&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; ergeben sich bei beiden Bewegungsrichtungen?&nbsp; Wählen Sie wieder abwechselnd  &bdquo;Rechts&rdquo; bzw. &bdquo;Links&rdquo;.}}
+
'''(3)'''&nbsp; Weiterhin relativistische Einstellung &bdquo;Exakt&rdquo;.&nbsp; Der Sender bewegt sich nun mit Geschwindigkeit&nbsp; $v/c = 0.4$&nbsp; und die Sendefrequenz sei&nbsp; $f_{\rm S}= 2$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Welche Frequenzen&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm E}$&nbsp; ergeben sich bei beiden Bewegungsrichtungen?&nbsp; Wählen Sie wieder abwechselnd  &bdquo;Rechts&rdquo; bzw. &bdquo;Links&rdquo;.}}
  
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=0^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 3.055$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}=  1.055$. &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 1.528$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 0.528$.  
+
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=0^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 3.055$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}=   1.055$. &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 1.528$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 0.528$.  
 
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=180^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 1.309$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}=  -0.691$. &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.655$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.346$.  
 
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=180^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 1.309$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}=  -0.691$. &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.655$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.346$.  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''&nbsp; Es gelten weiter die  bisherigen Voraussetzungen, aber nun die nicht&ndash;relativistische Einstellung &bdquo;Näherung&rdquo;.&nbsp; Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber&nbsp; '''(3)'''?}}
+
'''(4)'''&nbsp; Es gelten weiter die  bisherigen Voraussetzungen, aber nun die Einstellung &bdquo;Näherung&rdquo;.&nbsp; Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber&nbsp; '''(3)'''?}}
  
 
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=0^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 2.8$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}=  0.8$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 1.4$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 0.4$.  
 
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=0^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 2.8$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}=  0.8$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 1.4$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 0.4$.  
 
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=180^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 1.2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}=  -0.8$. &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.6$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.4$.
 
:*&nbsp;Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=180^\circ$:&nbsp; Empfangsfrequenz&nbsp; $f_{\rm E}= 1.2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}=  -0.8$. &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.6$,&nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.4$.
:*&nbsp;Mit der &bdquo;Näherung&rdquo; ergeben sich für beide&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; gleiche Zahlenwerte mit verschiedenen Vorzeichen.&nbsp; Bei der exakten Gleichung ist diese Symmetrie nicht gegeben.
+
:*&nbsp;Mit &bdquo;Näherung&rdquo;:&nbsp; Für beide&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; gleiche Zahlenwerte mit verschiedenen Vorzeichen.&nbsp; Bei &bdquo;Exakt&rdquo; ist diese Symmetrie nicht gegeben.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''&nbsp; Es gelte weiterhin&nbsp; $f_{\rm S}= 2$.&nbsp;  Bis zu welcher Geschwingkeit&nbsp; $(v/c)$&nbsp; ist der relative Fehler zwischen Näherung und exaktem Wert betragsmäßig kleiner als&nbsp; $5\%$?}}
+
'''(5)'''&nbsp; Es gelte weiterhin&nbsp; $f_{\rm S}= 2$.&nbsp;  Bis zu welcher Geschwingkeit&nbsp; $(v/c)$&nbsp; ist der relative Fehler zwischen &bdquo;Näherung&rdquo; und &bdquo;Exakt&rdquo; betragsmäßig&nbsp; $<5\%$?}}
  
:*&nbsp;Mit&nbsp; $v/c  =0.08$&nbsp; erhält man für die Dopplerfrequenzen nach der exakten Gleichung&nbsp; $f_{\rm D}= 0.167$&nbsp; bzw.&nbsp; $f_{\rm D}= -0.154$&nbsp; und nach der Näherung&nbsp; $f_{\rm D}= \pm0.16$.
+
:*&nbsp;Mit&nbsp; $v/c  =0.08$&nbsp; und &bdquo;Exakt&rdquo; erhält man für die Dopplerfrequenzen&nbsp; $f_{\rm D}= 0.167$&nbsp; bzw.&nbsp; $f_{\rm D}= -0.154$&nbsp; und mit &bdquo;Näherung&rdquo;&nbsp; $f_{\rm D}= \pm0.16$.
:*&nbsp;Dementsprechend ist die relative Abweichung&nbsp; &bdquo;(Näherung &ndash; Exakt)/Exakt)&rdquo;&nbsp; gleich&nbsp; $0.16/0.167-1=-4.2\%$&nbsp; bzw.&nbsp; $(-0.16)/(-0.154)-1=+3.9\%$.
+
:*&nbsp;Somit ist die relative Abweichung&nbsp; &bdquo;(Näherung &ndash; Exakt)/Exakt&rdquo;&nbsp; gleich&nbsp; $0.16/0.167-1=-4.2\%$&nbsp; bzw.&nbsp; $(-0.16)/(-0.154)-1=+3.9\%$.
:*&nbsp;Mit&nbsp; $v/c  =0.1$&nbsp; sind die Abweichungen betragsmäßig&nbsp; $>5\%$.&nbsp; Für &nbsp; $v < c/10 = 30\hspace{0.05cm}000$&nbsp; km/s ist aber die Dopplerfrequenz&ndash;Näherung ausreichend.
+
:*&nbsp;Mit&nbsp; $v/c  =0.1$&nbsp; sind die Abweichungen betragsmäßig größer als&nbsp; $5\%$.&nbsp; Für &nbsp; $v < 0.08 \cdot c = 24\hspace{0.05cm}000$&nbsp; km/s ist die Dopplerfrequenz&ndash;Näherung ausreichend.
  
'''AS:'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; Für (6) gilt auch &nbsp; $S_x=300,\ S_y=50,\ \varphi=-45$ Oder $\varphi=+45$?
+
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(6)'''&nbsp; Hier und in den nachfolgenden Aufgaben soll gelten:&nbsp; $f_{\rm S}= 1$,&nbsp; $v/c= 0.4$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm D} = f_{\rm S} \cdot v/c \cdot \cos(\alpha)$.&nbsp; Mit&nbsp; $\cos(\alpha) = \pm 1$: &nbsp; &nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S} =\pm 0.4$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Welche normierten Dopplerfrequenzen ergeben sich mit dem eingestellten Startkoordinaten&nbsp; $(0,\ 150)$&nbsp; und  der Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=-45^\circ$?}} 
 +
:*&nbsp;Hier bewegt sich der Sender direkt auf den Empfänger zu&nbsp; $(\alpha=0^\circ)$&nbsp; oder entfernt sich von ihm&nbsp; $(\alpha=180^\circ)$.
 +
:*&nbsp;Gleiche Konstellation wie mit dem Startpunkt&nbsp; $(0,\ 0)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi=0^\circ$.&nbsp; Deshalb gilt auch hier für die Dopplerfrequenz:&nbsp;$f_{\rm D}/f_{\rm S} =\pm 0.4$.
 +
:*&nbsp;Nachdem der Sender an einer Begrenzung &bdquo;reflektiert&rdquo; wurde, sind beliebige Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp; und entsprechend mehr Dopplerfrequenzen möglich.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''&nbsp; Hier und in den nachfolgenden Aufgaben soll gelten:&nbsp; $f_{\rm S}= 1$,&nbsp; $v/c= 0.4$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm D} = f_{\rm S} \cdot v/c \cdot \cos(\alpha)$.&nbsp; Mit&nbsp; $\cos(\alpha) = \pm 1$: &nbsp; &nbsp; $f_{\rm D}/f_{\rm S} =\pm 0.4$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Welche normierten Dopplerfrequenzen ergeben sich mit dem eingestellten Startkoordinaten&nbsp; $(300,\ 50)$&nbsp; und  der Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi=-45^\circ$?}} 
+
'''(7)'''&nbsp; Der Sender liegt fest bei&nbsp; $(S_x = 0,\ S_y =10),$&nbsp; der Empfänger bewegt sich horizontal nach links  bzw. rechts&nbsp; $(v/c = 0.4, \hspace{0.3cm}\varphi=0^\circ)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Beobachten und interpretieren Sie die zeitliche Änderung der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$. }}
:*&nbsp;Ausgehend vom Startpunkt&nbsp; $(300,\ 50)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi=-45^\circ$&nbsp; bewegt sich der Sender direkt auf den Empfänger zu&nbsp; $(\alpha=0^\circ)$&nbsp; oder entfernt sich von ihm&nbsp; $(\alpha=180^\circ)$.
+
:*&nbsp;Wie in&nbsp; $(6)$&nbsp; sind auch hier nur Werte zwischen&nbsp; $f_{\rm D}=0.4$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm D}=-0.4$&nbsp; möglich,&nbsp; aber nun alle Zwischenwerte&nbsp; $(-0.4 \le f_{\rm D} \le +0.4)$.
:*&nbsp;Es liegt also die gleiche Konstellation vor wie mit dem Startpunkt&nbsp; $(300,\ 200)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi=0^\circ$.&nbsp; Deshalb gilt auch hier für die Dopplerfrequenz:&nbsp;$f_{\rm D}/f_{\rm S} =\pm 0.4$.  
+
:*&nbsp;Mit &bdquo;Step&rdquo; erkennen Sie:&nbsp; $f_{\rm D}\equiv0$&nbsp; tritt nur auf, wenn der Empfänger genau unter dem Sender liegt&nbsp; $(\alpha=\pm 90^\circ$,&nbsp; je nach Fahrtrichtung$)$.
 
+
:*&nbsp;Dopplerfrequenzen an den Rändern  sind sehr viel häufiger:&nbsp; $|f_{\rm D}| = 0.4 -\varepsilon$,&nbsp; wobei&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; eine kleine positive Größe angibt.&nbsp;
'''Danach kommen noch einige (zwei oder drei) Aufgaben
+
:*&nbsp;Schon aus diesem Versuch wird der prinzipielle Verlauf von Doppler&ndash;WDF und Doppler&ndash;LDS &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Jakes&ndash;Spektrum&rdquo; erklärbar.
 
 
  
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(8)'''&nbsp; Was ändert sich, wenn der Sender bei sonst gleichen Einstellungen fest am oberen Rand der Grafikfläche in der Mitte liegt&nbsp; $(0,\ 200) $? }}
 +
:*&nbsp;Die Dopplerwerte&nbsp; $f_{\rm D} \approx0$&nbsp; werden häufiger, solche an den Rändern seltener.&nbsp;  keine Werte&nbsp; $|f_{\rm D}| > 0.325$&nbsp; aufgrund der begrenzten Zeichenfläche.
 +
 
 
==Zur Handhabung des Applets==
 
==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Handhabung_binomial.png|left|600px]]
+
[[Datei:Anleitung_Doppler.png|right|600px|frame|Bildschirmabzug (englische Version)]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für blauen Parametersatz
+
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
 
+
:* Dark: &nbsp; schwarzer Hintergrund&nbsp; (wird von den Autoren empfohlen)
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider
+
:*  Bright: &nbsp; weißer Hintergrund&nbsp; (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
 +
:*  Deuteranopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Grün&ndash;Sehschwäche
 +
:*  Protanopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Rot&ndash;Sehschwäche
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für roten Parametersatz
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Startposition des Senders &nbsp; &rArr; &nbsp; $(S_x,\ S_Y)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe $\lambda$ per Slider
+
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Eingabeparameter
 +
:* Bewegungsrichtung&nbsp; $\varphi$&nbsp; von Sender bzw. Empfänger
 +
:* (Normierte) Geschwindigkeit&nbsp; $(v/c)$&nbsp; von Sender bzw. Empfänger
 +
:* (Normierte) Sendefrequenz&nbsp; $(f_{\rm S}/f_0)$&nbsp;
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Graphische Darstellung der Verteilungen
+
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Verwendete Gleichung für die Empfangsfrequenz
 +
:* Exakt&nbsp; (unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie)
 +
:* Näherung&nbsp; (für den Mobilfunk ausreichend)
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für blauen Parametersatz
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld:&nbsp; Bewegung und Wellenausbreitung
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für roten Parametersatz
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld:&nbsp; Sende&ndash; und Empfangsfrequenz (Zeitbereich)
  
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Variation der grafischen Darstellung
+
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld:&nbsp; Sende&ndash; und Empfangsfrequenz (Frequenzbereich)
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Bedienfeld 1
 +
:* Der Sender oder der Empfänger bewegt sich
 +
:* Bewegung nach rechts oder links&nbsp; (bzw. nach oben oder unten)
  
$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),  
+
&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp; Bedienfeld 2&nbsp; (Start, Stop, Schritt, Weiter, Reset)
  
$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern)
+
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabeparameter
 +
:* Richtung&nbsp; $\alpha$&nbsp; zwischen Bewegung und S/E&ndash;Verbindungslinie
 +
:* (Normierte) Dopplerfrequenz&nbsp; $(f_{\rm D}/f_0)$&nbsp;
 +
:* (Normierte) Empfangsfrequenz&nbsp; $(f_{\rm E}/f_0)$&nbsp;
  
$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$&rdquo; (Zurücksetzen)
+
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer
  
$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Verschieben nach links),  usw.
+
&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Aufgabenbeschreibung und Fragestellung
  
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z  \le \mu)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Musterlösung anzeigen und verbergen
  
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung
 
<br clear=all>
 
<br>'''Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung''':
 
*Gedrückte Shifttaste und Scrollen:  Zoomen im Koordinatensystem,
 
*Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
 
  
 
==Über die Autoren==
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.  
+
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde an der&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehr&ndash; und Forschungseinheit für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.  
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
+
*Die erste Version wurde 2009 von &nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Alexander_Happach_.28Diplomarbeit_EI_2009.29|Alexander Happach]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).  
*2020 wurde das Programm  von [[Andre Schulz]]  (Bachelorarbeit LB, Betreuer: [[Benedikt Leible]] und [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] )  unter  &bdquo;HTML5&rdquo; neu gestaltet.
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*2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Andr.C3.A9_Schulz_.28Bachelorarbeit_LB_2020.29|André Schulz]]&nbsp; (Bachelorarbeit LB, &nbsp; Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Benedikt_Leible.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2017.29|Benedikt Leible]]&nbsp; und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] )&nbsp; unter  &bdquo;HTML5&rdquo; neu gestaltet.
  
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
  
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{{LntAppletLinkDeEn|dopplereffect|dopplereffect_en}}
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Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 11:15 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version


Programmbeschreibung


Das Applet soll den so genannten „Dopplereffekt” verdeutlichen, benannt nach dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen Christian Andreas Doppler. Dieser sagt die Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen jeder Art voraus, die sich ergibt, wenn sich Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) relativ zueinander bewegen.  Aufgrund dieses Sachverhalts unterscheidet sich die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$  von der Sendefrequenz $f_{\rm S}$.  Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}=f_{\rm E}-f_{\rm S}$  ist positiv,  wenn sich Beobachter und Quelle einander annähern, andernfalls nimmt der Beobachter eine niedrigere Frequenz wahr, als tatsächlich gesendet wurde.

Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$  unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie lautet:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\text{ Exakte Gleichung}}.$$
  • Hierbei ist  $v$  die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger, während  $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  die Lichtgeschwindigkeit angibt.
  • $\alpha$  ist der Winkel  zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender–Empfänger.
  • $\varphi$  bezeichnet im Applet den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung und der Horizontalen.  Im allgemeinen ist  $\alpha \ne \varphi$.


Bei realistischen Geschwindigkeiten  $(v/c \ll 1)$  ist folgende Näherung ausreichend, bei der relativitätstheoretische Effekte unberücksichtigt bleiben:

$$f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\text{ Näherung}}\hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise sind beim Mobilfunk die Abweichungen zwischen  $f_{\rm E}$  und  $f_{\rm S}$  – also die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$  – nur ein Bruchteil der Sendefrequenz. 


Theoretischer Hintergrund


Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffekts

$\text{Definition:}$  Als  $\rm Dopplereffekt$  bezeichnet man die Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen jeder Art, die sich dann ergibt, wenn sich Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) relativ zueinander bewegen.  Dieser wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen  Christian Andreas Doppler  theoretisch vorhergesagt und nach ihm benannt.


Qualitativ lässt sich der Dopplerreffekt wie folgt beschreiben:

  • Nähern sich Beobachter und Quelle einander an, so erhöht sich aus Sicht des Beobachters die Frequenz, egal, ob sich der Beobachter bewegt oder die Quelle oder beide.
  • Entfernt sich die Quelle vom Beobachter oder der Beobachter von der Quelle, so nimmt der Beobachter eine niedrigere Frequenz wahr, als tatsächlich gesendet wurde.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten die Tonhöhenänderung des  „Martinhorns”  eines Rettungswagens.  Solange sich das Fahrzeug annähert, hört der Beobachter einen höheren Ton als bei stehendem Wagen.  Entfernt sich der Rettungswagen, so wird ein tieferer Ton wahrgenommen.

Den gleichen Effekt stellt man auch bei einem  Autorennen  fest.  Die Frequenzänderungen und der „Sound” sind dabei um so deutlicher, je schneller die Autos fahren.


Ausgangslage:  $\rm (S)$  und  $\rm (E)$  bewegen sich nicht

$\text{Beispiel 2:}$  Einige Eigenschaften dieses noch aus dem Physikunterricht bekannten Effekts sollen nun anhand von Bildschirmabzügen einer früheren Version des vorliegenden Applets dargestellt werden, wobei natürlich die dynamischen Programmeigenschaften verloren gehen.

Die erste Grafik zeigt die Ausgangssituation:

  • Der ruhende Sender  $\rm (S)$  gibt die konstante Frequenz $f_{\rm S}$  ab.
  • Die Wellenausbreitung ist in der Grafik durch konzentrische Kreise um  $\rm (S)$  veranschaulicht.
  • Beim ebenfalls ruhenden Empfänger  $\rm (E)$  kommt dann natürlich die Frequenz $f_{\rm E} = f_{\rm S}$  an.


$\text{Beispiel 3:}$  Bei diesem Schnappschuss hat sich der Sender  $\rm (S)$  mit konstanter Geschwindigkeit  $v$  von seinem Startpunkt  $\rm (S_0)$  auf den Empfänger  $\rm (E)$  zu bewegt.

Dopplereffekt: $\rm (S)$ bewegt sich auf ruhenden $\rm (E)$ zu
  • Das rechte Diagramm zeigt, dass die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz $f_{\rm E}$  (blaue Schwingung) um etwa  $20\%$  größer ist als die Frequenz $f_{\rm S}$  am Sender (rote Schwingung).
  • Aufgrund der Bewegung des Senders sind nun die Kreise nicht mehr konzentrisch.
Dopplereffekt: $\rm (S)$ entfernt sich vom ruhenden $\rm (E)$










  • Das linke Szenerio ergibt sich, wenn sich der Sender  $\rm (S)$  vom Empfänger  $\rm (E)$  entfernt:  
  • Dann ist die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$  (blaue Schwingung) um etwa  $20\%$  kleiner als die Sendefrequenz $f_{\rm S}$.


Dopplerfrequenz als Funktion von Geschwindigkeit und Winkel der Verbindungslinie

Wir vereinbaren:  Gesendet wird die Frequenz $f_{\rm S}$  und empfangen die Frequenz $f_{\rm E}$.  Als Dopplerfrequenz bezeichnet man die Differenz $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}$  aufgrund der Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter).

  • Eine positive Dopplerfrequenz  $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$  ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger  (relativ)  aufeinander zu bewegen. 
  • Eine negative Dopplerfrequenz  $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$  bedeutet, dass sich Sender und Empfänger  (direkt oder unter einem Winkel)  voneinander entfernen.


Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz $f_{\rm E}$  unter Einbeziehung eines Winkels  $\alpha$  zwischen Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender–Empfänger lautet:

\[f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\text{ Exakte Gleichung}}.\]

Hierbei bezeichnet  $v$  die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger, während  $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  die Lichtgeschwindigkeit angibt. 

  • Die Grafiken im  $\text{Beispiel 3}$  gelten für die unrealistisch große Geschwindigkeit  $v = c/5 = 60000\, {\rm km/s}$, die zu den Dopplerfrequenzen $f_{\rm D} = \pm 0.2\cdot f_{\rm S}$  führen.
  • Beim Mobilfunk sind die Abweichungen zwischen $f_{\rm S}$  und $f_{\rm E}$  dagegen meist nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.  Bei solchen realistischen Geschwindigkeiten  $(v \ll c)$  kann man von der folgenden Näherung ausgehen, bei der die durch die  Relativitätstheorie  beschriebenen Effekte unberücksichtigt bleiben:
\[f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\text{ Näherung}}\hspace{0.05cm}.\]

$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen hier von einem festen Sender aus.  Der Empfänger nähert sich dem Sender unter dem Winkel  $\alpha = 0$. 

Untersucht werden sollen verschiedene Geschwindigkeiten:

  • eine unrealistisch große Geschwindigkeit  $v_1 = 0.6 \cdot c = 1.8 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$ $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6$,
  • die Maximalgeschwindigkeit  $v_2 = 3 \ {\rm km/s} \ \ (10800 \ {\rm km/h})$  bei unbemanntem Testflug  $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}$,
  • etwa die Höchstgeschwindigkeit  $v_3 = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$  auf Bundesstraßen  $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}$.


(1)  Nach der exakten, relativistischen ersten Gleichung gilt:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot \left [ \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } - 1 \right ]\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - 0.6^2} }{1 - 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{0.4 } - 1 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 2 \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{\rm -5}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2} }{1 - (10^{-5}) } - 1 \approx 1 + 10^{-5} - 1 = 10^{-5} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.00001 \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{\rm -7}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-7})^2} }{1 - (10^{-7}) } - 1 \approx 1 + 10^{-7} - 1 = 10^{-7} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.0000001 \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Dagegen gilt nach der Näherung, also ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \big [ 1 + {v}/{c} \big ] \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.7cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \ = \ 0.6 \hspace{0.5cm} ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.6,$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.00001,$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.0000001.$$


$\text{Fazit:}$ 

  1.   Für „kleine” Geschwindigkeiten liefert die Näherung bis hin zur Genauigkeit eines Taschenrechners das gleiche Ergebnis wie die relativistische Gleichung.
  2.   Die Zahlenwerte zeigen, dass wir auch die Geschwindigkeit  $v_2 = \ 10800 \ {\rm km/h}$  in dieser Hinsicht noch als „klein” bewerten können.


$\text{Beispiel 5:}$  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im letzten Beispiel mit dem Unterschied:  Nun entfernt sich der Empfänger vom Sender  $(\alpha = 180^\circ)$.

(1)  Nach der exakten, relativistischen ersten Gleichung gilt mit  ${\rm cos}(\alpha) = -1$:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot \left [ \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \right ]\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - 0.6^2} }{1 + 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{1.6 } - 1 =-0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{\rm -5}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2} }{1 + (10^{-5}) } - 1 \approx - 10^{-5} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 0.99999 \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Dagegen gilt nach der Näherung, also ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \big [ 1 - {v}/{c} \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = - {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.7cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ 0.6} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 0.4,$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ - 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 0.99999.$$


$\text{Fazit:}$ 

  1.   Die Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}$  ist nun kleiner als die Sendefrequenz  $f_{\rm S}$  und die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  ist negativ. 
  2.   Bei der Näherung unterscheiden sich die Dopplerfrequenzen für die beiden Bewegungsrichtungen nur im Vorzeichen   ⇒   $f_{\rm E} = f_{\rm S} \pm f_{\rm D}$.
  3.   Bei der exakten, relativistischen Gleichung ist diese Symmetrie nicht gegeben.


$\text{Beispiel 6:}$  Nun betrachten wir die auch für den Mobilfunk realistische Geschwindigkeit  $v = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$   ⇒   $v/c=10^{-7}$. 

Richtungen  $\rm (A)$,  $\rm (B)$, $\rm (C)$, $\rm (D)$
  • Damit können wir uns auf die nichtrelativistische Näherung beschränken:   $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot {v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$
  • Wie in den vorherigen Beispielen sei der Sender fest.  Die Sendefrequenz betrage  $f_{\rm S} = 2 \ {\rm GHz}$.


Die Grafik zeigt mögliche Bewegungsrichtungen des Empfängers. 

  • Die Richtung  $\rm (A)$  wurde im  $\text{Beispiel 4}$  betrachtet.  Mit den aktuellen Parameterwerten ergibt sich
$$f_{\rm D} = 2 \cdot 10^{9}\,\,{\rm Hz} \cdot \frac{30\,\,{\rm m/s} }{3 \cdot 10^{8}\,\,{\rm m/s} } = 200\,{\rm Hz}.$$
  • Für die Richtung  $\rm (B)$  erhält man gemäß  $\text{Beispiel 5}$  den gleichen Zahlenwert mit negativem Vorzeichen:  
$$f_{\rm D} = -200\,{\rm Hz}.$$
  • Die Fahrtrichtung  $\rm (C)$  verläuft senkrecht  $(\alpha = 90^\circ)$  zur Verbindungslinie Sender–Empfänger.  In diesem Fall tritt keine Dopplerverschiebung auf:
$$f_{\rm D} = 0.$$
  • Die Bewegungsrichtung  $\rm (D)$  ist durch  $\alpha = \ -135^\circ$ charakterisiert.  Daraus resultiert:
$$f_{\rm D} = 200 \,{\rm Hz} \cdot \cos(-135^{\circ}) \approx -141\,\,{\rm Hz} \hspace{0.05cm}.$$


Dopplerfrequenz und deren Verteilung

Wir fassen die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen, wobei wir von der zweiten, also der nicht–relativistischen Gleichung ausgehen:

  • Bei einer Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter) kommt es zu einer Verschiebung um die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}$.
  • Eine positive Dopplerfrequenz  $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$  ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger  (relativ)  aufeinander zu bewegen.  Eine negative Dopplerfrequenz  $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$  bedeutet, dass sich Sender und Empfänger  (direkt oder unter einem Winkel)  voneinander entfernen.
  • Die maximale Frequenzverschiebung tritt auf, wenn sich Sender und Empfänger direkt aufeinander zu bewegen   ⇒   Winkel  $\alpha = 0^\circ$.  Dieser Maximalwert hängt in erster Näherung von der Sendefrequenz  $ f_{\rm S}$  und der Geschwindigkeit  $v$  ab   $(c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  gibt die Lichtgeschwindigkeit an$)$:  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$
  • Erfolgt die Relativbewegung unter einem beliebigen Winkel  $\alpha$  zur Verbindungslinie Sender–Empfänger, so entsteht eine Dopplerverschiebung um
\[f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} - \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \le f_{\rm D} \le + \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Fazit:}$  Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Bewegungsrichtungen  $($Gleichverteilung für den Winkel  $\alpha$  im Bereich  $- \pi \le \alpha \le +\pi)$  ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $($hier mit „wdf” bezeichnet$)$  der Dopplerfrequenz im Bereich  $- f_\text{D, max} \le f_{\rm D} \le + f_\text{D, max}$:

\[{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt {1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.\]

Außerhalb des Bereichs zwischen  $-f_{\rm D}$  und  $+f_{\rm D}$  hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stets den Wert Null.

$\text{Herleitung}$  über die „Nichtlineare Transformation von Zufallsgrößen”



Leistungsdichtespektrum bei Rayleigh–Fading

Wir setzen nun eine in alle Richtungen gleich abstrahlende Antenne voraus.  Dann ist das Doppler–$\rm LDS$  (Leistungsdichtespektrum)  formgleich mit der  $\rm WDF$  (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion)  der Dopplerfrequenzen.

  • Für die Inphasekomponente  ${\it \Phi}_x(f_{\rm D})$  des LDS muss die WDF noch mit der Leistung  $\sigma^2$  des Gaußprozesses multipliziert werden.
  • Für das resultierende LDS  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  des komplexen Faktors  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) $  gilt nach Verdoppelung:
\[{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \left\{ \begin{array}{c} (2\sigma^2)/( \pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}) \cdot \left [ 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 \right ]^{-0.5} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} |f_{\rm D}| \le f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.\]

Man nennt diesen Verlauf nach  William C. Jakes Jr.  das  Jakes–Spektrum.  Die Verdoppelung ist notwendig, da bisher nur der Beitrag des Realteils  $x(t)$  betrachtet wurde.

Doppler–LDS und Zeitfunktion (Betrag in dB) bei Rayleigh-Fading mit Dopplereffekt

$\text{Beispiel 7:}$  Links dargestellt ist das Jakes–Spektrum

  • für  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 50 \ \rm Hz$  (blaue Kurve) bzw.
  • für  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 100 \ \rm Hz$  (rote Kurve).


Beim  GSM–D–Netz  $(f_{\rm S} = 900 \ \rm MHz)$  entsprechen diese Werte den Geschwindigkeiten  $v = 60 \ \rm km/h$  bzw.  $v = 120 \ \rm km/h$.

Beim E–Netz  $(f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz)$  gelten diese Werte für halb so große Geschwindigkeiten:   $v = 30 \ \rm km/h$  bzw.  $v = 60 \ \rm km/h$.

Das rechte Bild zeigt den logarithmierten Betrag von  $z(t)$:

  • Man erkennt das doppelt so schnelle Fading des roten Kurvenverlaufs.
  • Die Rayleigh–WDF (Amplitudenverteilung) ist unabhängig von  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  und deshalb für beide Fälle gleich.



Versuchsdurchführung

Exercises binomial fertig.png
  • Wählen Sie zunächst die Nummer  1  ...  8  der zu bearbeitenden Aufgabe.
  • Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
  • Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
  • Die Nummer  0  entspricht einem „Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
  • In den folgenden Beschreibungen sind $f_{\rm S}$, $f_{\rm E}$  und $f_{\rm D}$  jeweils auf die Bezugsfrequenz $f_{\rm 0}$  normiert.


(1)  Zunächst betrachten wir die relativistische Einstellung „Exakt”.  Der Sender bewegt sich mit  $v/c = 0.8$,  die Sendefrequenz sei  $f_{\rm S}= 1$.
        Welche Empfangsfrequenzen  $f_{\rm E}$  ergeben sich bei beiden Bewegungsrichtungen?  Wie groß ist jeweils die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$?

  •  Nähert sich der Sender unter dem Winkel  $\varphi=0^\circ$  dem Empfänger an, ergibt sich die Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}= 3$   ⇒   $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= 2$.
  •  Entfernt sich der Sender vom Empfänger  $($für  $\varphi=0^\circ$, wenn er diesen überholt, oder  $\varphi=180^\circ)$, dann:  $f_{\rm E}= 0.333$   ⇒   $f_{\rm D}= -0.667$.
  •  Gleiches Ergebnis bei ruhendem Sender und sich bewegendem Empfänger:  Kommen sich beide näher, dann gilt  $f_{\rm D}= 2$,  sonst  $f_{\rm D}= -0.667$.

(2)  Die Einstellungen bleiben weitgehend erhalten.  Wie ändern sich sich die Ergebnisse gegenüber  (1)  mit der Sendefrequenz  $f_{\rm S}= 1.5$?
        Tipp für eine möglichst zeitsparende Versuchsdurchführung:  Schalten Sie abwechselnd zwischen „Rechts” und „Links” hin und her.

  •  Bewegungsrichtung  $\varphi=0^\circ$:  $f_{\rm E}= 4.5$   ⇒   $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= 3$.   Somit:  $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 3$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 2$   ⇒   Beides wie in  (1).
  •  Bewegungsrichtung  $\varphi=180^\circ$:  $f_{\rm E}= 0.5$   ⇒   $f_{\rm D}= -1$.   Somit:  $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.333$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.667$  ⇒   Beides wie in  (1).

(3)  Weiterhin relativistische Einstellung „Exakt”.  Der Sender bewegt sich nun mit Geschwindigkeit  $v/c = 0.4$  und die Sendefrequenz sei  $f_{\rm S}= 2$.
        Welche Frequenzen  $f_{\rm D}$  und  $f_{\rm E}$  ergeben sich bei beiden Bewegungsrichtungen?  Wählen Sie wieder abwechselnd „Rechts” bzw. „Links”.

  •  Bewegungsrichtung  $\varphi=0^\circ$:  Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}= 3.055$   ⇒   Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}= 1.055$.   ⇒   $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 1.528$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 0.528$.
  •  Bewegungsrichtung  $\varphi=180^\circ$:  Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}= 1.309$   ⇒   Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}= -0.691$.   ⇒   $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.655$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.346$.

(4)  Es gelten weiter die bisherigen Voraussetzungen, aber nun die Einstellung „Näherung”.  Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber  (3)?

  •  Bewegungsrichtung  $\varphi=0^\circ$:  Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}= 2.8$   ⇒   Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= 0.8$   ⇒   $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 1.4$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= 0.4$.
  •  Bewegungsrichtung  $\varphi=180^\circ$:  Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}= 1.2$   ⇒   Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}= -0.8$.   ⇒   $f_{\rm E}/f_{\rm S}= 0.6$,  $f_{\rm D}/f_{\rm S}= -0.4$.
  •  Mit „Näherung”:  Für beide  $f_{\rm D}$  gleiche Zahlenwerte mit verschiedenen Vorzeichen.  Bei „Exakt” ist diese Symmetrie nicht gegeben.

(5)  Es gelte weiterhin  $f_{\rm S}= 2$.  Bis zu welcher Geschwingkeit  $(v/c)$  ist der relative Fehler zwischen „Näherung” und „Exakt” betragsmäßig  $<5\%$?

  •  Mit  $v/c =0.08$  und „Exakt” erhält man für die Dopplerfrequenzen  $f_{\rm D}= 0.167$  bzw.  $f_{\rm D}= -0.154$  und mit „Näherung”  $f_{\rm D}= \pm0.16$.
  •  Somit ist die relative Abweichung  „(Näherung – Exakt)/Exakt”  gleich  $0.16/0.167-1=-4.2\%$  bzw.  $(-0.16)/(-0.154)-1=+3.9\%$.
  •  Mit  $v/c =0.1$  sind die Abweichungen betragsmäßig größer als  $5\%$.  Für   $v < 0.08 \cdot c = 24\hspace{0.05cm}000$  km/s ist die Dopplerfrequenz–Näherung ausreichend.

(6)  Hier und in den nachfolgenden Aufgaben soll gelten:  $f_{\rm S}= 1$,  $v/c= 0.4$   ⇒   $f_{\rm D} = f_{\rm S} \cdot v/c \cdot \cos(\alpha)$.  Mit  $\cos(\alpha) = \pm 1$:     $f_{\rm D}/f_{\rm S} =\pm 0.4$.
        Welche normierten Dopplerfrequenzen ergeben sich mit dem eingestellten Startkoordinaten  $(0,\ 150)$  und der Bewegungsrichtung  $\varphi=-45^\circ$?

  •  Hier bewegt sich der Sender direkt auf den Empfänger zu  $(\alpha=0^\circ)$  oder entfernt sich von ihm  $(\alpha=180^\circ)$.
  •  Gleiche Konstellation wie mit dem Startpunkt  $(0,\ 0)$  und  $\varphi=0^\circ$.  Deshalb gilt auch hier für die Dopplerfrequenz: $f_{\rm D}/f_{\rm S} =\pm 0.4$.
  •  Nachdem der Sender an einer Begrenzung „reflektiert” wurde, sind beliebige Winkel  $\alpha$  und entsprechend mehr Dopplerfrequenzen möglich.

(7)  Der Sender liegt fest bei  $(S_x = 0,\ S_y =10),$  der Empfänger bewegt sich horizontal nach links bzw. rechts  $(v/c = 0.4, \hspace{0.3cm}\varphi=0^\circ)$.
        Beobachten und interpretieren Sie die zeitliche Änderung der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$.

  •  Wie in  $(6)$  sind auch hier nur Werte zwischen  $f_{\rm D}=0.4$  und  $f_{\rm D}=-0.4$  möglich,  aber nun alle Zwischenwerte  $(-0.4 \le f_{\rm D} \le +0.4)$.
  •  Mit „Step” erkennen Sie:  $f_{\rm D}\equiv0$  tritt nur auf, wenn der Empfänger genau unter dem Sender liegt  $(\alpha=\pm 90^\circ$,  je nach Fahrtrichtung$)$.
  •  Dopplerfrequenzen an den Rändern sind sehr viel häufiger:  $|f_{\rm D}| = 0.4 -\varepsilon$,  wobei  $\varepsilon$  eine kleine positive Größe angibt. 
  •  Schon aus diesem Versuch wird der prinzipielle Verlauf von Doppler–WDF und Doppler–LDS   ⇒   „Jakes–Spektrum” erklärbar.

(8)  Was ändert sich, wenn der Sender bei sonst gleichen Einstellungen fest am oberen Rand der Grafikfläche in der Mitte liegt  $(0,\ 200) $?

  •  Die Dopplerwerte  $f_{\rm D} \approx0$  werden häufiger, solche an den Rändern seltener.  keine Werte  $|f_{\rm D}| > 0.325$  aufgrund der begrenzten Zeichenfläche.

Zur Handhabung des Applets

Bildschirmabzug (englische Version)

    (A)     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)

  • Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
  • Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
  • Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
  • Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    (B)     Startposition des Senders   ⇒   $(S_x,\ S_Y)$

    (C)     Eingabeparameter

  • Bewegungsrichtung  $\varphi$  von Sender bzw. Empfänger
  • (Normierte) Geschwindigkeit  $(v/c)$  von Sender bzw. Empfänger
  • (Normierte) Sendefrequenz  $(f_{\rm S}/f_0)$ 

    (D)     Verwendete Gleichung für die Empfangsfrequenz

  • Exakt  (unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie)
  • Näherung  (für den Mobilfunk ausreichend)

    (E)     Grafikfeld:  Bewegung und Wellenausbreitung

    (F)     Grafikfeld:  Sende– und Empfangsfrequenz (Zeitbereich)

    (G)     Grafikfeld:  Sende– und Empfangsfrequenz (Frequenzbereich)

    (H)     Bedienfeld 1

  • Der Sender oder der Empfänger bewegt sich
  • Bewegung nach rechts oder links  (bzw. nach oben oder unten)

    (I)     Bedienfeld 2  (Start, Stop, Schritt, Weiter, Reset)

    (J)     Ausgabeparameter

  • Richtung  $\alpha$  zwischen Bewegung und S/E–Verbindungslinie
  • (Normierte) Dopplerfrequenz  $(f_{\rm D}/f_0)$ 
  • (Normierte) Empfangsfrequenz  $(f_{\rm E}/f_0)$ 

    (K)     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    (L)     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    (M)     Musterlösung anzeigen und verbergen


Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde an der  Lehr– und Forschungseinheit für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version