Frequenzmodulation (FM)

1. Modulationsverfahren
2. Winkelmodulation und WM–Demodulation
3. Frequenzmodulation (FM)

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Augenblicksfrequenz

Wir gehen wieder von einem winkelmodulierten Signal aus:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\psi(t)\big].$$

Alle Informationen über das Quellensignal  $q(t)$

• sind damit ausschließlich in der Winkelfunktion  $ψ(t)$  enthalten,
• während die Hüllkurve  $a(t) = A_{\rm T}$  konstant ist.

$\text{Definitionen:}$ 

• Die  Augenblickskreisfrequenz  ist die Ableitung der Winkelfunktion nach der Zeit:

$$\omega_{\rm A}(t) = \frac{ {\rm d}\psi(t)}{ {\rm d}t}\hspace{0.05cm}.$$

• Entsprechend gilt für die  Augenblicksfrequenz:

$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{ {\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{ {\rm d}t}\hspace{0.05cm}.$$

• Der  Frequenzhub  ist die maximale Abweichung  $Δf_{\rm A}$  der zeitabhängigen Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  von der konstanten Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.

Bei einer Winkelmodulation mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  schwankt die Augenblicksfrequenz im Bereich

$$f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \le f_{\rm A}(t) \le f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}\hspace{0.05cm}.$$

Hervorzuheben ist, dass ein grundsätzlicher Unterschied zwischen der Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  und dem mit einem Spektrum–Analyzer messbaren Spektrum  $S(f)$  eines winkelmodulierten Signals  $s(t)$  besteht,  wie das nachfolgende Beispiel verdeutlichen soll.

Zur Verdeutlichung der Augenblicksfrequenz

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt oben das phasenmodulierte Signal

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\psi(t)\big] = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + \eta \cdot \sin (2 \pi f_{\rm N} \hspace{0.05cm} t)\big]$$

sowie unten die Augenblicksfrequenz

$$f_{\rm A}(t) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{ {\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{ {\rm d}t} = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}\cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} \hspace{0.05cm} t) \hspace{0.05cm}.$$

Die Systemparameter sind dabei

• die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$,
• die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$, 
• der Modulationsindex  $η = 3$.

Daraus ergibt sich der Frequenzhub zu

•  $Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N} = 15 \ \rm kHz$.

In der Mitte ist zur Orientierung der qualitative Verlauf des sinusförmigen Quellensignals  $q(t)$  skizziert.

Man erkennt aus diesen Grafiken:

• Die Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  kann alle beliebigen Werte zwischen  $f_{\rm T} + Δf_{\rm A} = 65 \ \rm kHz$  $($bei  $t = 50\ \rm µ s,\ 250 \ µ s$, usw.$)$ und  $f_{\rm T} \ – Δf_{\rm A} = 35 \ \rm kHz$  $($bei  $t = 150\ \rm µ s, \ 350 \ µ s$, usw.$)$ annehmen   ⇒   grüne Markierungen.
• Zur Zeit  $t ≈ 16.7 \ \rm µ s$  gilt beispielsweise  $f_{\rm A}(t) = 57.5 \ \rm kHz$   ⇒  violetter Pfeil.
• Dagegen besteht die Spektralfunktion  $S(f)$  aus diskreten Bessellinien bei den Frequenzen ... , $30,\ 35,\ 40,\ 45,\ \mathbf{50},\ 55,\ 60,\ 65,\ 70$, ...  $($jeweils in  $\rm kHz)$.
• Eine Spektrallinie bei  $f = 57.5 \ \rm kHz$  gibt es nicht im Gegensatz zu einer Spektrallinie bei  $f = 70 \ \rm kHz$. 
• Dagegen gilt zu keinem Zeitpunkt  $f_{\rm A}(t) = 70 \ \rm kHz$.

$\text{Ergo:}$ 

Die Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  ist also keine physikalisch messbare Frequenz im herkömmlichen Sinne,  sondern nur eine fiktive, mathematische Größe,  nämlich die Ableitung der Winkelfunktion  $ψ(t)$.

Signalverläufe bei Frequenzmodulation

Wie im Kapitel  Phasenmodulation  gehen wir weiterhin davon aus,  dass das Trägersignal  $z(t)$  cosinusförmig verläuft und das Quellensignal  $q(t)$  spitzenwertbegrenzt ist.

$\text{Definition:}$  Ist bei einem Übertragungssystem die Augenblickskreisfrequenz  $ω_{\rm A}(t)$  linear abhängig vom Momentanwert des Quellensignals  $q(t)$, so spricht man von  Frequenzmodulation  $\rm (FM)$:

$$\omega_{\rm A}(t) = 2 \pi \cdot f_{\rm A}(t) = \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $K_{\rm FM}$  eine dimensionsbehaftete Konstante.  Beschreibt  $q(t)$  einen Spannungsverlauf,  so hat  $K_{\rm FM}$  die Einheit  $\rm V^{–1}s^{–1}$.

Für die Winkelfunktion  $\psi(t)$  und das modulierte Signal  $s(t)$  erhält man bei der Frequenzmodulation:

$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\psi(t)\big] \hspace{0.05cm}.$$

Aus dieser Gleichung lässt sich sofort ablesen:

Zusammenhang zwischen Phasen– und Frequenzmodulation

• Auch bei der Frequenzmodulation bewegt sich das äquivalente Tiefpass–Signal wegen der konstanten Hüllkurve   ⇒   $a(t) = A_{\rm T}$  auf einem Kreisbogen.
• Ein Frequenzmodulator kann mit Hilfe eines Integrators und eines Phasenmodulators realisiert werden. 
• Der FM–Demodulator besteht demzufolge aus PM–Demodulator und Differenzierer, wie im oberen Teil der folgenden Grafik dargestellt ist.

Die untere Grafik zeigt den umgekehrten Zusammenhang,  nämlich die mögliche Beschreibung von PM–Modulator und –Demodulator durch die entsprechenden FM–Komponenten.

$\text{Man erkennt aus der oben angegebenen Gleichung auch;}$ 

• Die auf der Seite  "Eine sehr einfache, leider nicht ganz richtige Modulatorgleichung"  im ersten Kapitel dieses Buches angegebene Gleichung im Fall der Frequenzmodulation wird nur in Sonderfällen gültig sein.

• Bei Frequenzmodulation ist die Umwandlung

$$s(t) = a(t) \cdot \cos (\omega (t) \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega (t) \cdot t + \phi_{\rm T})$$

nur manchmal erlaubt,  zum Beispiel beim nichtlinearen digitalen Modulationsverfahren  „Frequency Shift Keying”  $\rm (FSK)$  mit rechteckförmigem Grundimpuls.

Frequenzmodulation eines Cosinussignals

Bei cosinusförmigem Quellensignal  $q(t)$  und Frequenzmodulation gilt für die Augenblickskreisfrequenz:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Integriert man diese über die Zeit, so erhält man die Winkelfunktion:

$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \frac {K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Ein Vergleich mit den Aussagen im Kapitel  Phasenmodulation  macht deutlich:

• Die Frequenzmodulation eines Cosinussignals ergibt qualitativ das gleiche Sendesignal  $s(t)$  wie die Phasenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals  $q(t)$.  Voraussetzung hierfür ist allerdings,  dass die Modulatorkonstanten entsprechend dem Verhältnis  $K_{\rm FM}/K_{\rm PM} = ω_{\rm N}$  aneinander angepasst sind.
• Das Sendesignal  $s(t)$  lässt sich somit bei den beiden Konstellationen „PM – Sinussignal” sowie „FM – Cosinussignal” einheitlich beschreiben:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t)\big] \hspace{0.05cm}.$$

• Allerdings sind bei Anwendung dieser Gleichung für den Modulationsindex  $η$  bei Phasen– und Frequenzmodulation unterschiedliche Gleichungen zu verwenden:

$$\eta_{\rm PM} = {K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}},$$

$$\eta_{\rm FM} = \frac {K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$

• Ist das Quellensignal keine harmonische Schwingung,  sondern setzt sich aus mehreren Frequenzen zusammen,  so unterscheiden sich die Zeitsignale bei Phasen– und Frequenzmodulation auch qualitativ.  Dies erkennt man beispielsweise beim  früheren Vergleich von PSK und FSK.

$\text{Beispiel 2:}$  Wir gehen nun von einem cosinusförmigen Quellensignal  $q(t)$  mit der Amplitude  $A_{\rm N} = 3 \ \rm V$  und der Frequenz  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  aus und betrachten die Signalverläufe von Phasenmodulation  $\rm (PM)$  und Frequenzmodulation  $\rm (FM)$  bei gleichem Modulationsindex  $η = 1.5$.

$\rm (PM)$  und  $\rm (FM)$  eines Cosinussignals mit  $η = 1.5$

Die  mittlere Grafik  zeigt das phasenmodulierte Signal  (rote Kurve)  für die Modulatorparameter  $f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$  und  $K_{\rm PM} = \rm 0.5 V^{–1}$:

$$s_{\rm PM}(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)\big ] \hspace{0.05cm}.$$

• Bei Phasenmodulation ergibt sich mit  $A_{\rm N} = 3 \ \rm V$  für den Phasenhub (Modulationsindex)  $η = 1.5 ≈ π/2$.
• Die maximale Abweichung der Nulldurchgänge von ihren (äquidistanten) Solllagen beträgt somit etwa ein Viertel der Trägerperiode.
• Ist das Quellensignal  $q(t) > 0$,  so kommen die Nulldurchgänge verfrüht,  bei  $q(t) < 0$  verspätet.

Die  untere Grafik  zeigt das frequenzmodulierte Signal mit gleichem Modulationsindex  $η$:

$$s_{\rm FM}(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t)\big ] \hspace{0.05cm}.$$

Erreicht wird in diesem Fall  $η = 1.5$  durch die Modulatorkonstante

$$K_{\rm FM} = \frac {\eta \cdot \omega_{\rm N} }{A_{\rm N} } = {K_{\rm PM} \cdot \omega_{\rm N} }$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} = 0.5\,{\rm V}^{-1} \cdot 2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} = 15708\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1} \hspace{0.05cm}.$$

• Der Frequenzhub beträgt hier  $Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N} = 7.5 \ \rm kHz$,  und es treten Augenblicksfrequenzen zwischen  $f_{\rm T}-Δf_{\rm A} = 42.5$  und  $f_{\rm T}+Δf_{\rm A} =57.5 \ \rm kHz$  auf.
• Die Nulldurchgänge stimmen nun bei den Maxima und den Minima des Quellensignals  $q(t)$  mit denen des Trägersignals  $z(t)$  überein,  während die maximalen Phasenabweichungen bei den Nulldurchgängen von  $q(t)$  zu erkennen sind.  Dies ist genau umgekehrt wie bei der Phasenmodulation.

WM–Spektrum einer harmonischen Schwingung

Nun setzen wir für das Quellensignal allgemein eine harmonische Schwingung mit der Phase  $ϕ_{\rm N}$  voraus:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[2 \pi f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}\big ].$$

Uns interessiert die Spektralfunktion  $S(f)$.  Zur einfacheren Darstellung betrachten wir im Folgenden das Betragsspektrum  $|S_+(f)|$  des analytischen Signals,  aus dem  $|S(f)|$  in der bekannten Weise hergeleitet werden kann. 

Für jede Art von Winkelmodulation in der hier beschriebenen Weise  – egal, ob Phasen– oder Frequenzmodulation –  gilt unabhängig von der Phase  $ϕ_{\rm N}$  des Quellensignals:

$$|S_{\rm +}(f)| = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}|{\rm J}_n (\eta)| \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T} + n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung lässt sich wie folgt begründen:

• Auf der Seite  "Äquivalentes Tiefpass-Signal bei PM"  wurde diese Gleichung für ein phasenmoduliertes Sinussignal abgeleitet,  wobei  $η = A_{\rm N} · K_{\rm PM}$  den Modulationsindex bezeichnet und  ${\rm J}_n(η)$  die Besselfunkton erster Art und  $n$–ter Ordnung.  $K_{\rm PM}$  ist die Modulatorkonstante.
• Durch eine andere Nachrichtenphase  $ϕ_{\rm N}$  ändert sich nur die Phasenfunktion  ${\rm arc} \ S_+(f)$,  nicht aber das Betragsspektrum  $|S_+(f)|$.  Dieses wichtige Ergebnis wurde auch durch die  Aufgabe 3.3Z  bestätigt.
• Auf der Seite  "Frequenzmodulation eines Cosinussignals"  wurde gezeigt,  dass ein FM–Signal in gleicher Weise wie ein PM–Signal dargestellt werden kann,  wenn der Modulationsindex  $η = K_{\rm FM} · A_{\rm N}/ω_{\rm N}$  verwendet wird.  Folgerichtig sind auch die Betragsspektren bei Phasen- und Frequenzmodulation in gleicher Form darstellbar.

Wir verweisen hier gerne auch auf den zweiten Teil des Lernvideos  "Winkelmodulation – Frequenz– und Phasenmodulation".

$\text{Beispiel 3:}$  Wir betrachten wieder eine harmonische Schwingung mit der Amplitude  $A_{\rm N} = 3 \ \rm V$  nach

• einer Phasenmodulation mit  $K_{\rm PM} = \rm 0.5 \ \rm V^{–1}$,
• einer Frequenzmodulation mit  $K_{\rm FM} = \rm 15708 \ \rm V^{–1}s^{–1}$.

Diskrete Spektren bei Phasen– und Frequenzmodulation

Die zugehörigen Signalverläufe sind im  $\text{Beispiel 2}$  dargestellt:

• Bei beiden Übertragungssystemen ergibt sich für  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  ein Besselspektrum mit dem Modulationsindex  $η = 1.5$.
• Die identischen Betragsspektren des analytischen Signals  (nur positive Frequenzen)  sind in den  oberen Grafiken  dargestellt.
• Bessellinien mit Werten kleiner als  $0.03$  sind hierbei in beiden Fällen vernachlässigt.

Die  unteren Grafiken  gelten für die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$:

• Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  nun eine schmalere Spektralfunktion,  da der Abstand der Bessellinien nur mehr  $3 \ \rm kHz$  beträgt  (linke untere Grafik).
• Da sich der Modulationsindex  $η = 1.5$  nicht ändert,  ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  (obere Grafik).
• Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von  $3 \ \rm kHz$  auf  (rechte untere Grafik).  Es gibt aber nun aufgrund des größeren  $η = 2.5$  deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen  (für  $η = 1.5$  gültigen)  Diagramm.
• Dies folgt aus der Tatsache,  dass bei Frequenzmodulation  $η$  umgekehrt proportional zu  $f_{\rm N}$  ist.

Einfluss einer Bandbegrenzung bei Winkelmodulation

Fassen wir einige bisherige Resultate dieses Abschnittss kurz zusammen,  wobei wir beispielhaft

• die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$,
• die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  und
• den Modulationsindex  $η = π/2 \approx 1.5$

voraussetzen:

1. Das Spektrum einer winkelmodulierten Schwingung besteht aus Bessellinien um den Träger  $f_{\rm T}$  im Abstand  $f_{\rm N}$  der Nachrichtenfrequenz und ist theoretisch unendlich weit ausgedehnt.
2. Selbst wenn man alle Spektrallinien mit Beträgen kleiner als  $0.01$  vernachlässigt,  beträgt die dann endliche Bandbreite für  $η = π/2$  noch immer  $B_{\rm HF} = 8 · f_{\rm N} = 40 \ \rm kHz$.
3. Die Ortskurve  –  also der Verlauf des äquivalenten Tiefpass–Signals in der komplexen Ebene  –  ist im Idealfall ein Kreisbogen mit einem Öffnungswinkel von  $±1.57 \ {\rm rad} = ±90^\circ$.
4. Dieser Kreisbogen nach der vektoriellen Addition ergibt sich allerdings nur dann,  wenn alle Bessellinien in der Ortskurve mit den richtigen Zeigerlängen,  den richtigen Phasenlagen und den richtigen Kreisfrequenzen rotieren.
5. Logischerweise wird die kreisbogenförmige Ortskurve verändert,  wenn Spektrallinien verfälscht werden  (zum Beispiel durch lineare Kanalverzerrungen)  oder ganz fehlen  (zum Beispiel durch eine Bandbegrenzung).
6. Da der ideale Winkeldemodulator die Phase  $ϕ_r(t)$  des Empfangssignals detektiert und daraus das Sinkensignal  $v(t)$  gewinnt, wird dieses dadurch verfälscht und zwar sogar nichtlinear.  Das heißt:  Die Verzerrungen sind irreversibel und können nicht durch ein lineares Filter kompensiert werden.
7. Das bedeutet gleichzeitig:   Aufgrund linearer Verzerrungen auf dem Kanal kommt es zu nichtlinearen Verzerrungen im demodulierten Signal  $v(t)$   ⇒   dadurch entstehen neue Frequenzen  (Oberwellen),  die im Quellensignal  $q(t)$  nicht enthalten waren.
8. Je kleiner die zur Verfügung stehende Bandbreite  $B_{\rm HF}$  ist und je größer der Modulationsindex  $η$  gewählt wird,  desto größer wird der die nichtlinearen Verzerrungen beschreibende Klirrfaktor  $K$. 
9. Als Faustformel für die erforderliche HF–Bandbreite für einen geforderten Klirrfaktor  $K$  gilt nach der so genannten  „Carson–Regel”:

$$K < 10\%\text{:}\hspace{0.6cm} B_{\rm HF} \ge 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +1)\hspace{0.05cm},$$

$$K < 1\%\text{:}\hspace{0.72cm} B_{\rm HF} \ge 2 \cdot f_{\rm N} \cdot(\eta +2)\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen weiterhin von den Systemparametern  $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$,  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  und  $η = π/2$  aus.  Die Grafik zeigt für diesen Fall links das Betragsspektrum  $\vert S_{\rm TP}(f) \vert$  des äquivalenten Tiefpass–Signals und rechts die zugehörige komplexe Zeitfunktion  $s_{\rm TP}(t)$.

Einfluss einer Bandbegrenzung bei Winkelmodulation

• Um den Klirrfaktor auf Werte  $K < 1\%$  zu begrenzen,  ist nach der Carson–Regel eine HF–Bandbreite von  $B_{1 \%} ≈ 36 \ \rm kHz$  erforderlich.
• $s_{\rm TP}(t)$  setzt sich dann aus der Konstanten  $D_0$  und je drei entgegen dem Uhrzeigersinn  $(D_1, D_2, D_3)$  bzw. im Uhrzeigersinn  $(D_{-1}, D_{-2}, D_{-3})$  drehenden Zeigern zusammen:

$$\begin{align*}s_{\rm TP}(t) & = \sum_{n = - 3}^{+3}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\end{align*}$$

• Die ockerfarbene Kurve in der Zeitbereichsdarstellung macht deutlich,  dass sich das äquivalente Tiefpass-Signal durch diese Bandbegrenzung nur geringfügig vom verzerrungsfreien Halbkreis  (dünne schwarze Linie)  unterscheidet.

Gibt man sich mit einem Klirrfaktor  $K < 10\%$  zufrieden,  so ist bereits die HF–Bandbreite  $B_{10 \%} ≈ 26\ \rm kHz$  ausreichend.

• Damit werden auch die beiden Fourierkoeffizienten  $D_3$  und  $D_{-3}$  abgeschnitten und die violett dargestellte Ortskurve beschreibt einen Parabelabschnitt. 
• Die Simulation dieses Fallbeispiels liefert den Klirrfaktor  $K ≈ 6\%$.  Man erkennt: 
  Die Carson–Regel liefert oft ein etwas zu pessimistisches Ergebnis  $(10\%$  anstelle von  $6\%)$.

Realisierung eines FM–Modulators

Eine Frequenzmodulation erhält man dann,  wenn die Schwingfrequenz eines Oszillators im Rhythmus des modulierenden Signals verändert wird.  Als frequenzbestimmende Elemente dienen meist RC–Glieder oder Schwingkreise.     Die linke Grafik zeigt eine schaltungstechnische Realisierungsform; die genaue Schaltungsbeschreibung finden Sie in [Mäu 88].  Rechts ist die idealisierte Frequenz–Spannungskennlinie dargestellt.

Realisierung eines FM–Modulators und dessen Kennlinie

Hier sollen nur einige wenige Anmerkungen gemacht werden:

• Die anliegende Spannung  $u(t)$  setzt sich additiv aus dem Quellensignal  $q(t)$  und einem Gleichanteil  $A_0$  zusammen,  der den  Arbeitspunkt  festlegt.
• Die Kapazität  $C$  der  Kapazitätsdiode  ist näherungsweise proportional zu  $1/u^{2}(t)$,  so dass sich die Schwingfrequenz des LC–Oszillators abhängig von  $q(t)$  verändert.
• Bei nur kleiner Frequenzänderung hängen  $u(t)$  und $f_{\rm A}(t)$ linear zusammen.  Damit ist die  Augenblickskreisfrequenz  mit der Steigung  $K_{\rm FM}$  der Modulatorkennlinie wie folgt gegeben:

$$\omega_{\rm A}(t) = \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Die  Gegentaktschaltung  aus den beiden Kapazitätsdioden dient unter Anderem zur Kompensation von Unsymmetrien und damit zur Verminderung der quadratischen Verzerrungen.
• Mit dem Eingang  $A_0+{\rm d}q(t)/{\rm d}t$  erhält man am Ausgang das frequenzmodulierte Signal  $s(t)$.

PLL–Realisierung eines FM–Demodulators

Die folgende Grafik zeigt eine zweite Realisierungsmöglichkeit des FM–Demodulators.  Eine detaillierte Schaltungsbeschreibung dieses PLL–FM–Demodulators und weitere FM–Demodulatoren – zum Beispiel mittels Flankendiskriminator – finden Sie in  [Mäu 88].

In Stichpunkten lässt sich diese Schaltung, die als Phasenregelschleife  $($"Phase–Locked–Loop",  $\rm PLL)$  arbeitet,  wie folgt beschreiben:

PLL – Realisierung eines FM–Demodulators

• Der Phasendetektor ermittelt die Phasenunterschiede  (Abstände der Nulldurchgänge)  zwischen dem Empfangssignal  $r(t)$  und dem vom VCO bereitgestellten Vergleichssignal.
• Das Ausgangssignal  $v(t)$  nach Tiefpass–Filterung und Verstärkung ist dann näherungsweise gleich dem Quellensignal  $q(t)$,  wenn dieses sendeseitig FM–moduliert wurde.
• Das Ausgangssignal  $v(t)$  wird gleichzeitig an den Eingang des spannungsgesteuerten Oszillators angelegt.  Man bezeichnet diesen auch als  "Voltage Controlled Oscillator",  abgekürzt  $\rm VCO$.
• Das Ausgangssignal des VCO wird permanent in der Weise nachgeregelt,  dass dessen Frequenz möglichst der Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  des Empfangssignals  $r(t)$  entspricht.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.5: PM und FM bei Rechtecksignalen

Aufgabe 3.5Z: Phasenmodulation eines Trapezsignals

Aufgabe 3.6: PM oder FM? Oder AM?

Aufgabe 3.7: Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung

Aufgabe 3.8: Modulationsindex und Bandbreite

Aufgabe 3.9: Kreisbogen und Parabel