Aufgaben:Aufgabe 2.08: Generatorpolynome für Reed-Solomon: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID2525__KC_A_2_8.png|right|frame|Vier Generatormatrizen, drei davon beschreiben Reed–Solomon–Codes]] | + | [[Datei:P_ID2525__KC_A_2_8.png|right|frame|Vier Generatormatrizen, drei davon beschreiben Reed–Solomon–Codes]] |
− | In der [[Aufgaben: | + | In der [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|"Aufgabe 2.7"]] sollten Sie die Codeworte des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ über ein Polynom ermitteln. Man kann aber das Codewort $\underline{c}$ auch aus dem Informationswort $\underline{u}$ und der Generatormatrix $\mathbf{G}$ gemäß der folgenden Gleichung bestimmen: |
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} | :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} | ||
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− | Zwei | + | *Zwei dieser Generatormatrizen beschreiben den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$. In der Teilaufgabe '''(1)''' ist explizit gefragt, welche. |
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+ | *Eine weitere Generatormatrix gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet wird. | ||
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+ | Hinweise: | ||
+ | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| "Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes"]]. | ||
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+ | * Weitere Informationen zu den Reed–Solomon–Codes finden Sie in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8| "Aufgabe 2.7"]]. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Welche der Generatorpolynome beschreiben den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$? | + | {Welche der Generatorpolynome beschreiben den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$? |
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− | - $\mathbf{G}_{\rm A}$, | + | - Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$, |
− | + $\mathbf{G}_{\rm B}$, | + | + die Matrix $\mathbf{G}_{\rm B}$, |
− | + $\mathbf{G}_{\rm C}$, | + | + die Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$, |
− | - $\mathbf{G}_{\rm D}$. | + | - die Matrix $\mathbf{G}_{\rm D}$. |
− | {Die Informationsfolge beginnt mit $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$. Bestimmen Sie das erste Codewort für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$. | + | {Die Informationsfolge beginnt mit $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$. Bestimmen Sie das erste Codewort für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$. |
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− | + Es gilt $c_0 = \alpha^2$, | + | + Es gilt $c_0 = \alpha^2$, |
− | + Es gilt $c_1 = \alpha^3$, | + | + Es gilt $c_1 = \alpha^3$, |
− | - Es gilt $c_6 = 0$. | + | - Es gilt $c_6 = 0$. |
− | {Wie lautet bei gleicher Informationsfolge das Codewort für den $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$? | + | {Wie lautet bei gleicher Informationsfolge das Codewort für den $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$? |
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− | + Es gilt $c_0 = 1$, | + | + Es gilt $c_0 = 1$, |
− | + Es gilt $c_1 = 0$, | + | + Es gilt $c_1 = 0$, |
− | + Es gilt $c_6 = \alpha^6$. | + | + Es gilt $c_6 = \alpha^6$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> ⇒ Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$ | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> ⇒ Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$. |
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+ | *In der Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ wurden bereits die erlaubten Umformungen $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$ und $\alpha^{12} = \alpha^5$ berücksichtigt. | ||
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+ | *Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ gilt für den $(7, \, 5, \, 3)$–Hamming–Code und $\mathbf{G}_{\rm D}$ gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$. Siehe hierzu Teilaufgabe '''(3)'''. | ||
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− | '''(2)''' Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ werden in jedem Codierschritt $k = 3$ Informationssymbole verarbeitet, im Codierschritt 1 die Symbole $\alpha^4, \ 1$ und $\alpha^3$. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit: | + | '''(2)''' Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ werden in jedem Codierschritt $k = 3$ Informationssymbole verarbeitet, im Codierschritt 1 gemäß der Angabe die Symbole $\alpha^4, \ 1$ und $\alpha^3$. |
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+ | *Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit: | ||
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = | :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
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1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5} | 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5} | ||
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$ | \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$ | ||
+ | [[Datei:P_ID2584__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|$\rm GF(2^3)$ als Potenzen, Polynome und Vektoren]] | ||
− | + | *Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Hilfstabelle: | |
− | :$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot 1 + \alpha^{3}\cdot 1 = | + | :$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot 1 + \alpha^{3}\cdot 1 = |
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(110) + (001) + (011)= (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$ | (110) + (001) + (011)= (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | :$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2}= | + | :$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2}= |
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(110) + (010) + (110) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$ | (110) + (010) + (110) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | :$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{2} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{4}= | + | :$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{2} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{4}= |
− | |||
(110) + (100) + (001) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$ | (110) + (100) + (001) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | :$$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{6}=$ | + | :$$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{6}=$ |
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(110) + (011) + (100) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$ | (110) + (011) + (100) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{4} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{1} | :$$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{4} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{1} | ||
= \alpha^{4} \hspace{0.05cm},$$ | = \alpha^{4} \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | :$$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{5} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{3}= | + | :$$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{5} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{3}= |
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(110) + (111) + (101) = (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$ | (110) + (111) + (101) = (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | :$$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{6} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{5}= | + | :$$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{6} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{5}= |
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(\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | (\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der | + | *Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der '''(4)''' von [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|"Aufgabe 2.7"]]. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. |
+ | *Es gilt also nicht $c_6 = 0$, sondern $c_6 = 1$. | ||
− | '''(3)''' Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist | + | |
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+ | '''(3)''' Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist das Informationswort $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$ zu berücksichtigen. | ||
+ | *Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm D}$ erhält man: | ||
:$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = | :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = | ||
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\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$ | \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$ | ||
− | Daraus folgt: | + | *Daraus folgt: |
− | :$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot 1 + \alpha^{3}\cdot 1 + 0 \cdot 1 + \alpha^{6}\cdot 1= | + | :$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot 1 + \alpha^{3}\cdot 1 + 0 \cdot 1 + \alpha^{6}\cdot 1= (110) + (001) + (011) + (000) + (101) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$ |
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:$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}= \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}= \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ ... \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe (2) entspricht. Entsprechendes wird bei den folgenden Berechnungen | + | *Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ \text{...} \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe '''(2)''' entspricht. |
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+ | *Entsprechendes wird auch bei den folgenden Berechnungen berücksichtigt: | ||
:$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{1}= | :$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{1}= | ||
\left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{7} = | \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{7} = | ||
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= (001) + (100) = (101) = \alpha^{6} \hspace{0.05cm}.$$ | = (001) + (100) = (101) = \alpha^{6} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Das heißt: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig. | + | *Das heißt: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig. |
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Aktuelle Version vom 10. Oktober 2022, 15:24 Uhr
In der "Aufgabe 2.7" sollten Sie die Codeworte des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ über ein Polynom ermitteln. Man kann aber das Codewort $\underline{c}$ auch aus dem Informationswort $\underline{u}$ und der Generatormatrix $\mathbf{G}$ gemäß der folgenden Gleichung bestimmen:
- $$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$
- Zwei dieser Generatormatrizen beschreiben den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$. In der Teilaufgabe (1) ist explizit gefragt, welche.
- Eine weitere Generatormatrix gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet wird.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes".
- Weitere Informationen zu den Reed–Solomon–Codes finden Sie in der "Aufgabe 2.7".
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3 ⇒ Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$.
- In der Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ wurden bereits die erlaubten Umformungen $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$ und $\alpha^{12} = \alpha^5$ berücksichtigt.
- Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ gilt für den $(7, \, 5, \, 3)$–Hamming–Code und $\mathbf{G}_{\rm D}$ gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$. Siehe hierzu Teilaufgabe (3).
(2) Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ werden in jedem Codierschritt $k = 3$ Informationssymbole verarbeitet, im Codierschritt 1 gemäß der Angabe die Symbole $\alpha^4, \ 1$ und $\alpha^3$.
- Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit:
- $$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} \alpha^4 & 1 & \alpha^3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5} \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
- Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Hilfstabelle:
- $$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot 1 + \alpha^{3}\cdot 1 = (110) + (001) + (011)= (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2}= (110) + (010) + (110) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{2} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{4}= (110) + (100) + (001) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{6}=$ (110) + (011) + (100) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
- $$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{4} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{1} = \alpha^{4} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{5} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{3}= (110) + (111) + (101) = (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{6} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{5}= (\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$
- Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der (4) von "Aufgabe 2.7". Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2.
- Es gilt also nicht $c_6 = 0$, sondern $c_6 = 1$.
(3) Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist das Informationswort $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$ zu berücksichtigen.
- Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm D}$ erhält man:
- $$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} \alpha^4 & 1 & \alpha^3 & 0 & \alpha^6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\ 1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^5 & \alpha^{1} & \alpha^{4}\\ 1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^{6} & \alpha^{3} \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
- Daraus folgt:
- $$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot 1 + \alpha^{3}\cdot 1 + 0 \cdot 1 + \alpha^{6}\cdot 1= (110) + (001) + (011) + (000) + (101) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
- $$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}= \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ \text{...} \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe (2) entspricht.
- Entsprechendes wird auch bei den folgenden Berechnungen berücksichtigt:
- $$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{1}= \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{7} = (011) + (001) = (010) = \alpha^{1} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ 1 \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{5}= \left [ 1 \right ] + \alpha^{4}= (001) + (110) = (111) = \alpha^{5} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{4} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{2}= \left [ \alpha^{4} \right ] + \alpha^{1} = (110) + (010) = (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ \alpha^{2} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{6}= \left [ \alpha^{2} \right ] + \alpha^{5} = (100) + (111) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
- $$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left [ 1 \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{3}= \left [ 1 \right ] + \alpha^{2} = (001) + (100) = (101) = \alpha^{6} \hspace{0.05cm}.$$
- Das heißt: Alle Lösungsvorschläge sind richtig.