Aufgabe 5.7: Rechteck-Matched-Filter

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Nutzimpuls  $g(t)$  und
MF–Impulsantwort  $h(t)$

Am Eingang eines Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort  $h(t)$  liegt das Empfangssignal  $r(t)$  an,  das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal  $g(t)$  und einem Rauschsignal  $n(t)$  zusammensetzt.  Es gelte:

• Der Nutzimpuls  $g(t)$  ist rechteckförmig.
• Die Impulsdauer beträgt  $\Delta t_g = 2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
• Die Impulsamplitude ist  $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$.
• Die Mitte des Impulses liegt bei  $T_g = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
• Das Rauschen  $n(t)$  ist weiß und gaußverteilt.
• Die Rauschleistungsdichte beträgt  $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.08cm}\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$  bezogen auf den Widerstand  $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega$.

Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei  $t = 0$.

• Die Impulsantwortdauer  $\Delta t_h$  ist frei wählbar.
• Die Höhe  $1/\Delta t_h$  der Impulsantwort ist jeweils so angepasst,  dass  $H(f = 0) = 1$  gilt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Matched-Filter.
• Für die Teilfragen  (1)  bis  (6)  gelte stets  $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.

Fragebogen

1

Welche der Aussagen sind unter der Annahme  $\Delta t_h =\Delta t_g$  zutreffend?

	Das Filter ist an den Eingangsimpuls  $g(t)$  angepasst.
	Es gibt ein anderes Filter mit größerem S/N-Verhältnis.
	Das Filter lässt sich als Integrator über die Zeit  $\Delta t_h$  realisieren.

2

Was ist der optimale Detektionszeitpunkt?

$T_\text{D, opt} \ = \ $ $\ \rm µ s$

3

Welchen Wert besitzt hier die Matched–Filter–Konstante?

$K_\text{MF} \ = \ $ $\cdot 10^6 \ \rm 1/Vs$

4

Welches S/N–Verhältnis ergibt sich zum optimalen Detektionszeitpunkt?

$\rho_d(T_\text{D, opt}) \ = \ $

5

Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt  $T_\text{D, opt}$  und die Störleistung  $\sigma_d^2$  vor dem Detektor?

$d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) \ = \ $ $\ \rm V$

$\sigma_d^2 \ = \ $ $\ \rm V^2$

6

Welches S/N–Verhältnis ergibt sich zum Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$?

$\rho_d(T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s) \ = \ $

7

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn  $\Delta t_h =1 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  gilt?    Hinweis:   Im Bereich von  $0$  bis  $1 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  hat die Impulsantwort somit den Wert  $10^6 \ \rm 1/s$.

	Jedes  $T_{\rm D}$  im Bereich  $3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ ... $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  führt zum maximalen SNR.
	Der Nutzwert  $d_S(T_\text{D, opt})$  ist kleiner als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
	Die Störleistung  $\sigma_d^2$  ist größer als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
	Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe  (4)  berechnet.

8

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn  $\Delta t_h =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  gilt?    Hinweis:   Im Bereich von  $0$  bis  $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  hat die Impulsantwort den Wert  $0.33 \cdot 10^6 \ \rm 1/s$.

	Jedes $T_{\rm D}$  im Bereich  $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ ... $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  führt zum maximalen SNR.
	Der Nutzwert  $d_S(T_\text{D, opt})$  ist kleiner als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
	Die Störleistung  $\sigma_d^2$  ist größer als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
	Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe  (3)  berechnet.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind  die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Bei gleicher Impulsdauer  $(\Delta t_h =\Delta t_g)$  liegt ein Matched-Filter vor,  auch wenn sich  $g(t)$  und  $h(t)$  hinsichtlich Amplitude und zeitlicher Lage unterscheiden.
• Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis.
• Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer  $\Delta t_h$  interpretieren.

(2)  Die Impulsantwort des Matched–Filters lautet:   $h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$

• Der Eingangsimpuls  $g(t)$  ist im Bereich von  $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  bis  $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$   ungleich Null,  bei Spiegelung im Bereich von  $-4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  bis  $-2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
• Durch eine Verschiebung um  $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$   wird erreicht,  dass  $g(T_{\rm D} - t)$  wie die Impulsantwort  $h(t)$  zwischen  $0$  und  $2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  liegt.  Daraus folgt:   $T_\text{D, opt}\hspace{0.15cm}\underline{ =4 \hspace{0.08cm}\rm µ s}$.

(3)  Mit   $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm µ s$   und   $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$   erhält man   $K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.08cm}\rm (1/Vs)}$.

(4)  Die Energie des Nutzimpulses  $g(t)$  ist  $E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$. 

• Daraus folgt für das maximale S/N–Verhältnis:

$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$

MF–Ausgangsimpuls zur Teilaufgabe  (5)

(5)  Der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  ist dreieckförmig zwischen  $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  und  $6 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.

• Das Maximum  $g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.08cm}\rm V}$  liegt bei  $T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
• Die Störleistung ergibt sich zu:

$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$

• Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen:

$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$

(6)  Aus obiger Skizze erkennt man,  dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist,  nämlich  $1 \hspace{0.08cm}\rm V$.

• Damit ist für   $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$   das S/N–Verhältnis um den Faktor  $4$  kleiner,  also  $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=1}$.

MF–Ausgangsimpuls zur Teilaufgabe  (7)

(7)  Richtig sind  die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

• Die Skizze zeigt,  dass nun der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  trapezförmig verläuft.
• Im Bereich von   $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$   bis   $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$   ist der Nutzabtastwert konstant gleich   $g_0= 2 \hspace{0.08cm}\rm V$
• Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort  $h(t)$  ist der Frequenzgang  $H(f)$  um den Faktor  $2$  breitbandiger.  Dadurch ist die Störleistung größer:

$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$

• Damit ergibt sich für das S/N–Verhältnis nun der Wert   $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$

MF–Ausgangsimpuls zur Teilaufgabe  (8)

(8)  Richtig sind hier  die Lösungsvorschläge 2 und 4:

• Rechts ist der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  für  $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ skizziert.  Auch dieser ist trapezförmig.
• Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen  $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  und  $5 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
• Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß als bei Anpassung:   $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.08cm}\rm V$.
• Für die Störleistung gilt nun:

$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$

• Die Störleistung ist somit zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe  (5).
• Trotzdem ist das S/N–Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in Teilaufgabe  (7):

$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$