Aufgaben:Aufgabe 2.08: Generatorpolynome für Reed-Solomon: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(6 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes}}
  
[[Datei:P_ID2525__KC_A_2_8.png|right|frame|Vier Generatormatrizen, drei davon beschreiben Reed–Solomon–Codes]]
+
[[Datei:P_ID2525__KC_A_2_8.png|right|frame|Vier Generatormatrizen,  drei davon beschreiben Reed–Solomon–Codes]]
In der [[Aufgaben:2.07_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Code_(7,_3,_5)(Base_8)|Aufgabe A2.7]] sollten Sie die Codeworte des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ über ein Polynom ermitteln. Man kann aber das Codewort $\underline{c}$ auch aus dem Informationswort $\underline{u}$ und der Generatormatrix $\mathbf{G}$ gemäß der folgenden Gleichung bestimmen:
+
In der  [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|"Aufgabe 2.7"]]  sollten Sie die Codeworte des  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  über ein Polynom ermitteln.  Man kann aber das Codewort  $\underline{c}$  auch aus dem Informationswort  $\underline{u}$  und der Generatormatrix  $\mathbf{G}$  gemäß der folgenden Gleichung bestimmen:
 
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
 
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Zwei der vorgegebenen Generatormatrizen beschreiben den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$. In der Teilaufgabe (1) ist explizit gefragt, welche. Eine weitere Generatormatrix gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet wird.
+
*Zwei dieser Generatormatrizen beschreiben den  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.  In der Teilaufgabe  '''(1)'''  ist explizit gefragt,  welche.
 +
 +
*Eine weitere Generatormatrix gehört zum  $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$,  der in der Teilaufgabe  '''(3)'''  betrachtet wird.
  
''Hinweise:''
+
 
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes]].
+
 
* Wichtige Informationen zu den Reed–Solomon–Codes finden Sie auch in der Angabe zur [[Aufgaben:2.07_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Code_(7,_3,_5)(Base_8)| Aufgabe A2.7]].
+
 
 +
 
 +
Hinweise:
 +
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| "Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes"]].
 +
 
 +
* Weitere Informationen zu den Reed–Solomon–Codes finden Sie in der  [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8| "Aufgabe 2.7"]].
  
  
Zeile 18: Zeile 25:
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche der Generatorpolynome beschreiben den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$?
+
{Welche der Generatorpolynome beschreiben den &nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $\mathbf{G}_{\rm A}$,
+
- Die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm A}$,
+ $\mathbf{G}_{\rm B}$,
+
+ die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm B}$,
+ $\mathbf{G}_{\rm C}$,
+
+ die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm C}$,
- $\mathbf{G}_{\rm D}$.
+
- die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm D}$.
  
{Die Informationsfolge beginnt mit $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$. Bestimmen Sie das erste Codewort für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.
+
{Die Informationsfolge beginnt mit &nbsp; $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$. &nbsp; Bestimmen Sie das erste Codewort für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Es gilt $c_0 = \alpha^2$,
+
+ Es gilt&nbsp; $c_0 = \alpha^2$,
+ Es gilt $c_1 = \alpha^3$,
+
+ Es gilt&nbsp; $c_1 = \alpha^3$,
- Es gilt $c_6 = 0$.
+
- Es gilt&nbsp; $c_6 = 0$.
  
{Wie lautet bei gleicher Informationsfolge das Codewort für den $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$?
+
{Wie lautet bei gleicher Informationsfolge das Codewort für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Es gilt $c_0 = 1$,
+
+ Es gilt&nbsp; $c_0 = 1$,
+ Es gilt $c_1 = 0$,
+
+ Es gilt&nbsp; $c_1 = 0$,
+ Es gilt $c_6 = \alpha^6$.
+
+ Es gilt&nbsp; $c_6 = \alpha^6$.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$, wobei in der Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ bereits die erlaubten Umformungen $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$ und $\alpha^{12} = \alpha^5$ berücksichtigt wurden. Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ gilt für den $(7, \, 5, \, 3)$&ndash;Hamming&ndash;Code und $\mathbf{G}_{\rm D}$ gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$. Siehe hierzu Teilaufgabe (3).
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> &nbsp; &#8658; &nbsp; Matrizen&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm C}$.
 +
 +
*In der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm C}$&nbsp; wurden bereits die erlaubten Umformungen &nbsp; $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$ &nbsp; und &nbsp; $\alpha^{12} = \alpha^5$ &nbsp; berücksichtigt.
 +
 +
*Die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm A}$&nbsp; gilt für den&nbsp; $(7, \, 5, \, 3)$&ndash;Hamming&ndash;Code und&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm D}$&nbsp; gehört zum&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$.&nbsp; Siehe hierzu Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''.
 +
 
  
  
'''(2)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ werden in jedem Codierschritt $k = 3$ Informationssymbole verarbeitet, im Codierschritt 1 die Symbole $\alpha^4, \ 1$ und $\alpha^3$. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit:
+
'''(2)'''&nbsp; Beim&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$&nbsp; werden in jedem Codierschritt&nbsp; $k = 3$&nbsp; Informationssymbole verarbeitet,&nbsp; im Codierschritt 1 gemäß der Angabe die Symbole&nbsp; $\alpha^4, \ 1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^3$.  
 +
 
 +
*Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit:
 
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} =
 
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} =
 
\begin{pmatrix}
 
\begin{pmatrix}
Zeile 53: Zeile 67:
 
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}
 
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}
 
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
 
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
 +
[[Datei:P_ID2584__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|$\rm GF(2^3)$&nbsp; als Potenzen, Polynome und Vektoren]]
  
[[Datei:P_ID2584__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|]] Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Tabelle:
+
*Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Hilfstabelle:
:$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1 =$$
+
:$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1 =
:$$\hspace{0.475cm} = \ \hspace{-0.15cm}
 
 
(110) + (001) + (011)= (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
 
(110) + (001) + (011)= (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
:$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2}= $$
+
:$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2}=  
:$$\hspace{0.475cm} = \ \hspace{-0.15cm}
 
 
  (110)  + (010) + (110) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
 
  (110)  + (010) + (110) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
:$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{2} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{4}=$$
+
:$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{2} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{4}=
:$$\hspace{0.475cm} = \ \hspace{-0.15cm}
 
 
  (110) + (100) + (001) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
 
  (110) + (100) + (001) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
:$$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{6}=$$
+
:$$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{6}=$
:$$\hspace{0.475cm} = \ \hspace{-0.15cm}
 
 
  (110) + (011) + (100) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
 
  (110) + (011) + (100) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
 
:$$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{4} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{1}
 
:$$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{4} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{1}
 
  = \alpha^{4} \hspace{0.05cm},$$
 
  = \alpha^{4} \hspace{0.05cm},$$
:$$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{5} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{3}=$$
+
:$$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{5} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{3}=
:$$\hspace{0.475cm} = \ \hspace{-0.15cm}
 
 
  (110) + (111) + (101) =  (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
 
  (110) + (111) + (101) =  (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
:$$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{6} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{5}=$$
+
:$$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{6} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{5}=
:$$\hspace{0.475cm} = \ \hspace{-0.15cm}
 
 
  (\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
  (\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  
Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (4) von [[Aufgaben:2.07_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Code_(7,_3,_5)(Base_8)|Aufgabe A2.7]]. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Es gilt nicht $c_6 = 0$, sondern $c_6 = 1$.
+
*Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der&nbsp;  '''(4)'''&nbsp; von&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|"Aufgabe 2.7"]].&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.  
  
 +
*Es gilt also nicht&nbsp; $c_6 = 0$,&nbsp; sondern&nbsp; $c_6 = 1$.
  
'''(3)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist nun das Informationswort $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$ zu berücksichtigen. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm D}$ erhält man somit:
+
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Beim&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$&nbsp; ist das Informationswort&nbsp; $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$&nbsp; zu berücksichtigen.  
 +
*Mit der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm D}$&nbsp; erhält man:
 
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} =
 
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} =
 
\begin{pmatrix}
 
\begin{pmatrix}
Zeile 92: Zeile 105:
 
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
 
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
  
Daraus folgt:
+
*Daraus folgt:
:$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1  + 0 \cdot 1 +  \alpha^{6}\cdot 1=$$
+
:$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1  + 0 \cdot 1 +  \alpha^{6}\cdot 1= (110) + (001) + (011) + (000) +  (101) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
:$$\hspace{0.475cm} = \ \hspace{-0.15cm} (110) + (001) + (011) + (000) +  (101) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
 
 
:$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} +  \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}=  \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} +  \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}=  \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  
Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ ... \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe (2) entspricht. Entsprechendes wird bei den folgenden Berechnungen ebenfalls berücksichtigt:
+
*Hierbei ist berücksichtigt,&nbsp; dass der Klammerausdruck&nbsp; $[ \ \text{...} \ ]$&nbsp; genau dem Ergebnis&nbsp; $c_1$&nbsp; der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; entspricht.
 +
 
 +
*Entsprechendes wird auch bei den folgenden Berechnungen berücksichtigt:
 
:$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{1}=
 
:$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{1}=
 
\left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{7} =
 
\left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{7} =
Zeile 113: Zeile 127:
 
  =  (001) + (100) = (101) = \alpha^{6} \hspace{0.05cm}.$$
 
  =  (001) + (100) = (101) = \alpha^{6} \hspace{0.05cm}.$$
  
Das heißt: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
+
*Das heißt:&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 10. Oktober 2022, 15:24 Uhr

Vier Generatormatrizen,  drei davon beschreiben Reed–Solomon–Codes

In der  "Aufgabe 2.7"  sollten Sie die Codeworte des  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  über ein Polynom ermitteln.  Man kann aber das Codewort  $\underline{c}$  auch aus dem Informationswort  $\underline{u}$  und der Generatormatrix  $\mathbf{G}$  gemäß der folgenden Gleichung bestimmen:

$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Zwei dieser Generatormatrizen beschreiben den  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.  In der Teilaufgabe  (1)  ist explizit gefragt,  welche.
  • Eine weitere Generatormatrix gehört zum  $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$,  der in der Teilaufgabe  (3)  betrachtet wird.



Hinweise:

  • Weitere Informationen zu den Reed–Solomon–Codes finden Sie in der  "Aufgabe 2.7".



Fragebogen

1

Welche der Generatorpolynome beschreiben den   $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$?

Die Matrix  $\mathbf{G}_{\rm A}$,
die Matrix  $\mathbf{G}_{\rm B}$,
die Matrix  $\mathbf{G}_{\rm C}$,
die Matrix  $\mathbf{G}_{\rm D}$.

2

Die Informationsfolge beginnt mit   $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$.   Bestimmen Sie das erste Codewort für den  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.

Es gilt  $c_0 = \alpha^2$,
Es gilt  $c_1 = \alpha^3$,
Es gilt  $c_6 = 0$.

3

Wie lautet bei gleicher Informationsfolge das Codewort für den  $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$?

Es gilt  $c_0 = 1$,
Es gilt  $c_1 = 0$,
Es gilt  $c_6 = \alpha^6$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 3   ⇒   Matrizen  $\mathbf{G}_{\rm B}$  und  $\mathbf{G}_{\rm C}$.

  • In der Matrix  $\mathbf{G}_{\rm C}$  wurden bereits die erlaubten Umformungen   $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$   und   $\alpha^{12} = \alpha^5$   berücksichtigt.
  • Die Matrix  $\mathbf{G}_{\rm A}$  gilt für den  $(7, \, 5, \, 3)$–Hamming–Code und  $\mathbf{G}_{\rm D}$  gehört zum  $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$.  Siehe hierzu Teilaufgabe  (3).


(2)  Beim  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  werden in jedem Codierschritt  $k = 3$  Informationssymbole verarbeitet,  im Codierschritt 1 gemäß der Angabe die Symbole  $\alpha^4, \ 1$  und  $\alpha^3$.

  • Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit:
$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} \alpha^4 & 1 & \alpha^3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5} \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
$\rm GF(2^3)$  als Potenzen, Polynome und Vektoren
  • Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Hilfstabelle:
$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot 1 + \alpha^{3}\cdot 1 = (110) + (001) + (011)= (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2}= (110) + (010) + (110) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{2} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{4}= (110) + (100) + (001) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
$$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{6}=$ (110) + (011) + (100) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
$$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{4} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{1} = \alpha^{4} \hspace{0.05cm},$$
$$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{5} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{3}= (110) + (111) + (101) = (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
$$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{6} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{5}= (\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der  (4)  von  "Aufgabe 2.7".  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 2.
  • Es gilt also nicht  $c_6 = 0$,  sondern  $c_6 = 1$.


(3)  Beim  $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$  ist das Informationswort  $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$  zu berücksichtigen.

  • Mit der Generatormatrix  $\mathbf{G}_{\rm D}$  erhält man:
$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} \alpha^4 & 1 & \alpha^3 & 0 & \alpha^6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\ 1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^5 & \alpha^{1} & \alpha^{4}\\ 1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^{6} & \alpha^{3} \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
  • Daraus folgt:
$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot 1 + \alpha^{3}\cdot 1 + 0 \cdot 1 + \alpha^{6}\cdot 1= (110) + (001) + (011) + (000) + (101) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}= \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Hierbei ist berücksichtigt,  dass der Klammerausdruck  $[ \ \text{...} \ ]$  genau dem Ergebnis  $c_1$  der Teilaufgabe  (2)  entspricht.
  • Entsprechendes wird auch bei den folgenden Berechnungen berücksichtigt:
$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{1}= \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{7} = (011) + (001) = (010) = \alpha^{1} \hspace{0.05cm},$$
$$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ 1 \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{5}= \left [ 1 \right ] + \alpha^{4}= (001) + (110) = (111) = \alpha^{5} \hspace{0.05cm},$$
$$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{4} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{2}= \left [ \alpha^{4} \right ] + \alpha^{1} = (110) + (010) = (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
$$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{2} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{6}= \left [ \alpha^{2} \right ] + \alpha^{5} = (100) + (111) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
$$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ 1 \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{3}= \left [ 1 \right ] + \alpha^{2} = (001) + (100) = (101) = \alpha^{6} \hspace{0.05cm}.$$
  • Das heißt:  Alle Lösungsvorschläge sind richtig.