Aufgabe 4.1Z: Andere Basisfunktionen

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Energiebegrenzte Signale

Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die  "Aufgabe 4.1":

Für  $M = 4$  energiebegrenzte Signale  $s_i(t)$  mit  $i = 1, \ \text{...} \ , 4$  sollen die  $N$  erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_{\it j}(t)$  gefunden werden,  die folgende Bedingung erfüllen müssen:

$$< \hspace{-0.1cm} \varphi_j(t), \hspace{0.1cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\, {\rm d} t = {\rm \delta}_{jk} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} j = k \\ j \ne k \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

Mit  $M$  Sendesignale  $s_i(t)$  können bereits weniger Basisfunktionen  $\varphi_{\it j}(t)$  ausreichen, nämlich  $N$.  Allgemein gilt also  $N ≤ M$.

Es handelt sich hier um die genau gleichen energiebegrenzten Signale  $s_i(t)$  wie in der  "Aufgabe 4.1":

• Der Unterschied ist die unterschiedliche Reihenfolge der Signale  $s_i(t)$.

• Diese sind in dieser Aufgabe so sortiert,  dass die Basisfunktionen auch ohne Anwendung des umständlicheren  "Gram–Schmidt–Verfahrens"  gefunden werden können.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume".

• Verwenden Sie für numerische Berechnungen  $A = 1 \sqrt{\rm W} , \hspace{0.2cm} T = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}.$

Fragebogen

1

In der Aufgabe 4.1 hat das Gram–Schmidt–Verfahren zu  $N = 3$  Basisfunktionen geführt.  Wieviele Basisfunktionen benötigt man hier?

$N \ = \ $

2

Geben Sie die  "2–Norm"  aller Signale an:

$||s_1(t)|| \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$||s_2(t)|| \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$||s_3(t)|| \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$||s_4(t)|| \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

3

Welche Aussagen gelten für die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$,  $\varphi_2(t)$  und  $\varphi_3(t)$?

	Die in Aufgabe 4.1 berechneten Basisfunktionen sind auch hier geeignet.
	Es gibt unendlich viele Möglichkeiten für  $\{\varphi_1(t),\ \varphi_2(t),\ \varphi_3(t)\}$.
	Ein möglicher Satz lautet  $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)\}$,  mit  $j = 1,\ 2,\ 3$.
	Ein möglicher Satz lautet  $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)/K\}$,  mit  $j = 1,\ 2,\ 3$.

4

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_4(t)$  bezogen auf die Basisfunktionen  $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)/K\}$,  mit  $j = 1,\ 2,\ 3$?

$s_{\rm 41} \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$s_{\rm 42} \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$s_{\rm 43} \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Der einzige Unterschied zur Aufgabe 4.1 ist die unterschiedliche Nummerierung der Signale  $s_i(t)$.

• Damit ist offensichtlich,  dass auch hier  $\underline {N = 3}$  gelten muss.

(2)  Die  "2–Norm"  gibt die Wurzel aus der Signalenergie an und ist vergleichbar mit dem Effektivwert bei leistungsbegrenzten Signalen.

• Die ersten drei Signale haben alle die  "2–Norm"

$$||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = \sqrt{A^2 \cdot T}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Norm des letzten Signals ist um den Faktor  $\sqrt{2}$  größer:

$$||s_4(t)|| \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Die  erste und die letzte Aussage sind zutreffend  im Gegensatz zu den Aussagen 2 und 3:

• Es wäre völlig unlogisch,  wenn die gefundenen Basisfunktionen bei anderer Sortierung der Signale  $s_i(t)$  nicht mehr gelten sollten.

• Das Gram–Schmidt–Verfahren liefert nur einen möglichen Basisfunktionssatz  $\{\varphi_{\it j}(t)\}$.  Bei anderer Sortierung ergibt sich  (möglicherweise)  ein anderer.

• Die Anzahl der Permutationen von  $M = 4$  Signalen ist  "$4! = 24$".  Mehr Basisfunktionssätze kann es auf keinen Fall geben   ⇒   der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.

• Wahrscheinlich gibt es  (wegen $N = 3$)  aber nur  "$3! = 6$"  mögliche Basisfunktionssätze. 

• Wie aus der  Musterlösung  zur Aufgabe 4.1 ersichtlich ist,  werden sich mit der Reihenfolge  $s_1(t),\ s_2(t),\ s_4(t),\ s_3(t)$  die gleichen Basisfunktionen ergeben wie mit  $s_1(t),\ s_2(t),\ s_3(t),\ s_4(t)$.  Dies ist aber nur eine Vermutung der Autoren;  wir haben es nicht überprüft.

• Die Aussage 3 kann allein schon wegen den unterschiedlichen Einheiten von  $s_i(t)$  und  $\varphi_{\it j}(t)$  nicht stimmen.  Die Signale weisen wie  $A$  die Einheit  $\sqrt{\rm W}$  auf,  die Basisfunktionen die Einheit  $\sqrt{\rm 1/s}$.

• Richtig ist somit die letzte Lösungsalternative,  wobei für  $K$  gilt:

$$K = ||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Aus dem Vergleich der Diagramme auf der Angabenseite erkennt man:

$$s_{4}(t) = s_{1}(t) - s_{2}(t) = K \cdot \varphi_1(t) - K \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm}.$$

• Weiterhin gilt:

$$s_{4}(t) = s_{41}\cdot \varphi_1(t) + s_{42}\cdot \varphi_2(t) + s_{43}\cdot \varphi_3(t)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{41} = K \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{42} = -K \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= -10^{-3}\sqrt{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0}\hspace{0.05cm}.$$