Aufgabe 4.1: Zum Gram-Schmidt-Verfahren

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Gram-Schmidt-Vorgaben

Für die vier durch die Abbildung definierten Signale  $s_1(t), \, \text{...} \, , s_4(t)$  sind durch Anwendung des Gram–Schmidt–Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$,  $\varphi_2(t)$  und  $\varphi_3(t)$  zu ermitteln,  so dass für die Signale mit  $i = 1, \, \text{...} \, , 4$  geschrieben werden kann:

$$s_i(t) = s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) + s_{i3} \cdot \varphi_3(t)\hspace{0.05cm}.$$

• In der Teilaufgabe  (1)  gelte  $A^2 = 1 \ \rm mW$  und  $T = 1 \ \rm µ s$.

• In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen:   $A = 1$,  $T = 1$.

• Damit sind sowohl die Koeffizienten  $s_{\it ij}$  als auch die Basisfunktionen  $\varphi_{\it j}(t)$  $($jeweils mit  $j = 1, 2, 3)$  dimensionslose Größen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume".
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  "Orthonormale Basisfunktionen"  und  "Gram–Schmidt–Verfahren".

Fragebogen

1

Welche Einheiten besitzen die folgenden Größen mit  $A^2 = 1 \, \rm mW$  und  $T = 1 \, {\rm µ s}$?

	Die Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  sind dimensionslos.
	Die Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  haben die Einheit  $\rm \sqrt{\rm s}$.
	Die Koeffizienten  $s_{\it ij}$  sind dimensionslos.
	Die Koeffizienten  $s_{\it ij}$  haben die Einheit  $\rm \sqrt{\rm Ws}$.

2

Führen Sie den ersten Schritt des Gram–Schmidt–Verfahrens durch.  Wie für die weiteren Aufgaben gelte  $A = 1$  und  $T = 1$.

$s_{\rm 11} \ = \ $

$s_{\rm 12} \ = \ $

$s_{\rm 13} \ = \ $

3

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_2(t)$  mit  $A = 1$  und  $T = 1$?

$s_{\rm 21} \ = \ $

$s_{\rm 22} \ = \ $

$s_{\rm 23} \ = \ $

4

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_3(t)$  mit  $A = 1$  und  $T = 1$?

$s_{\rm 31} \ = \ $

$s_{\rm 32} \ = \ $

$s_{\rm 33} \ = \ $

5

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_4(t)$  mit  $A = 1$  und  $T = 1$?

$s_{\rm 41} \ = \ $

$s_{\rm 42} \ = \ $

$s_{\rm 43} \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 4:

• Jede orthonormale Basisfunktion soll die Energie 1 aufweisen,  das heißt,  es muss gelten:

$$||\varphi_j(t)||^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t)^2\,{\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}.$$

• Damit diese Bedingung zu erfüllen ist,  muss die Basisfunktion die Einheit  $\rm \sqrt{\rm s}$  besitzen.  Zu berücksichtigen ist noch die Gleichung

$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t).$$

• Die Signale selbst weisen wie  $A$  die Einheit  $\rm \sqrt{\rm W}$  auf.  Wegen der Einheit  $\rm \sqrt{\rm 1/s}$  von  $\varphi_{ j}(t)$  ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen,  wenn die Koeffizienten  $s_{\it ij}$  mit der Einheit  $\rm \sqrt{\rm Ws}$  angegeben werden.

(2)  Die Energie des Signals  $s_1(t)$  ist gleich  $E_1 = 2$. 

• Daraus folgt für die Norm,  die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  und den Koeffizienten  $s_{\rm 11}$:

$$||s_1(t)|| = \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm} s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} } \hspace{0.05cm}.$$

• Die anderen Koeffizienten sind  $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$,  da die zugehörigen Basisfunktionen noch gar nicht gefunden wurden. $\varphi_1(t)$  ist formgleich mit  $s_1(t)$.

(3)  Da nach Berücksichtigung von  $s_2(t)$  höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind,  gilt mit Sicherheit  $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$.  Dagegen erhält man

• für den Koeffizienten

$$||s_1(t)|| = \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm} s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} } \hspace{0.05cm};$$

• für die Hilfsfunktion  $\theta_2(t)$:

$$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - 0.707 \cdot 0.707 = 0.5\\ 0 - 0.707 \cdot (-0.707) = 0.5 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 1 \\ 1 \le t < 2 \\ \end{array} \hspace{0.05cm};$$

• für die zweite Basisfunktion:

$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||},\hspace{0.2cm} ||\theta_2(t)|| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_2(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0.5/0.707 = 0.707\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 2 \\ 2 \le t < 3 \\ \end{array} \hspace{0.05cm};$$

• schließlich für den zweiten Koeffizienten

$$s_{22} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 1 \cdot 0.707 + 0 \cdot 0.707 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.707} \hspace{0.05cm}.$$

Die Berechnungen sind in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht.

Gram-Schmidt-Berechnungen

(4)  Man erkennt sofort,  dass  $s_3(t)$  sich als Linearkombination aus  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$  ausdrücken lässt:

$$s_{3}(t) = -s_{1}(t) + s_{2}(t),$$

$$s_{31} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{11} + s_{21} = -1.414 + 0.707 = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {-0.707}\hspace{0.05cm},$$

$$s_{32} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{12} + s_{22} = 0 + 0.707 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.707}\hspace{0.05cm},$$

$$s_{33} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{13} + s_{23} = 0 + 0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Der Bereich  $2 ≤ t ≤ 3$  ist weder durch  $\varphi_1(t)$  noch durch  $\varphi_2(t)$  abgedeckt.

• Deshalb liefert  $s_4(t)$  die neue Basisfunktion  $\varphi_3(t)$.

• Da  $s_4(t)$  nur Anteile im Bereich  $2 ≤ t ≤ 3$  aufweist und  $||s_4(t)|| = 1$  ist,  ergibt  sich  $\varphi_3(t) = s_4(t)$  sowie

$$s_{41} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{42} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1} \hspace{0.05cm}.$$