Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der im Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der in unserem Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
* die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, t)$, die wir hier auch mit $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezeichnen,
* die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.1cm}t)$, die wir hier auch mit $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ bezeichnen,
* die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$
* die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.1cm} f_{\rm D})$,
* die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$,
* die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$,
* die zeitvariante Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f, t)$.
* die zeitvariante Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f,\hspace{0.1cm}t)$ oder $H(f, \hspace{0.1cm}t)$.
Die Indizes stehen für die <b>V</b>erzögerung $\tau$, die <b>Z</b>eit $t$, die <b>F</b>requenz $f$ sowie die <b>D</b>opplerfrequenz $f_{\rm D}$.
Die Indizes stehen für die $\rm V\hspace{-0.05cm}$erzögerung $\tau$, die $\rm Z$eit $t$, die $\rm F$requenz $f$ sowie die $\rm D$opplerfrequenz $f_{\rm D}$.
Gegeben ist die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ entsprechend der oberen Grafik:
Gegeben ist die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ entsprechend der oberen Grafik:
In der Literatur wird $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ oft auch <i>Scatter–Funktion</i> genannt und mit $s(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ bezeichnet.
In dieser Aufgabe sollen die zugehörige Verzögerungs–Zeit–Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm}t)$ und die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ ermittelt werden.
In der Literatur $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ oft auch <i>Scatter–Funktion</i> genannt und mit $s(\tau, f_{\rm D})$, bezeichnet.
Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion $|\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})|$ dargestellt ist, so dass die negativen Gewichte der beiden letzten Diracfunktionen nicht zu erkennen sind. In dieser Aufgabe sollen die zugehörige Verzögerungs–Zeit–Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ und die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ ermittelt werden.
''Hinweise:''
''Hinweise:''
* Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS–Kanalmodell]] verdeutlichen.
* Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS–Kanalmodell]] verdeutlichen.
* Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist auf der [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik]] der ersten Seite dieses Kapitels angegeben.
* Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist in der [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik auf der ersten Seite]] dieses Kapitels angegeben.
*Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion $|\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm} f_{\rm D})|$ dargestellt ist, so dass negative Gewichte der Diracfunktionen nicht zu erkennen sind.
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===Fragebogen===
===Fragebogen===
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{Bei welchen $\tau$–Werten hat die 2D–Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ Anteile?
{Bei welchen $\tau$–Werten hat die 2D–Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm}t)$ Anteile? Bei
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+ $\tau = 0$,
+ $\tau = 0$,
+ $\tau = 1 \ \rm \mu s$,
+ $\tau = 1 \ \rm µ s$,
- andere $\tau$–Werte.
- anderen $\tau$–Werte.
{Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t)|$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
{Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.1cm}t)|$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
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+ $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t)|$ ist unabhängig von $t$.
+ $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.1cm} t)|$ ist unabhängig von $t$.
- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.1cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.1cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
{Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t)|$. Welche der Aussagen treffen zu?
{Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s},\hspace{0.05cm} t)|$. Welche der Aussagen treffen zu?
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- $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t)|$ ist unabhängig von $t$.
+ Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
+ Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s}, \hspace{0.1cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s}, \hspace{0.1cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
{Betrachten Sie nun die Frequenz–Doppler–Darstellung $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$. Für welche $f_{\rm D}$–Werte ist diese Funktion ungleich $0$?
{Betrachten Sie nun die Frequenz–Doppler–Darstellung $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$. Für welche $f_{\rm D}$–Werte ist diese Funktion ungleich Null? Für
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- $f_{\rm D} = 0$,
- $f_{\rm D} = 0$,
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- $f_{\rm D} = ± 100 \ \rm Hz$.
- $f_{\rm D} = ± 100 \ \rm Hz$.
{Welche der folgenden Aussagen gelten für $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$?
{Welche der folgenden Aussagen gelten für $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.1cm} f_{\rm D})$?
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+ $|\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz)|$ ist unabhängig von $f_{\rm D}$.
*Dementsprechend ist $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ für alle Werte von $\tau$ identisch Null, für die auch in der Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$ keine Anteile zu erkennen sind.
*Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: Nur für $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm µ s$ besitzt die zeitvariante Impulsantwort endliche Werte.
'''(2)''' Für die Verzögerung $\tau = 0$ besteht die Scatter–Funktion $(\eta_{\rm VD})$ aus einem einzigen Dirac bei $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$.
*Für die gesuchte Zeitfunktion gilt gemäß dem zweiten Fourierintegral:
*Richtig ist demzufolge der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
'''(3)''' Bei der Verzögerungszeit $\tau = 1 \ \rm µ s$ besteht die Verzögerungs–Doppler–Funktion dagegen aus zwei Diracfunktionen bei $±50 \ \rm Hz$, jeweils mit dem Gewicht $-0.5$.
*Diese Funktion lässt sich mit $A = -1$ und $f_0 = 50 \ \rm Hz$ gemäß dem <u>Lösungsvorschlag 2</u> darstellen.
Dementsprechend ist $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ für alle Werte von $\tau$ identisch $0$, für die auch in der Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ keine Anteile zu erkennen sind. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Nur für $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm \mu s$ besitzt die zeitvariante Impulsantwort endliche Werte.
'''(2)''' Für die Verzögerung $\tau = 0$ besteht die Scatter–Funktion ($\eta_{\rm VD}$) aus einem einzigen Dirac bei $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$. Für die gesuchte Zeitfunktion gilt gemäß dem zweiten Fourierintegral:
Richtig ist demzufolge der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
'''(4)''' Die drei Diracfunktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ liegen bei den Dopplerfrequenzen $+100 \ \rm Hz$, $+50 \ \rm Hz$ und $-50 \ \rm Hz$.
*Für alle anderen Dopplerfrequenzen muss deshalb auch $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}) \equiv 0$ sein.
*Richtig ist hier also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
'''(3)''' Bei der Verzögerungszeit $\tau = 1 \ \rm \mu s$ besteht die Verzögerungs–Doppler–Funktion dagegen aus zwei Diracfunktionen bei $±50 \ \rm Hz$, jeweils mit dem Gewicht $–0.5$. Die Zeitfunktion ergibt sich damit zu
Diese Funktion lässt sich mit $A = \ –1$ und $f_0 = 50 \ \rm Hz$ gemäß <u>Lösungsvorschlag 2</u> darstellen.
'''(5)''' Betrachtet man die Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ in Richtung der $\tau$–Achse, so gibt es bei den Dopplerfrequenzen $100 \ \rm Hz$ und $±50 \ \rm Hz$ nur jeweils einen Dirac.
*Hier ergeben sich in Abhängigkeit von $f$ jeweils komplexe Exponentialschwingungen mit konstantem Betrag (woraus folgt, dass der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig ist):
'''(4)''' Die drei Diracfunktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ liegen bei den Dopplerfrequenzen $+100 \ \rm Hz$, $+50 \ \rm Hz$ und $–50 \ \rm Hz$. Für alle anderen Dopplerfrequenzen muss deshalb auch $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ identisch $0$ sein. Richtig ist hier also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
'''(5)''' Betrachtet man die Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ in Richtung der $\tau$–Achse, so erkennt man bei den relevanten Dopplerfrequenzen $100 \ \rm Hz$ und $±50 \ \rm Hz$ nur jeweils eine Diracfunktion. Hier ergeben sich in Abhängigkeit von $f$ jeweils komplexe Exponentialschwingungen mit konstantem Betrag (woraus folgt, dass der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig ist):
[[Datei:P_ID2168__Mob_A_2_5e_neu.png|right|frame|Zusammenhang aller Systemfunktionen]]
'''(6)''' Wie aus der angegebenen [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik]] zu ersehen, treffen die <u>Lösungsalternativen 2 und 3</u> zu.
*Die Fourierkorrespondenzen (grün eingezeichnet) verdeutlichen die Zusammenhänge zwischen diesen Systemfunktionen.
'''(6)''' Wie aus der angegebenen [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik]] zu ersehen, treffen die <u>Lösungsalternativen 2 und 3</u> zu.
Die Grafik zeigt alle Systemfunktionen. Die Fourierkorrespondenzen (grün eingezeichnet) verdeutlichen die Zusammenhänge zwischen diesen Systemfunktionen.
[[Datei:P_ID2168__Mob_A_2_5e_neu.png|center|frame|Zusammenhang aller Systemfunktionen]]
''Hinweis:''
''Hinweis:'' Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion $|\eta_{\rm FZ}(f, t)|$ im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für die [[Aufgaben:2.4_h(%CF%84,_t)_und_H(f,_t)| Aufgabe A2.4]]. Die jeweils dargestellten Betragsfunktionen unterscheiden sich signifikant, obwohl $|\eta_{\rm VZ}(\tau, t)|$ in beiden Fällen gleich ist. In der Aufgabe A2.4 wurde jedoch für $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t)$ implizit eine Cosinusfunktion vorausgesetzt und hier eine Minus–Cosinusfunktion. Die (nicht explizit) angegebene Verzögerungs–Dopplerfunktion für die Aufgabe A2.4 lautete:
Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion $|\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.1cm} t)|$ im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_2D-Übertragungsfunktion| Aufgabe 2.4]]:
*Die jeweils dargestellten Betragsfunktionen unterscheiden sich signifikant, obwohl $|\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)|$ in beiden Fällen gleich ist.
*In der Aufgabe 2.4 wurde für $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s},\ t)$ implizit ein Cosinus vorausgesetzt, hier eine Minus–Cosinusfunktion.
Ein Vergleich mit der Gleichung auf der [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion|Angabenseite]] zeigt, dass sich lediglich die Vorzeichen der Diracgewichte bei $\tau = 1 \ \rm \mu s$ geändert haben.
*Ein Vergleich mit der entsprechenden Gleichung auf der [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion|Angabenseite]] zeigt, dass sich nur die Vorzeichen der Diracs bei $\tau = 1 \ \rm µ s$ geändert haben.
Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der in unserem Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.1cm}t)$, die wir hier auch mit $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ bezeichnen,
die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.1cm} f_{\rm D})$,
die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$,
die zeitvariante Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f,\hspace{0.1cm}t)$ oder $H(f, \hspace{0.1cm}t)$.
Die Indizes stehen für die $\rm V\hspace{-0.05cm}$erzögerung $\tau$, die $\rm Z$eit $t$, die $\rm F$requenz $f$ sowie die $\rm D$opplerfrequenz $f_{\rm D}$.
Gegeben ist die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ entsprechend der oberen Grafik:
In der Literatur wird $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ oft auch Scatter–Funktion genannt und mit $s(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ bezeichnet.
In dieser Aufgabe sollen die zugehörige Verzögerungs–Zeit–Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm}t)$ und die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ ermittelt werden.
Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist in der Grafik auf der ersten Seite dieses Kapitels angegeben.
Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion $|\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm} f_{\rm D})|$ dargestellt ist, so dass negative Gewichte der Diracfunktionen nicht zu erkennen sind.
Dementsprechend ist $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ für alle Werte von $\tau$ identisch Null, für die auch in der Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$ keine Anteile zu erkennen sind.
Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2: Nur für $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm µ s$ besitzt die zeitvariante Impulsantwort endliche Werte.
(2) Für die Verzögerung $\tau = 0$ besteht die Scatter–Funktion $(\eta_{\rm VD})$ aus einem einzigen Dirac bei $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$.
Für die gesuchte Zeitfunktion gilt gemäß dem zweiten Fourierintegral:
(3) Bei der Verzögerungszeit $\tau = 1 \ \rm µ s$ besteht die Verzögerungs–Doppler–Funktion dagegen aus zwei Diracfunktionen bei $±50 \ \rm Hz$, jeweils mit dem Gewicht $-0.5$.
Diese Funktion lässt sich mit $A = -1$ und $f_0 = 50 \ \rm Hz$ gemäß dem Lösungsvorschlag 2 darstellen.
(4) Die drei Diracfunktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ liegen bei den Dopplerfrequenzen $+100 \ \rm Hz$, $+50 \ \rm Hz$ und $-50 \ \rm Hz$.
Für alle anderen Dopplerfrequenzen muss deshalb auch $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}) \equiv 0$ sein.
Richtig ist hier also der Lösungsvorschlag 2.
(5) Betrachtet man die Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ in Richtung der $\tau$–Achse, so gibt es bei den Dopplerfrequenzen $100 \ \rm Hz$ und $±50 \ \rm Hz$ nur jeweils einen Dirac.
Hier ergeben sich in Abhängigkeit von $f$ jeweils komplexe Exponentialschwingungen mit konstantem Betrag (woraus folgt, dass der Lösungsvorschlag 1 richtig ist):
(6) Wie aus der angegebenen Grafik zu ersehen, treffen die Lösungsalternativen 2 und 3 zu.
Die Grafik zeigt alle Systemfunktionen.
Die Fourierkorrespondenzen (grün eingezeichnet) verdeutlichen die Zusammenhänge zwischen diesen Systemfunktionen.
Hinweis:
Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion $|\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.1cm} t)|$ im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für Aufgabe 2.4:
Die jeweils dargestellten Betragsfunktionen unterscheiden sich signifikant, obwohl $|\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)|$ in beiden Fällen gleich ist.
In der Aufgabe 2.4 wurde für $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s},\ t)$ implizit ein Cosinus vorausgesetzt, hier eine Minus–Cosinusfunktion.
Die (nicht explizit) angegebene Verzögerungs–Dopplerfunktion für die Aufgabe 2.4 lautete:
Ein Vergleich mit der entsprechenden Gleichung auf der Angabenseite zeigt, dass sich nur die Vorzeichen der Diracs bei $\tau = 1 \ \rm µ s$ geändert haben.
