Applets:Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts

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Programmbeschreibung

Das Applet behandelt die Systemkomponenten  „Abtastung”  und  „Signalrekonstruktion”, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der  Pulscodemodulation  $({\rm PCM})$  von großer Wichtigkeit sind.  Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.  Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte  $x(\nu \cdot T_{\rm A})$  des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$.

• Beim Sender wird aus dem zeitkontinuierlichen Quellensignal  $x(t)$  das zeitdiskrete (abgetastete) Signal  $x_{\rm A}(t)$  gewonnen.  Man nennt diesen Vorgang  Abtastung  oder  A/D–Wandlung.
• Der entsprechende Programmparameter für den Sender ist die Abtastrate  $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$. In der unteren Grafik ist der Abtastabstand  $T_{\rm A}$  eingezeichnet.
• Beim Empfänger wird aus dem zeitdiskreten Empfangssignal  $y_{\rm A}(t)$  das zeitkontinuierliche Sinkensignal  $y(t)$  erzeugt   ⇒   Signalrekonstruktion  oder  D/A–Wandlung  entsprechend dem Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$.

Das Applet berücksichtigt nicht die PCM–Blöcke  „Quantisierung”,  „Codierung / Decodierung” und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen. 

Theoretischer Hintergrund

Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffekts

$\text{Definition:}$  Als  $\rm Dopplereffekt$  bezeichnet man die Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen jeder Art, die sich dann ergibt, wenn sich Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) relativ zueinander bewegen.  Dieser wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen  Christian Andreas Doppler  theoretisch vorhergesagt und nach ihm benannt.

Qualitativ lässt sich der Dopplerreffekt wie folgt beschreiben:

• Nähern sich Beobachter und Quelle einander an, so erhöht sich aus Sicht des Beobachters die Frequenz, egal, ob sich der Beobachter bewegt oder die Quelle oder beide.
  

• Entfernt sich die Quelle vom Beobachter oder der Beobachter von der Quelle, so nimmt der Beobachter eine niedrigere Frequenz wahr, als tatsächlich gesendet wurde.
  
  

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten die Tonhöhenänderung des  „Martinhorns”  eines Rettungswagens.  Solange sich das Fahrzeug annähert, hört der Beobachter einen höheren Ton als bei stehendem Wagen.  Entfernt sich der Rettungswagen, so wird ein tieferer Ton wahrgenommen.

Den gleichen Effekt stellt man auch bei einem  Autorennen  fest.  Die Frequenzänderungen und der „Sound” sind dabei um so deutlicher, je schneller die Autos fahren.

Ausgangslage:  $\rm (S)$  und  $\rm (E)$  bewegen sich nicht

$\text{Beispiel 2:}$  Einige Eigenschaften dieses noch aus dem Physikunterricht bekannten Effekts sollen nun anhand von Bildschirmabzügen einer früheren Version des vorliegenden Applets dargestellt werden, wobei natürlich die dynamischen Programmeigenschaften verloren gehen.

Die erste Grafik zeigt die Ausgangssituation:

• Der ruhende Sender  $\rm (S)$  gibt die konstante Frequenz  $f_{\rm S}$  ab.
• Die Wellenausbreitung ist in der Grafik durch konzentrische Kreise um  $\rm (S)$  veranschaulicht.
• Beim ebenfalls ruhenden Empfänger  $\rm (E)$  kommt dann natürlich die Frequenz  $f_{\rm E} = f_{\rm S}$  an.

$\text{Beispiel 3:}$  Bei diesem Schnappschuss hat sich der Sender  $\rm (S)$  mit konstanter Geschwindigkeit  $v$  von seinem Startpunkt  $\rm (S_0)$  auf den Empfänger  $\rm (E)$  zu bewegt.

Dopplereffekt: $\rm (S)$ bewegt sich auf ruhenden $\rm (E)$ zu

• Das rechte Diagramm zeigt, dass die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz  $f_{\rm E}$  (blaue Schwingung) um etwa  $20\%$  größer ist als die Frequenz  $f_{\rm S}$  am Sender (rote Schwingung).
• Aufgrund der Bewegung des Senders sind nun die Kreise nicht mehr konzentrisch.

Dopplereffekt: $\rm (S)$ entfernt sich vom ruhenden $\rm (E)$

• Das linke Szenerio ergibt sich, wenn sich der Sender  $\rm (S)$  vom Empfänger  $\rm (E)$  entfernt:  
• Dann ist die Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}$  (blaue Schwingung) um etwa  $20\%$  kleiner als die Sendefrequenz  $f_{\rm S}$.
  

Dopplerfrequenz als Funktion von Geschwindigkeit und Winkel der Verbindungslinie

Wir vereinbaren:  Gesendet wird die Frequenz  $f_{\rm S}$  und empfangen die Frequenz  $f_{\rm E}$.  Als Dopplerfrequenz bezeichnet man die Differenz  $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}$  aufgrund der Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter).

• Eine positive Dopplerfrequenz  $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$  ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger  (relativ)  aufeinander zu bewegen. 
• Eine negative Dopplerfrequenz  $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$  bedeutet, dass sich Sender und Empfänger  (direkt oder unter einem Winkel)  voneinander entfernen.
  

Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}$  unter Einbeziehung eines Winkels  $\alpha$  zwischen Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender–Empfänger lautet:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\text{ Exakte Gleichung}}.$$

Hierbei bezeichnet  $v$  die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger, während  $c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  die Lichtgeschwindigkeit angibt. 

• Die Grafiken im  $\text{Beispiel 3}$  gelten für die unrealistisch große Geschwindigkeit  $v = c/5 = 60000\, {\rm km/s}$, die zu den Dopplerfrequenzen  $f_{\rm D} = \pm 0.2\cdot f_{\rm S}$  führen.

• Beim Mobilfunk sind die Abweichungen zwischen  $f_{\rm S}$  und  $f_{\rm E}$  dagegen meist nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.  Bei solchen realistischen Geschwindigkeiten  $(v \ll c)$  kann man von der folgenden Näherung ausgehen, bei der die durch die  Relativitätstheorie  beschriebenen Effekte unberücksichtigt bleiben:

$$f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \big [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\text{ Näherung}}\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen hier von einem festen Sender aus.  Der Empfänger nähert sich dem Sender unter dem Winkel  $\alpha = 0$. 

Untersucht werden sollen verschiedene Geschwindigkeiten:

• eine unrealistisch große Geschwindigkeit  $v_1 = 0.6 \cdot c = 1.8 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6$,
• die Maximalgeschwindigkeit  $v_2 = 3 \ {\rm km/s} \ \ (10800 \ {\rm km/h})$  bei unbemanntem Testflug  $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}$,
• etwa die Höchstgeschwindigkeit  $v_3 = 30 \ {\rm m/s} = 108 \ \rm km/h$  auf Bundesstraßen  $\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}$.

(1)  Nach der exakten, relativistischen ersten Gleichung gilt:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot \left [ \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } - 1 \right ]\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 - v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - 0.6^2} }{1 - 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{0.4 } - 1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 1} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 2 \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{\rm -5}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2} }{1 - (10^{-5}) } - 1 \approx 1 + 10^{-5} - 1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 10^{-5} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.00001 \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{\rm -7}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-7})^2} }{1 - (10^{-7}) } - 1 \approx 1 + 10^{-7} - 1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 10^{-7} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 1.0000001 \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Dagegen gilt nach der Näherung, also ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \big [ 1 + {v}/{c} \big ] \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.7cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ 0.6} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.6,$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.00001,$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_3/c = 10^{-7}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 1.0000001.$$

$\text{Fazit:}$ 

1.   Für „kleine” Geschwindigkeiten liefert die Näherung bis hin zur Genauigkeit eines Taschenrechners das gleiche Ergebnis wie die relativistische Gleichung.
2.   Die Zahlenwerte zeigen, dass wir auch die Geschwindigkeit  $v_2 = \ 10800 \ {\rm km/h}$  in dieser Hinsicht noch als „klein” bewerten können.

$\text{Beispiel 5:}$  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im letzten Beispiel mit dem Unterschied:  Nun entfernt sich der Empfänger vom Sender  $(\alpha = 180^\circ)$.

(1)  Nach der exakten, relativistischen ersten Gleichung gilt mit  ${\rm cos}(\alpha) = -1$:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot \left [ \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \right ]\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2} }{1 + v/c } - 1 \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - 0.6^2} }{1 + 0.6 } - 1 = \frac{0.8}{1.6 } - 1 =-0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{\rm -5}\text{:}\hspace{0.5cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = \frac{\sqrt{1 - (10^{-5})^2} }{1 + (10^{-5}) } - 1 \approx - 10^{-5} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} {f_{\rm E} }/{f_{\rm S} } = 0.99999 \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Dagegen gilt nach der Näherung, also ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie:

$$f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \big [ 1 - {v}/{c} \big ] \Rightarrow \hspace{0.3cm}{f_{\rm D} }/{f_{\rm S} } = - {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_1/c = 0.6\text{:}\hspace{0.7cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ \underline {= \ 0.6} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 0.4,$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}v_2/c = 10^{-5}\text{:}\hspace{0.4cm} f_{\rm D}/f_{\rm S} \ = \ - 10^{-5} \ \ \ ⇒ \ \ \ f_{\rm E}/f_{\rm S} = 0.99999.$$

$\text{Fazit:}$ 

1.   Die Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}$  ist nun kleiner als die Sendefrequenz  $f_{\rm S}$  und die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  ist negativ. 
2.   Bei der Näherung unterscheiden sich die Dopplerfrequenzen für die beiden Bewegungsrichtungen nur im Vorzeichen   ⇒   $f_{\rm E} = f_{\rm S} \pm f_{\rm D}$.
3.   Bei der exakten, relativistischen Gleichung ist diese Symmetrie nicht gegeben.

Dummy

Richtungen  $\rm (A)$,  $\rm (B)$, $\rm (C)$, $\rm (D)$

$\text{Beispiel 6:}$  Wie in den vorherigen Beispielen sei der Sender fest.  Die Grafik zeigt mögliche Bewegungsrichtungen des Empfängers.  Die Richtung  $\rm (A)$  wurde im  $\text{Beispiel 4}$  betrachtet und die Richtung  $\rm (B)$  im  $\text{Beispiel 5}$. 

(4)  Gleichung (2)  führt hier zum Ergebnis:

$$f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm S} \cdot {v_3}/{c} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Fahrtrichtung  $\rm (C)$  verläuft senkrecht  $(\alpha = 90^\circ)$  zur Verbindungslinie Sender–Empfänger.  In diesem Fall tritt keine Dopplerverschiebung auf:

$$f_{\rm D} \ \underline {= \ 0}.$$

• Die Bewegungsrichtung  $\rm (D)$  ist durch  $\alpha = \ -135^\circ$ charakterisiert.  Daraus resultiert:

$$f_{\rm D} = 2 \cdot 10^{9}\,\,{\rm Hz} \cdot \frac{30\,\,{\rm m/s <div style="clear:both;"> </div> </div>{3 \cdot 10^{8}\,\,{\rm m/s}} \cdot \cos(-135^{\circ}) \hspace{0.15cm} \underline{ \approx -141\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.05cm}.$$

Dopplerfrequenz und deren Verteilung

deutlich kürzen und vereinfachen

Wir fassen die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen, wobei wir von der zweiten, also der nicht–relativistischen Gleichung ausgehen:

• Bei einer Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter) kommt es zu einer Verschiebung um die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S}$.

• Eine positive Dopplerfrequenz  $(f_{\rm E} > f_{\rm S})$  ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger  (relativ)  aufeinander zu bewegen.  Eine negative Dopplerfrequenz  $(f_{\rm E} < f_{\rm S})$  bedeutet, dass sich Sender und Empfänger  (direkt oder unter einem Winkel)  voneinander entfernen.
  

• Die maximale Frequenzverschiebung tritt auf, wenn sich Sender und Empfänger direkt aufeinander zu bewegen   ⇒   Winkel  $\alpha = 0^\circ$.  Dieser Maximalwert hängt in erster Näherung von der Sendefrequenz  $f_{\rm S}$  und der Geschwindigkeit  $v$  ab   $(c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s}$  gibt die Lichtgeschwindigkeit an$)$:

$$f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot {v}/{c} \hspace{0.05cm}.$$

• Erfolgt die Relativbewegung unter einem beliebigen Winkel  $\alpha$  zur Verbindungslinie Sender–Empfänger, so entsteht eine Dopplerverschiebung um

$$f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} - \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \le f_{\rm D} \le + \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$  Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Bewegungsrichtungen  $($Gleichverteilung für den Winkel  $\alpha$  im Bereich  $- \pi \le \alpha \le +\pi)$  ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $($hier mit „wdf” bezeichnet$)$  der Dopplerfrequenz im Bereich  $- f_\text{D, max} \le f_{\rm D} \le + f_\text{D, max}$:

$${\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt {1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$

Außerhalb des Bereichs zwischen  $-f_{\rm D}$  und  $+f_{\rm D}$  hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stets den Wert Null.

$\text{Herleitung:}$  Die entstehende Dopplerfrequenz in Abhängigkeit des Bewegungswinkels  $\alpha$  lautet:

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Dopplerfrequenz

$$f_{\rm D} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha) = g(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Wir bezeichnen diese Funktion mit  $g(\alpha)$  und gehen davon aus, dass

• $\alpha$  alle Winkelwerte zwischen  $\pm \pi$  annimmt, 
• und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit   ⇒   Gleichverteilung. 

Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der Dopplerfrequenz entsprechend dem Kapitel  Transformation von Zufallsgrößen  im Buch „Stochastische Signaltheorie”:

$${\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{ {\rm wdf}(\alpha)}{\vert g\hspace{0.08cm}'(\alpha)\vert}\Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=h(f_{\rm D})} \hspace{0.05cm}$$

Verwendet sind hier

• die Ableitung  $g\hspace{0.08cm}'(\alpha)= - f_\text{D, max} \cdot \sin(\alpha)$, und
• die Umkehrfunktion  $\alpha = h(f_{\rm D})$.

Im Beispiel lautet die Umkehrfunktion:

$$\alpha = \arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}).$$

Die Grafik veranschaulicht den Rechengang zur Bestimmung der Dopplerfrequenz–WDF:

• Da die Kennlinie zwischen der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  und dem Winkel  $\alpha$   ⇒   $g(\alpha) = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha)$  auf den Wert  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  begrenzt ist, ist für  $f_{\rm D}$  kein Wert außerhalb dieses Bereichs möglich.
  

• Bei der Transformation von Zufallsgrößen muss zwischen Bereichen mit positiver und negativer Steigung der Transformationskennlinie unterschieden werden.  Die  $\alpha$–Werte zwischen  $-\pi$  und  $0$   $($positive Steigung der Transformationskennlinie$)$zwischen der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  und dem Winkel  $\alpha$  liefern das Ergebnis

$${\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{1/(2\pi)}{f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sin(\alpha)} \Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} \alpha=\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})} = \frac{(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} )^{-1} }{ \sin(\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}))} = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$

• Aus Symmetriegründen trägt der positive  $\alpha$–Bereich in gleicher Weise bei, so dass im inneren Bereich insgesamt gilt:

$${\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$

• Winkel im Bereich um  $\alpha = \pm \pi/2$  führen zu einer kleinen Dopplerfrequenz   ⇒   $f_{\rm D} \approx 0$   $($violette Markierung$)$.  Aufgrund der relativ großen Steigung der cosinusförmigen Kennlinie   $g(\alpha)$  bei  $\alpha = \pm \pi/2$   ist der WDF–Wert bei  $f_{\rm D} \approx 0$  allerdings sehr klein.
  

• Kleine Winkel   $($um  $\alpha \approx 0)$   führen dagegen zur maximalen Dopplerfrequenz   ⇒   $f_{\rm D} \approx f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$   $($rote Markierung$)$.  Aufgrund der nahezu horizontalen Kennlinie  $g(\alpha)$  ist hier die  $f_{\rm D}$–WDF deutlich größer.  Für  $f_{\rm D} \equiv f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  ergibt sich sogar ein unendlich großer Wert.
  

• Winkel um  $\alpha = \pm \pi$  führen dagegen zur Dopplerfrequenz  $f_{\rm D} \approx -f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$   $($grüne Markierung$)$.  Auch hier ist die Kennlinie nahezu horizontal und es ergibt sich wiederum ein großer WDF–Wert.

AKF und LDS bei Rayleigh–Fading

deutlich kürzen und vereinfachen

Die statistischen Bindungen innerhalb der reellen „Signale”  $x(t)$  und  $y(t)$  bzw. innerhalb der komplexen Größe  $z(t)$  sind auf den Dopplereffekt zurückzuführen. 

Wir setzen nun eine in alle Richtungen gleich abstrahlende Antenne voraus.  Dann ist das Doppler–LDS formgleich mit der WDF der Dopplerfrequenzen.

Für  ${\it \Phi}_x(f_{\rm D})$  muss die WDF noch mit der Leistung  $\sigma^2$  des Gaußprozesses multipliziert werden, und für das resultierende LDS  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  des komplexen Faktors  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  gilt nach Verdoppelung:

$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \left\{ \begin{array}{c} (2\sigma^2)/( \pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}) \cdot \left [ 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 \right ]^{-0.5} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} |f_{\rm D}| \le f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

Man nennt diesen Verlauf nach  William C. Jakes Jr.  das  Jakes–Spektrum.  Die Verdoppelung ist notwendig, da bisher nur der Beitrag des Realteils  $x(t)$  betrachtet wurde.

Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man nach  Fourierrücktransformation:

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},$$

mit der  Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung  (erste Gleichung:  Definition,  zweite Gleichung:  Reihenentwicklung):

$${\rm J }_0 (u) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{- {\rm j }\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}u \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.$$

Die Zahlenwerte dieser Funktion erhalten Sie mit dem  gleichnamigen Applet.

Doppler–LDS und Zeitfunktion (Betrag in dB) bei Rayleigh-Fading mit Dopplereffekt

$\text{Beispiel 4:}$  Links dargestellt ist das Jakes–Spektrum

• für  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 50 \ \rm Hz$  (blaue Kurve) bzw.
• für  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = 100 \ \rm Hz$  (rote Kurve).

Beim  GSM–D–Netz  $(f_{\rm S} = 900 \ \rm MHz)$  entsprechen diese Werte den Geschwindigkeiten  $v = 60 \ \rm km/h$  bzw.  $v = 120 \ \rm km/h$.

Beim E–Netz  $(f_{\rm S} = 1.8 \ \rm GHz)$  gelten diese Werte für halb so große Geschwindigkeiten:   $v = 30 \ \rm km/h$  bzw.  $v = 60 \ \rm km/h$.

Das rechte Bild zeigt den logarithmierten Betrag von  $z(t)$:

• Man erkennt das doppelt so schnelle Fading des roten Kurvenverlaufs.
• Die Rayleigh–WDF (Amplitudenverteilung) ist unabhängig von  $f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}$  und deshalb für beide Fälle gleich.

Versuchsdurchführung

Noch überarbeiten

• Wählen Sie zunächst die Nummer  1  ...  10  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Die Nummer  0  entspricht einem „Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

In den folgenden Aufgabenbeschreibungen und Musterlösungen sind die Frequenzen  $f_{\rm S}$,  $f_{\rm E}$  und  $f_{\rm D}$  jeweils auf die Bezugsfrequenz  $f_{\rm 0}$  normiert.

bis hierher

AS:      Für (1) gilt auch   $S_x=150,\ S_y=200,\ \varphi=0$

(1)  Zunächst betrachten wir die relativistische Einstellung „Exakt”.  Der Sender bewegt sich stets mit Geschwindigkeit  $v/c = 0.8$  und die Sendefrequenz sei  $f_{\rm S}= 1$.
        Welche Empfangsfrequenzen  $f_{\rm E}$  ergeben sich bei beiden Bewegungsrichtungen?  Wie groß ist jeweils die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$?

•  Wenn sich der Sender unter dem Winkel  $\varphi=0^\circ$  dem Empfänger annähert, ergibt sich die Empfangsfrequenz  $f_{\rm E}= 3$   ⇒   Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}= f_{\rm S} - f_{\rm E}= 2$. 
•  Entfernt sich der Sender vom Empfänger  $($z.B. für  $\varphi=0^\circ$, wenn er diesen überholt, oder für  $\varphi=180^\circ)$, dann gilt  $f_{\rm E}= 0.333$   ⇒   $f_{\rm D}= f_{\rm E} - f_{\rm S}= -0.667$. 
•  Das gleiche Ergebnis erhält man bei ruhendem Sender und sich bewegendem Empfänger:  Kommen sich beide näher, dann gilt  $f_{\rm D}= 2$,  ansonsten  $f_{\rm D}= -0.667$.

(2)  Die Einstellungen bleiben weitgehend erhalten.  Wie ändern sich sich die Ergebnisse gegenüber  (1)  mit der Sendefrequenz  $f_{\rm S}= 1.5$?
        Tipp: Schalten Sie abwechselnd zwischen den Fahrtrichtungen „Rechts” und „Links” hin und her.

•   Unter Berücksichtigung von  $H(f=0)= 0.5$  ergeben sich vergleichbare Folgen   ⇒   Sprungantwort:    $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 0.5,\ 0.5, \ 0.5, \ 0.5,\text{...}〉$.

(3)  Nun seien die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=0.9$  sowie  $a_1=a_2= b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich?  Interpretieren Sie die Impulsantwort  $〈h_ν〉$.

•   Es handelt sich um ein rekursives digitales Filter   ⇒   IIR–Filter  (Infinite impulse Response)  erster Ordnung.  Es ist das zeitdiskrete Analogon zum RC–Tiefpass.
•   Ausgehend von  $h_0= 1$  gilt  $h_1= h_0 \cdot b_0= 0.9$,  $h_2= h_1 \cdot b_0= b_0^2=0.81$,  $h_3= h_2 \cdot b_0= b_0^3=0.729$,  usw.   ⇒   $〈h_ν〉$  reicht bis ins Unendliche.
•   Impulsantwort  $h(t) = {\rm e}^{-t/T}$  mit  $T$:  Schnittpunkt $($Tangente bei  $t=0$, Abszisse$)$   ⇒   $h_\nu= h(\nu \cdot T_{\rm A}) = {\rm e}^{-\nu/(T/T_{\rm A})}$  mit  $T/T_{\rm A} = 1/(h_0-h_1)= 10$.
•   Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ??? 1.0 0.9048 0.8187 ...

(4)  Die Filtereinstellung wird beibehalten.  Interpretieren Sie die Sprungantwort  $〈h_ν〉$  und  die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$.  Welcher Wert ergibt sich für  $H(f=0)$?

•   Die Sprungantwort ist das Ingral über die Impulsantwort  $\sigma(t) = T \cdot (1-{\rm e}^{-t/T}) ]$   ⇒   $\sigma_\nu= 10 \cdot (1-{\rm e}^{-\nu/10})$   ⇒   $\sigma_0=1$,  $\sigma_1=1.9$,  $\sigma_2=2.71$, ...
•   Für große $\nu$–Werte tendiert die (zeitdiskrete) Sprungantwort gegen den Gleichsignalübertragungsfaktor  $H(f=0)= 10$:  $\sigma_{40}=9.867$,  $\sigma_{50}=9.954$,  $\sigma_\infty=10$.
•  Die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$  steigt mit einer Verzögerung von $2$ in gleicher Weise an wie  $〈\sigma_ν〉$.  Im Bereich  $\nu \ge 8$  fallen die  $\rho_ν$– Werte exponentiell ab.

(5)  Wir betrachten weiterhin das Filter mitnbsp; $a_0=1$,  $b_1=0.9$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  Welche Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$ für die Eingangsfolge  $〈x_ν〉= 〈1,\ 0.,\ -0.5〉$?
        Hinweis:  Die Aufgabe lässt sich ebenfalls mit diesem Programm lösen, obwohl die hier betrachtete Konstellation nicht direkt einstellbar ist.

•   Man behilft sich, indem man den Koeffizienten  $a_2=-0.5$  setzt und dafür die Eingangsfolge auf   $〈x_ν〉= 〈1,\ 0.,\ 0.,\ \text{ ...}〉$   ⇒   „Diracfunktion” reduziert.
•   Die tatsächliche Impulsantwort dieses Filters $($mit  $a_2=0)$  wurde in Aufgabe  (3)  ermittelt:   $h_0= 1$,   $h_1= 0.9$,   $h_2= 0.81$,   $h_3= 0.729$,   $h_4= 0.646$.  
•   Die Lösung dieser Aufgabe lautet somit:   $y_0 = h_0= 1$,   $y_1= h_1= 0.9$,   $y_2 =h_2-h_0/2= 0.31$,   $y_3 =h_3-h_1/2= 0.279$,   $y_4 =h_4-h_2/2= 0.251$.  
•   Vorsicht:  Sprungantwort und Rechteckantwort beziehen sich nun auf das fiktive Filter $($mit  $a_2=-0.5)$  und nicht auf das eigentliche Filter $($mit  $a_2=0)$.

(6)  Betrachten und interpretieren Sie die Impulsanwort und die Sprungantwort für die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=1$,  $a_1=a_2= b_2=0$. 

•   Das System ist instabil:   Eine zeitdiskrete Diracfunktion am Eingang  $($zur Zeit  $t=0)$  bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs gleicher Höhe.
•   Eine zeitdiskrete Sprungfunktion am Eingang bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs mit monoton ansteigenden Gewichten (bis ins Unendliche).

(7)  Betrachten und interpretieren Sie Impulsanwort und Sprungantwort für die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=-1$,  $a_1=a_2= b_2=0$. 

•   Im Gegensatz zur Aufgabe  (6)  sind hier die Gewichte der Impulsantwort  $〈h_ν〉$  nicht konstant gleich  $1$, sondern alternierend  $\pm 1$.  Das System ist ebenfalls instabil.
•   Bei der Sprunganwort  $〈\sigma_ν〉$  wechseln sich dagegen die Gewichte alternierend zwischen  $0$  $($bei geradem $\nu)$  und  $1$  $($bei ungeradem $\nu)$  ab.

(8)  Wir betrachten den  „Sinusgenerator”:  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1.$  Vergleichen Sie die Impulsantwort mit den berechneten Werten in  $\text{Beispiel 4}$.
        Wie beinflussen die Parameter  $a_1$  und  $b_1$  die Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}$  und die Amplitude  $A$  der Sinusfunktion?

•   $〈x_ν〉=〈1, 0, 0, \text{...}〉$   ⇒   $〈y_ν〉=〈0, 0.5, 0.866, 1, 0.866, 0.5, 0, -0.5, -0.866, -1, -0.866, -0.5, 0, \text{...}〉$   ⇒   Sinus,  Periode  $T_0/T_{\rm A}= 12$,  Amplitude  $1$.
•   Die Vergrößerung/Verkleinerung von  $b_1$  führt zur größeren/kleineren Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}$  und zur größeren/kleineren Amplitude  $A$.  Es muss  $b_1 < 2$  gelten. Stimmt das?
•   $a_1$  beinflusst nur die Amplitude, nicht die Periodendauer.  Für  $a_1$  gibt es keine Wertebegrenzumg.  Bei negativem  $a_1$  ergibt sich die Minus–Sinusfunktion.
•   Gibt es hier keine Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ???

(9)  Die Grundeinstellung bleibt erhalten.  Mit welchen  $a_1$  und  $b_1$ ergibt sich eine Sinusfunktion mit Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}=16$  und Amplitude  $A=1$?

•   Durch Probieren erreicht man mit  $b_1= 1.8478$  tatsächlich die Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}=16.$  Allerdings erhöht sich dadurch die Amplitude auf  $A=1.307$.
•   Die Anpassung des Parameters   $a_1= 0.5/1.307=0.3826$  führt dann zur gewünschten Amplitude  $A=1$.
•   Oder man kann das auch wie im Beispiel berechnen:  $b_1 = 2 \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}\cdot{T_{\rm A}}/{T_0 }})= 2 \cdot \cos (\pi/8)=1.8478$,     $a_1 = \sin (\pi/8)=0.3827$.

(10)  Wir gehen weiter vom „Sinusgenerator” aus.  Welche Modifikationen muss man vornehmen, um damit einen „Cosinus” zu generieren?

•     Mit  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1$  sowie  $〈x_ν〉=〈1, 1, 1, \text{...}〉$  ist die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  das zeitdiskrete Analogon der Sprungantwort  $\sigma(t)$.
•   Hier noch auf die Diskrepanz zu sigma(t) wertkontinuierlich eingehen. Es fehlen noch einige Statements

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Vorauswahl für blauen Parametersatz

    (B)     Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

    (C)     Vorauswahl für roten Parametersatz

    (D)     Parametereingabe $\lambda$ per Slider

    (E)     Graphische Darstellung der Verteilungen

    (F)     Momentenausgabe für blauen Parametersatz

    (G)     Momentenausgabe für roten Parametersatz

    (H)     Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    ( I )     Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung

Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:

• Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
• Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2020 wurde das Programm von Andre Schulz (Bachelorarbeit LB, Betreuer: Benedikt Leible und Tasnád Kernetzky ) unter „HTML5” neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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