Stochastische Signaltheorie/Matched-Filter: Unterschied zwischen den Versionen
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==Optimierungskriterium des Matched–Filters== | ==Optimierungskriterium des Matched–Filters== | ||
− | Das Matched-Filter – auch Korrelationsfilter genannt – dient zum Nachweis der Signalexistenz. | + | <br> |
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+ | $\text{Definition:}$ Das '''Matched-Filter''' – auch "Korrelationsfilter"' genannt – dient zum Nachweis der Signalexistenz. | ||
+ | [[Datei:P_ID568__Sto_T_5_4_S1_neu.png |right|frame| Blockschaltbild des Matched-Filter-Empfängers]] | ||
+ | Der '''Matched-Filter-Empfänger''' kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt: mit maximalem SNR – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen $n(t)$ gestörtes impulsförmiges Nutzsignal $g(t)$ vorhanden ist oder nicht. | ||
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+ | Zur Herleitung des Matched-Filter-Empfängers wird die skizzierte Anordnung betrachtet. }} | ||
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+ | Für die einzelnen Komponenten gelten folgende Voraussetzungen: | ||
+ | *Der Nutzanteil $g(t)$ des Empfangssignals $r(t)=g(t)+n(t)$ sei impulsförmig und somit "energiebegrenzt". | ||
+ | *Das heißt: Das Integral über $\big [g(t)\big ]^2$ von $–∞$ bis $+∞$ liefert den endlichen Wert $E_g$. | ||
+ | *Das Störsignal $n(t)$ sei "Weißes Gaußsches Rauschen" mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$. | ||
+ | *Das Filterausgangssignal $d(t)$ setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Der Anteil $d_{\rm S}(t)$ geht auf das "$\rm S$"ignal $g(t)$ zurück, der Anteil $d_{\rm N}(t)$ auf das "$\rm N$"oise $n(t)$. | ||
+ | *Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter ⇒ Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird: | ||
+ | :$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma _d ^2 } }\mathop = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$ | ||
+ | *Hierbei bezeichnen $σ_d^2$ die Varianz ("Leistung") von $d_{\rm N}(t)$ und $T_{\rm D}$ den (geeignet gewählten) "Detektionszeitpunkt". | ||
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+ | ==Matched-Filter-Optimierung== | ||
+ | <br> | ||
+ | Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal $g(t)$ mit dem zugehörigen Spektrum $G(f)$. | ||
+ | *Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ für jedes beliebige Filter mit der Impulsantwort $h(t)$ und dem Frequenzgang $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ wie folgt geschrieben werden $($ohne Berücksichtigung des Rauschens ⇒ Index $\rm S$ für „Signal”$)$: | ||
+ | :$$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$ | ||
+ | *Der „Rauschanteil” $d_{\rm N}(t)$ des Filterausgangssignals $($Index $\rm N$ für „Noise”$)$ rührt allein vom Weißen Rauschen $n(t)$ am Eingang des Empfängers her. Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$: | ||
+ | :$$\sigma _d ^2 = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$ | ||
+ | *Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem: | ||
+ | :$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$ | ||
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+ | {{BlaueBox|TEXT= | ||
+ | $\text{Hier zunächst ohne Beweis:}$ Man kann zeigen, dass dieser Quotient für den folgenden Frequenzgang $H(f)$ am größten wird: | ||
+ | :$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } . $$ | ||
+ | *Damit erhält man für das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Matched–Filter–Ausgang $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante $K_{\rm MF})$: | ||
+ | :$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } }.$$ | ||
− | + | * $E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Parseval Satz von Parseval] sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann: | |
− | * | + | :$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$}} |
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+ | $\text{Beispiel 1:}$ Ein rechteckförmiger Impuls $g(t)$ mit Amplitude $\rm 1\hspace{0.05cm}V$, Dauer $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$ und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden. | ||
+ | *Somit ist die Impulsenergie $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$. | ||
+ | *Die Rauschleistungsdichte sei $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$. | ||
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− | Das beste Ergebnis ⇒ maximale S/N–Verhältnis erzielt man mit dem Matched-Filter: | + | Das beste Ergebnis ⇒ das '''maximale S/N–Verhältnis''' erzielt man mit dem Matched-Filter: |
− | $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } = | + | :$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } = |
\frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000 | \frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000 | ||
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} | \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} | ||
− | 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}.$$ | + | 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}.$$}} |
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+ | Dieses Matched–Filter–Kriterium wird nun schrittweise hergeleitet. Wenn Sie daran nicht interessiert sind, dann springen Sie zur Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter#Interpretation_des_Matched-Filters|"Interpretation des Matched–Filters"]]. | ||
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+ | {{BlaueBox|TEXT= | ||
+ | $\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$ | ||
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+ | $(1)$ Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen $A(f)$ und $B(f)$: | ||
+ | :$$\left \vert {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert ^2 \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$ | ||
+ | $(2)$ Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal–zu–Rauschverhältnis an: | ||
+ | :$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {H(f)} \right \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$ | ||
+ | $(3)$ Mit $A(f) = G(f)$ und $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }$ ergibt sich somit die folgende Schranke: | ||
+ | :$$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$ | ||
+ | $(4)$ Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein: | ||
+ | :$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }.$$ | ||
+ | $(5)$ Dann erhält man aus der obigen Gleichung $(2)$ folgendes Ergebnis: | ||
+ | :$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$ | ||
+ | |||
+ | $\text{Das heißt:}$ | ||
+ | *Mit dem Ansatz $(4)$ für das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht. | ||
+ | *Mit keinem anderen Filter $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$ kann man ein höheres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis erzielen. | ||
+ | *Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal. | ||
+ | <div align="right">'''q.e.d.'''</div> | ||
+ | }} | ||
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+ | |||
+ | Wir verweisen auf das HTML5/JavaScript–Applet [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|"Zur Verdeutlichung des Matched-Filters"]]. | ||
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+ | ==Interpretation des Matched-Filters== | ||
+ | <br> | ||
+ | Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet: | ||
+ | :$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$ | ||
+ | Durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]] erhält man die dazugehörige Impulsantwort: | ||
+ | :$$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$$ | ||
+ | |||
+ | Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren: | ||
+ | *Das "Matched-Filter" ist durch den Term $G^{\star}(f)$ an das Spektrum des aufzufindenden Impulses $g(t)$ angepasst – daher sein Name (englisch: "to match" ≡ anpassen). | ||
+ | *Die "Konstante" $K_{\rm MF}$ ist aus Dimensionsgründen notwendig. | ||
+ | *Ist $g(t)$ ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”. Der Frequenzgang ist somit dimensionslos. | ||
+ | *Die "Impulsantwort" $h_{\rm MF}(t)$ ergibt sich aus dem Nutzsignal $g(t)$ durch Spiegelung ⇒ aus $g(t)$ wird $g(–t)$ $ ]$ sowie einer Verschiebung um $T_{\rm D}$ nach rechts. | ||
+ | *Der "früheste Detektionszeitpunkt" $T_{\rm D}$ folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$ $($„Kausalität”, siehe Buch [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]]$)$. | ||
+ | *Der "Nutzanteil" $d_{\rm S} (t)$ des Filterausgangssignals ist formgleich mit der [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals|Energie-AKF]] $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$ und gegenüber dieser um $T_{\rm D}$ verschoben. Es gilt: | ||
+ | :$$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(t) * g(T_{\rm D} - t) = K_{\rm MF} \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$ | ||
+ | |||
+ | {{BlaueBox|TEXT= | ||
+ | $\text{Bitte beachten Sie:}$ | ||
+ | Bei einem energiebegrenzten Signal $g(t)$ kann man nur die '''Energie–AKF''' angeben: | ||
+ | :$$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$ | ||
+ | Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals $x(t)$, nämlich | ||
+ | :$$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$ | ||
+ | wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ sowie auf den Grenzübergang $T_{\rm M} → ∞$ verzichtet.}} | ||
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+ | {{GraueBox|TEXT= | ||
+ | $\text{Beispiel 2:}$ Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen $\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ und $\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$ liegt und der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ gewünscht wird. | ||
+ | |||
+ | Unter diesen Voraussetzungen gilt: | ||
+ | *Die Matched–Filter–Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ muss im Bereich von $t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$ bis $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ konstant sein. | ||
+ | *Für $t < t_1$ sowie für $t > t_2$ darf sie keine Anteile besitzen. | ||
+ | *Der Betragsfrequenzgang $\vert H_{\rm MF}(f)\vert$ ist hier $\rm si$–förmig. | ||
+ | *Die Höhe der Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von $K_{\rm MF}$ ist.}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Wir verweisen nochmals auf das HTML5/JavaScript–Applet [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|"Zur Verdeutlichung des Matched-Filters"]]. | ||
+ | ==Verallgemeinertes Matched-Filter für den Fall farbiger Störungen== | ||
+ | <br> | ||
+ | Bei den Herleitungen dieses Abschnittes wurde bisher stets von Weißem Rauschen ausgegangen. Nun soll die folgende Frage geklärt werden: <br> Wie ist das Empfangsfilter $H(f) = H_{\rm MF}(f)$ '''bei farbiger Störung''' $n(t)$ zu gestalten, damit das Signal zu Rauschleistungsverhältnis maximal wird? | ||
+ | |||
+ | {{BlaueBox|TEXT= | ||
+ | $\text{Zur Erläuterung einiger Begrifflichkeiten:}$ Der Begriff „Störung” ist etwas allgemeiner als „Rauschen”. | ||
+ | *Vielmehr ist Rauschen eine Teilmenge aller Störungen, zu denen zum Beispiel auch das Nebensprechen von benachbarten Leitungen zählt. | ||
+ | *Wir sprechen nur dann von (weißem) Rauschen $n(t)$, wenn das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$ für alle Frequenzen gleich ist. | ||
+ | *Ist dies nicht erfüllt, so bezeichnen wir $n(t)$ als farbige Störung.}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Datei:P_ID644__Sto_T_5_4_S4ab_neu.png |right|frame| Zum Matched-Filter bei farbiger Störung]] | ||
+ | Die obere Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Herleitung des Matched–Filters $H_{\rm MF}(f)$ bei farbiger Störung $n(t)$, gekennzeichnet durch das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f) ≠\text{ const}$. Alle weiteren bisher für diesen Abschnitt genannten Voraussetzungen gelten weiterhin. | ||
+ | |||
+ | Zum modifizierten Modell gemäß der unteren Grafik ist anzumerken: | ||
+ | *Das farbige Störsignal $n(t)$ mit Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$ kann man gedanklich durch eine „weiße” Rauschquelle $n_{\rm WR}(t)$ mit konstanter (zweiseitiger) Rauschleistungsdichte $N_0/2$ und ein Formfilter mit dem Frequenzgang $H_{\rm N}(f)$ modellieren: | ||
+ | :$${\it{\Phi} }_n \left( f \right) = { {N_{\rm 0} } }/{\rm 2} \cdot \left| {H_{\rm N} \left( f \right)} \right|^{\rm 2} .$$ | ||
+ | |||
+ | *Da Realisierungsaspekte hier nicht betrachtet werden, wird $H_{\rm N}(f)$ (stark vereinfachend) als reell angenommen. Der Phasengang von $H_{\rm N}(f)$ spielt für das Folgende keine Rolle. | ||
+ | *In dieser Darstellung ist das Formfilter $H_{\rm N}(f)$ auf die rechte Seite der Störaddition verschoben. Um ein bezüglich des Nutzsignals $d_{\rm S}(t)$ äquivalentes Modell zu erhalten, wird das Formfilter im Nutzsignalzweig durch das inverse Filter $H_{\rm N}(f)^{–1}$ kompensiert. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Anhand dieses modifizierten Modells wird nun das Matched–Filter für den Fall farbiger Störungen hergeleitet. Besitzt $H_{\rm N}(f)$ keine Nullstelle, was für das Folgende vorausgesetzt werden soll, so ist diese Anordnungen mit dem obigen Blockschaltbild identisch. | ||
+ | |||
+ | An der Störadditionsstelle liegt nun weißes Rauschen $n_{\rm WR}(t)$ an. Die Herleitung der [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter#Matched-Filter-Optimierung|Matched–Filter–Optimierung bei weißem Rauschen]] lässt sich in einfacher Weise auf das aktuelle Problem anpassen, wenn man Folgendes berücksichtigt: | ||
+ | *Anstelle des tatsächlichen Nutzsignals $g(t)$ ist das Signal $g_{\rm WR}(t)$ vor der Störaddition zu berücksichtigen. | ||
+ | *Die dazugehörige Spektralfunktion lautet: $G_{\rm WR}(f) = G(f)/H_{\rm N}(f)$. | ||
+ | *Anstelle von $H_{\rm MF}(f)$ ist nun der resultierende Frequenzgang ${H_{\rm MF} }' (f) = H_{\rm N}(f) · H_{\rm MF}$ rechts von der Störadditionsstelle einzusetzen. | ||
− | + | {{BlaueBox|TEXT= | |
+ | $\text{Fazit:}$ | ||
+ | '''(1)''' | ||
+ | Für das '''Matched-Filter bei farbigen Störungen''' ergibt sich: | ||
+ | :$${H_{\rm MF} }\hspace{0.01cm}' (f) = H_{\rm N} (f) \cdot H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G_{\rm WR} ^ {\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot \frac{ {G^{\star} (f)} }{ {\left\vert {H_{\rm N} (f)} \right\vert^2 } } \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$ | ||
+ | '''(2)''' Das '''Signal-zu-Störleistungsverhältnis''' vor dem Entscheider ist somit maximal: | ||
+ | :$$\rho _{d,\ \max } ( {T_{\rm D} } ) = \frac{1}{ {N_0 /2} }\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left\vert{G_{\rm WR} (f)} \right\vert^2 }\, {\rm{d} }f = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{\left \vert G(f) \right\vert^2 }{ {\it{\Phi _n {\rm (f)} } } } \,{\rm{d} }f.$$ | ||
+ | '''(3)''' Der Fall „Weißes Rauschen” ist in dieser allgemeineren Gleichung für ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ mitenthalten. | ||
+ | '''(4)''' Alle hier angegebenen Gleichungen führen bei farbiger Störung allerdings nur dann zu sinnvollen, auch für die Praxis verwertbaren Ergebnissen, wenn das Energiespektrum $\vert G(f)\vert ^2$ des Nutzsignals asymptotisch schneller abklingt als das Störleistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$.}} | ||
+ | ==Aufgaben zum Kapitel== | ||
+ | <br> | ||
+ | [[Aufgaben:5.7 Rechteck-Matched-Filter|Aufgabe 5.7: Rechteck-Matched-Filter]] | ||
+ | [[Aufgaben:5.7Z Matched-Filter - alles gaußisch|Aufgabe 5.7Z: Matched-Filter - alles gaußisch]] | ||
+ | [[Aufgaben:5.8 Matched-Filter für farbige Störung|Aufgabe 5.8: Matched-Filter für farbige Störung]] | ||
+ | [[Aufgaben:5.8Z Matched-Filter bei Rechteck-LDS|Aufgabe 5.8Z: Matched-Filter bei Rechteck-LDS]] | ||
{{Display}} | {{Display}} |
Aktuelle Version vom 1. Februar 2022, 14:30 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Optimierungskriterium des Matched–Filters
$\text{Definition:}$ Das Matched-Filter – auch "Korrelationsfilter"' genannt – dient zum Nachweis der Signalexistenz.
Der Matched-Filter-Empfänger kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt: mit maximalem SNR – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen $n(t)$ gestörtes impulsförmiges Nutzsignal $g(t)$ vorhanden ist oder nicht.
Zur Herleitung des Matched-Filter-Empfängers wird die skizzierte Anordnung betrachtet.
Für die einzelnen Komponenten gelten folgende Voraussetzungen:
- Der Nutzanteil $g(t)$ des Empfangssignals $r(t)=g(t)+n(t)$ sei impulsförmig und somit "energiebegrenzt".
- Das heißt: Das Integral über $\big [g(t)\big ]^2$ von $–∞$ bis $+∞$ liefert den endlichen Wert $E_g$.
- Das Störsignal $n(t)$ sei "Weißes Gaußsches Rauschen" mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$.
- Das Filterausgangssignal $d(t)$ setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Der Anteil $d_{\rm S}(t)$ geht auf das "$\rm S$"ignal $g(t)$ zurück, der Anteil $d_{\rm N}(t)$ auf das "$\rm N$"oise $n(t)$.
- Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter ⇒ Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma _d ^2 } }\mathop = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$
- Hierbei bezeichnen $σ_d^2$ die Varianz ("Leistung") von $d_{\rm N}(t)$ und $T_{\rm D}$ den (geeignet gewählten) "Detektionszeitpunkt".
Matched-Filter-Optimierung
Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal $g(t)$ mit dem zugehörigen Spektrum $G(f)$.
- Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ für jedes beliebige Filter mit der Impulsantwort $h(t)$ und dem Frequenzgang $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ wie folgt geschrieben werden $($ohne Berücksichtigung des Rauschens ⇒ Index $\rm S$ für „Signal”$)$:
- $$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$
- Der „Rauschanteil” $d_{\rm N}(t)$ des Filterausgangssignals $($Index $\rm N$ für „Noise”$)$ rührt allein vom Weißen Rauschen $n(t)$ am Eingang des Empfängers her. Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$:
- $$\sigma _d ^2 = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$
- Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$
$\text{Hier zunächst ohne Beweis:}$ Man kann zeigen, dass dieser Quotient für den folgenden Frequenzgang $H(f)$ am größten wird:
- $$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } . $$
- Damit erhält man für das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Matched–Filter–Ausgang $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante $K_{\rm MF})$:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } }.$$
- $E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem Satz von Parseval sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann:
- $$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$
$\text{Beispiel 1:}$ Ein rechteckförmiger Impuls $g(t)$ mit Amplitude $\rm 1\hspace{0.05cm}V$, Dauer $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$ und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden.
- Somit ist die Impulsenergie $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$.
- Die Rauschleistungsdichte sei $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$.
Das beste Ergebnis ⇒ das maximale S/N–Verhältnis erzielt man mit dem Matched-Filter:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } = \frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}.$$
Dieses Matched–Filter–Kriterium wird nun schrittweise hergeleitet. Wenn Sie daran nicht interessiert sind, dann springen Sie zur Seite "Interpretation des Matched–Filters".
$\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$
$(1)$ Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen $A(f)$ und $B(f)$:
- $$\left \vert {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert ^2 \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$
$(2)$ Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal–zu–Rauschverhältnis an:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {H(f)} \right \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$
$(3)$ Mit $A(f) = G(f)$ und $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }$ ergibt sich somit die folgende Schranke:
- $$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$
$(4)$ Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein:
- $$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }.$$
$(5)$ Dann erhält man aus der obigen Gleichung $(2)$ folgendes Ergebnis:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$
$\text{Das heißt:}$
- Mit dem Ansatz $(4)$ für das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht.
- Mit keinem anderen Filter $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$ kann man ein höheres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis erzielen.
- Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal.
Wir verweisen auf das HTML5/JavaScript–Applet "Zur Verdeutlichung des Matched-Filters".
Interpretation des Matched-Filters
Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet:
- $$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$
Durch Fourierrücktransformation erhält man die dazugehörige Impulsantwort:
- $$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$$
Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren:
- Das "Matched-Filter" ist durch den Term $G^{\star}(f)$ an das Spektrum des aufzufindenden Impulses $g(t)$ angepasst – daher sein Name (englisch: "to match" ≡ anpassen).
- Die "Konstante" $K_{\rm MF}$ ist aus Dimensionsgründen notwendig.
- Ist $g(t)$ ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”. Der Frequenzgang ist somit dimensionslos.
- Die "Impulsantwort" $h_{\rm MF}(t)$ ergibt sich aus dem Nutzsignal $g(t)$ durch Spiegelung ⇒ aus $g(t)$ wird $g(–t)$ $ ]$ sowie einer Verschiebung um $T_{\rm D}$ nach rechts.
- Der "früheste Detektionszeitpunkt" $T_{\rm D}$ folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$ $($„Kausalität”, siehe Buch Lineare zeitinvariante Systeme$)$.
- Der "Nutzanteil" $d_{\rm S} (t)$ des Filterausgangssignals ist formgleich mit der Energie-AKF $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$ und gegenüber dieser um $T_{\rm D}$ verschoben. Es gilt:
- $$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(t) * g(T_{\rm D} - t) = K_{\rm MF} \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$
$\text{Bitte beachten Sie:}$ Bei einem energiebegrenzten Signal $g(t)$ kann man nur die Energie–AKF angeben:
- $$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$
Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals $x(t)$, nämlich
- $$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$
wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ sowie auf den Grenzübergang $T_{\rm M} → ∞$ verzichtet.
$\text{Beispiel 2:}$ Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen $\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ und $\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$ liegt und der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ gewünscht wird.
Unter diesen Voraussetzungen gilt:
- Die Matched–Filter–Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ muss im Bereich von $t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$ bis $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ konstant sein.
- Für $t < t_1$ sowie für $t > t_2$ darf sie keine Anteile besitzen.
- Der Betragsfrequenzgang $\vert H_{\rm MF}(f)\vert$ ist hier $\rm si$–förmig.
- Die Höhe der Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von $K_{\rm MF}$ ist.
Wir verweisen nochmals auf das HTML5/JavaScript–Applet "Zur Verdeutlichung des Matched-Filters".
Verallgemeinertes Matched-Filter für den Fall farbiger Störungen
Bei den Herleitungen dieses Abschnittes wurde bisher stets von Weißem Rauschen ausgegangen. Nun soll die folgende Frage geklärt werden:
Wie ist das Empfangsfilter $H(f) = H_{\rm MF}(f)$ bei farbiger Störung $n(t)$ zu gestalten, damit das Signal zu Rauschleistungsverhältnis maximal wird?
$\text{Zur Erläuterung einiger Begrifflichkeiten:}$ Der Begriff „Störung” ist etwas allgemeiner als „Rauschen”.
- Vielmehr ist Rauschen eine Teilmenge aller Störungen, zu denen zum Beispiel auch das Nebensprechen von benachbarten Leitungen zählt.
- Wir sprechen nur dann von (weißem) Rauschen $n(t)$, wenn das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$ für alle Frequenzen gleich ist.
- Ist dies nicht erfüllt, so bezeichnen wir $n(t)$ als farbige Störung.
Die obere Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Herleitung des Matched–Filters $H_{\rm MF}(f)$ bei farbiger Störung $n(t)$, gekennzeichnet durch das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f) ≠\text{ const}$. Alle weiteren bisher für diesen Abschnitt genannten Voraussetzungen gelten weiterhin.
Zum modifizierten Modell gemäß der unteren Grafik ist anzumerken:
- Das farbige Störsignal $n(t)$ mit Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$ kann man gedanklich durch eine „weiße” Rauschquelle $n_{\rm WR}(t)$ mit konstanter (zweiseitiger) Rauschleistungsdichte $N_0/2$ und ein Formfilter mit dem Frequenzgang $H_{\rm N}(f)$ modellieren:
- $${\it{\Phi} }_n \left( f \right) = { {N_{\rm 0} } }/{\rm 2} \cdot \left| {H_{\rm N} \left( f \right)} \right|^{\rm 2} .$$
- Da Realisierungsaspekte hier nicht betrachtet werden, wird $H_{\rm N}(f)$ (stark vereinfachend) als reell angenommen. Der Phasengang von $H_{\rm N}(f)$ spielt für das Folgende keine Rolle.
- In dieser Darstellung ist das Formfilter $H_{\rm N}(f)$ auf die rechte Seite der Störaddition verschoben. Um ein bezüglich des Nutzsignals $d_{\rm S}(t)$ äquivalentes Modell zu erhalten, wird das Formfilter im Nutzsignalzweig durch das inverse Filter $H_{\rm N}(f)^{–1}$ kompensiert.
Anhand dieses modifizierten Modells wird nun das Matched–Filter für den Fall farbiger Störungen hergeleitet. Besitzt $H_{\rm N}(f)$ keine Nullstelle, was für das Folgende vorausgesetzt werden soll, so ist diese Anordnungen mit dem obigen Blockschaltbild identisch.
An der Störadditionsstelle liegt nun weißes Rauschen $n_{\rm WR}(t)$ an. Die Herleitung der Matched–Filter–Optimierung bei weißem Rauschen lässt sich in einfacher Weise auf das aktuelle Problem anpassen, wenn man Folgendes berücksichtigt:
- Anstelle des tatsächlichen Nutzsignals $g(t)$ ist das Signal $g_{\rm WR}(t)$ vor der Störaddition zu berücksichtigen.
- Die dazugehörige Spektralfunktion lautet: $G_{\rm WR}(f) = G(f)/H_{\rm N}(f)$.
- Anstelle von $H_{\rm MF}(f)$ ist nun der resultierende Frequenzgang ${H_{\rm MF} }' (f) = H_{\rm N}(f) · H_{\rm MF}$ rechts von der Störadditionsstelle einzusetzen.
$\text{Fazit:}$
(1) Für das Matched-Filter bei farbigen Störungen ergibt sich:
- $${H_{\rm MF} }\hspace{0.01cm}' (f) = H_{\rm N} (f) \cdot H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G_{\rm WR} ^ {\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot \frac{ {G^{\star} (f)} }{ {\left\vert {H_{\rm N} (f)} \right\vert^2 } } \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$
(2) Das Signal-zu-Störleistungsverhältnis vor dem Entscheider ist somit maximal:
- $$\rho _{d,\ \max } ( {T_{\rm D} } ) = \frac{1}{ {N_0 /2} }\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left\vert{G_{\rm WR} (f)} \right\vert^2 }\, {\rm{d} }f = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{\left \vert G(f) \right\vert^2 }{ {\it{\Phi _n {\rm (f)} } } } \,{\rm{d} }f.$$
(3) Der Fall „Weißes Rauschen” ist in dieser allgemeineren Gleichung für ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ mitenthalten.
(4) Alle hier angegebenen Gleichungen führen bei farbiger Störung allerdings nur dann zu sinnvollen, auch für die Praxis verwertbaren Ergebnissen, wenn das Energiespektrum $\vert G(f)\vert ^2$ des Nutzsignals asymptotisch schneller abklingt als das Störleistungsdichtespektrum ${\it Φ}_n(f)$.
Aufgaben zum Kapitel
Aufgabe 5.7: Rechteck-Matched-Filter
Aufgabe 5.7Z: Matched-Filter - alles gaußisch
Aufgabe 5.8: Matched-Filter für farbige Störung
Aufgabe 5.8Z: Matched-Filter bei Rechteck-LDS