Nichtlineare digitale Modulation

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Eigenschaften nichtlinearer Verfahren

Die Gesamtheit aller Modulationsverfahren lassen sich alternativ wie folgt klassifizieren:

  • Amplituden–, Phasen– und Frequenzmodulation,
  • analoge und digitale Modulationsverfahren,
  • lineare und nichtlineare Modulationsverfahren.


Hinsichtlich des letzten Unterscheidungsmerkmals soll gelten:

Definition:  Ein lineares Modulationsverfahren liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt. Andernfalls spricht man von nichtlinearer Modulation.


Die Grafik zeigt einige der Unterschiede hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen.

Analoge und digitale AM–, PM– und FM–Verfahren

Am Kapitelanfang wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen und einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht, dass beim ersten ein analoges Quellensignal q(t) anliegt und beim zweiten ein Digitalsignal. Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt. Darauf wird im Folgenden genauer eingegangen.

  • Die analoge Amplitudenmodulation (AM) ist ein lineares Modulationsverfahren. Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal sTP(t) dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.


  • Zwischen der analogen Phasenmodulation (PM) und der analogen Frequenzmodulation (FM) gibt es viele Gemeinsamkeiten   ⇒ gemeinsame Beschreibung als Winkelmodulation (WM). Hier ist die Ortskurve ein Kreisbogen. Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum S(f) bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz fN um die Trägerfrequenz fT.


  • Die digitale Amplitudenmodulation, die man entweder als Amplitude Shift Keying (ASK) oder als On–Off–Keying (OOK) bezeichnet, ist ebenfalls linear. Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten.


  • Da sich die binäre Phasenmodulation (BPSK) als ASK mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear. Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich durch das Betragsquadratspektrum |Gs(f)|2 des Sendegrundimpulses bestimmt.


  • Das bedeutet aber auch: Die Spektralfunktion der BPSK ist kontinuierlich in f. Würde man die BPSK als (analoge) Phasenmodulation mit digitalem Quellensignal q(t) betrachten, so müssten zur Berechnung von Φs(f) unendlich viele Bessel–Linienspektren miteinander gefaltet werden, wenn man Q(f) als unendliche Summe von Einzelfrequenzen darstellt.


  • Da die Quadratur–Amplitudenmodulation mit vier Signalraumpunkten (4–QAM) auch als Summe zweier zueinander orthogonaler und damit quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschrieben werden kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar. Gleiches gilt für die höherstufigen QAM–Verfahren wie 16–QAM, 64–QAM usw..


  • Eine höherstufige PSK, zum Beispiel die 8–PSK, ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01][1]. Die digitale Frequenzmodulation (Frequency Shift Keying, FSK) ist dagegen stets nichtlinear. Dieses Verfahren wird nachfolgend beschrieben, wobei wir uns auf die binäre FSK beschränken. [Klo01][1]

FSK – Frequency Shift Keying

Wir gehen hier aus vom Sendesignal der analogen Frequenzmodulation aus, s(t)=s0cos(ψ(t))mitψ(t)=2πfTt+KFMq(t)dt

und dem rechteckförmigen Binärsignal mit aν {+1, –1} ⇒ bipolare Signalisierung: q(t)=+ν=aνgs(tνT)mitgs(t)={A0f¨urf¨ur0<t<T,sonst.
Fasst man die Amplitude A und die Modulatorkonstante KFM zum Frequenzhub (Definition siehe unten) ΔfA=AKFM2π
zusammen, so lautet das FSK–Sendesignal im ν–ten Zeitintervall: s(t)=s0cos(2πt(fT+aνΔfA)).
Dieses lässt sich mit den beiden möglichen Signalfrequenzen f+1=fT+ΔfA,f1=fTΔfA
auch in folgender Form schreiben: s(t)={s0cos(2πf+1t)s0cos(2πf1t)f¨urf¨uraν=+1,aν=1.
Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen f+1 und f1 auf. Die Trägerfrequenz fT selbst kommt im Signal nicht vor.


Der Frequenzhub ΔfA ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen FM, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz fA(t) von der Trägerfrequenz fT. Häufig wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit Δf bzw. F bezeichnet.


Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der Modulationsindex, der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation als η=ΔfA/fN definiert wurde. Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird: ηh.


Bei der digitalen Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet man als den Modulationsindex h das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate 1/T: h=2ΔfA1/T=2ΔfAT.

Manchmal wird in der Fachliteratur h auch als Phasenhub bezeichnet.

FSK – Frequency Shift Keying (2)

Die Grafik zeigt unten das FSK–Sendesignal s(t) für

  • das oben skizzierte binäre Quellensignal q(t), und
  • das darunter gezeichnete Trägersignal z(t) mit vier Schwingungen pro Symboldauer (fT·T=4).


Der zugrundeliegende Frequenzhub ist ΔfA=1/T, was dem Modulationsindex h= 2 entspricht. Die beiden möglichen Frequenzen sind somit f+1=5/T,f1=3/T.


Signalverläufe q(t), z(t) und s(t) bei binärer FSK


Bei einem FSK–Übertragungssystem mit der Bitrate 1 Mbit/s (T= 1 μs) und der Amplitude A= 1 V des Quellensignals müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden: KFM=2πΔfAA=2πAT6.28106V1s1.

Kohärente Demodulation der FSK

Die folgende Grafik zeigt den bestmöglichen Demodulator für binäre FSK, der kohärent arbeitet und demzufolge auch Kenntnis über die Phasenlage des FSK–Signals benötigt. Im Blockschaltbild ist dies berücksichtigt, indem das Empfangssignal r(t) identisch mit dem Sendesignal s(t) angenommen wurde – siehe Signalverläufe im vorherigen Abschnitt.


Kohärenter FSK–Demodulator


Dieser Demodulator arbeitet nach folgendem Prinzip:

  • Es handelt sich hierbei um einen Maximum–Likelihood–Empfänger (ML) in der Realisierungsform mit Matched–Filter. Dieses Filter mit dem Frequenzgang HMF(f) kann bei dem vorausgesetzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls gs(t) auch als Integrator realisiert werden.
  • Die Signale b+1(t) bzw. b1(t) vor den Matched–Filtern ergeben sich durch die phasenrichtige Multiplikation mit den Schwingungen der Frequenz f+1 bzw. f1.
  • Der ML–Empfänger entscheidet sich bekanntlich für den Zweig (das Symbol) mit der größeren „Metrik”, wobei das nachgeschaltete Matched–Filters zu berücksichtigen ist. Das heißt: Gilt

d+1(νT)>d1(νT)d(νT)=d+1(νT)d1(νT)>0,

so wurde wahrscheinlich aν= +1 gesendet.
  • Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis so gezeichnet. Natürlich kann man die Matched–Filterung aber auch auf die rechte Seite der Differenzbildung verschieben, wie im unteren Bild dargestellt. Damit muss nur noch ein Filter realisiert werden.


In der Aufgabe A4.12 wird dieser FSK–Demodulator ausführlich behandelt. Auf dem entsprechenden Angabenblatt sehen Sie auch die Signalverläufe.

Fehlerwahrscheinlichkeit der orthogonalen FSK

Man spricht von orthogonaler FSK,

  • wenn der Modulationsindex h ein ganzzahliges Vielfaches von 0.5 ist, und damit
  • der Frequenzhub ΔfA ein ganzzahliges Vielfaches von 0.25/T.


Beim kohärenten Demodulator ist der Korrelationskoeffizient zwischen d+1(TD) und d1(TD) zu allen Detektionszeitpunkten gleich 0. Der Betrag |d(TD)| – also der Abstand der Detektionsabtastwerte von der Schwelle – ist somit konstant. Es treten keine Impulsinterferenzen auf.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich zu: pB=Q(EBN0)=12erfc(EB2N0),

wenn man von den folgenden Voraussetzungen ausgeht:

  • orthogonale FSK,
  • AWGN–Kanal (gekennzeichnet durch den Quotienten EB/N0), und
  • der hier beschriebenen kohärenten Demodulation.


Dies entspricht einer Degradation von 3 dB gegenüber der BPSK, weil

  • zwar der kohärente FSK–Demodulator bezüglich des Nutzsignals das gleiche Ergebnis liefert,
  • auch die Rauschleistungen in den beiden Zweigen genau so groß sind wie bei der BPSK,
  • es aber wegen der Subtraktion zu einer Verdopplung der Gesamtrauschleistung kommt.


Während aber bei der BPSK eine nichtkohärente Demodulation auf keinen Fall möglich ist, gibt es auch einen nichtkohärenten FSK–Demodulator, allerdings mit etwas erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit: pB=1/2eEB/(2N0).

Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt im Kapitel 4.5 des Buches „Digitalsignalübertragung”.

Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung

Wir betrachten weiter die orthogonale FSK. Die Grafik zeigt oben das Quellensignal q(t) und das FSK–Signal sA(t) mit dem Frequenzhub ΔfA=1/T ⇒ Modulationsindex h=2·ΔfA·T=2.


FSK–Signale mit h = 2, h = 1 und h = 0.5, teilweise mit Phasenanpassung


Zu den weiteren Signalverläufen ist Folgendes anzumerken:

  • sB(t) verwendet die Momentanfrequenzen f+1=4.5/T und f1=3.5/TΔfA·T=0.5h=1. Auch diese FSK ist orthogonal, da h= 1 ein Vielfaches von 0.5 ist. Bei kleinerem h ist aber die Bandbreiteneffizienz besser ⇒ das Spektrum SB(f) ist weniger breit als das Spektrum SA(f).
  • Allerdings erkennt man im Signal sB(t) an jeder Symbolgrenze einen Phasensprung um π, wodurch sich wieder eine Verbreiterung des Spektrums ergibt. Solche Phasensprünge lassen sich durch Phasenanpassung vermeiden. Man spricht dann von Continuous Phase Modulation (CPM).
  • Auch beim CPM–Signal sC(t) gilt f+1=4.5/T,f1=3.5/T und h=1. Im Bereich von 0 ... T wird der Koeffizient a1= +1 mit cos(2π·f+1·t) repräsentiert, im Bereich T...2T dagegen der ebenfalls positive Koeffizient a2= +1 durch die um π verschobene Funktion  cos(2π·f+1·t) dargestellt.
  • Der Modulationsindex h= 0.5 von Signal sD(t) ist der kleinstmögliche Wert, der eine orthogonale FSK ermöglicht ⇒ Bezeichnung Minimum Shift Keying (MSK). Bei MSK sind bei jeder Symbolgrenze – je nach den vorherigen Symbolen – vier unterschiedliche Anfangsphasen möglich.


Zur Verdeutlichung des hier dargelegten Sachverhaltens gibt es das Interaktionsmodul

Continuous Phase Modulation (CPM)

MSK – Minimum Shift Keying

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Erzeugung einer MSK–Modulation und typische Signalverläufe an verschiedenen Punkten des MSK–Senders. Man erkennt

  • das digitale Nachrichtensignal am Punkt 1 (Quelle), bestehend aus einer Folge von Diracimpulsen im Abstand T, gewichtet mit den Amplitudenkoeffizienten aν {–1, +1}:

qδ(t)=+ν=aνδ(tνT),

  • das Rechtecksignal qR(t) am Punkt 2 nach Faltung mit dem Rechteckimpuls g(t) der Dauer T und der Höhe 1/T (die Amplitude wurde aus Kompatibilitätsgründen zu späteren Abschnitten so gewählt):

qR(t)=+ν=aνg(tνT),

  • den herkömmlichen Frequenzmodulator, der sich entsprechend den Angaben in Kapitel 3.2 als Integrator und nachgeschaltetem Phasenmodulator realisieren lässt. Für das Signal am Punkt 3 gilt:

ϕ(t)=π2t0qR(τ)dτ.


Blockschaltbild zur Erzeugung eines MSK–Signals


Die Phasenwerte bei Vielfachen der Symboldauer T sind Vielfache von π/2, wobei der für MSK gültige Modulationsindex h= 0.5 berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich das MSK–Signal am Punkt 4 des Blockschaltbildes zu s(t)=s0cos(2πfTt+ϕ(t))=s0cos(2πt(fT+aνΔfA)).

Realisierung der MSK als Offset–QPSK (1)

Durch einen modifizierten Betrieb von Offset Quaternary Phase Shift Keying (O–QPSK) gemäß der unteren Grafik lässt sich Minimum Shift Keying (MSK) realisieren.


Herkömmliches O–QPSK und O–QPSK in MSK–Betriebsart


Gegenüber dem herkömmlichen Betrieb (obere Grafik) sind folgende Modifikationen zu berücksichtigen, die in der unteren Grafik rot hervorgehoben sind:

  • Die Symboldauer T der MSK ist gleich der Bitdauer TB des binären Eingangssignals, während bei der originären O–QPSK T=2TB gilt.
  • Anstelle der Seriell–Parallel–Wandlung und Signalraumzuordnung müssen nun die Quellensymbole umcodiert entsprechend ak=(1)k+1·ak1·qk werden.
  • Alle Amplitudenkoeffizienten ak mit geradzahligem Index (a0,a2,....) werden dem Diracpuls im oberen Zweig eingeprägt, während a1,a3,... im unteren Zweig übertragen werden.
  • Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun 2T anstelle von T und der Versatz (Offset) im Quadraturzweig ist nicht mehr T/2, sondern T. In beiden Fällen ist aber der Offset gleich TB.
  • Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls gs(t) möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:

gMSK(t)={s0cos(πt2T)0f¨urf¨urTt+T,sonst.

Realisierung der MSK als Offset–QPSK (2)

Die Grafik zeigt

  • oben das binäre bipolare Quellensignal q(t),
  • in der Mitte die äquivalenten TP–Signale sI(t) und sQ(t) im I– und Q–Zweig, sowie
  • unten den Phasenverlauf ϕ(t) des gesamten MSK–Sendesignals s(t).


Die Umcodierung ak=(1)k+1·ak1·qk ist bereits berücksichtigt, ebenso der MSK–Grundimpuls.


Signalverläufe der O–QPSK im MSK–Betrieb


Man erkennt aus dem Vergleich des obersten und des untersten Diagramms:

  • Der MSK–Phasenverlauf ϕ(t) ist abschnittsweise linear und steigt bzw. fällt innerhalb einer jeden Symboldauer um 90° (π/2), je nachdem, ob gerade qk= +1 oder qk= –1 anliegt.
  • Das zugehörige Sendesignal s(t) beinhaltet abschnittsweise die beiden Frequenzen fT±1/(4T). Es hat den prinzipiell gleichen Verlauf wie das Signal sD(t) in Abschnitt 5 dieses Kapitels.


Diese Form der MSK–Realisierung können Sie mit dem nachfolgenden Interaktionsmodul darstellen, wenn Sie die Einstellungen O–QPSK, MSK–Zuordnung und Cosinusimpuls wählen:

Quaternary Phase Shift Keying (4–QAM/QPSK bzw. O–QPSK)

Allgemeingültige Beschreibung der CPM

Wir gehen wieder davon aus, dass die Quelle durch die Amplitudenkoeffizienten aν charakterisiert wird. Diese können sowohl binär (±1) als auch M–stufig sein. Sie sind aber stets bipolar zu betrachten.

Die Phasenfunktion ϕ(t) kann bei Continuous Phase Modulation (CPM) allgemein in folgender Form dargestellt werden (h bezeichnet wieder den Modulationsindex): ϕ(t)=πht+ν=aνg(τνT)dτ.

In dieser Darstellung bezeichnet g(t) den Frequenzimpuls, der folgende Bedingung erfüllen muss: +g(t)dt=1.
Mit dem Phasenimpuls gϕ(t) gilt aber auch der folgende Zusammenhang: ϕ(t)=πh+ν=aνgϕ(tνT),wobeigϕ(t)=tg(τ)dτ.

Durch geeignete Wahl der Impulse g(t) bzw. gϕ(t) lassen sich viele CPM–Varianten realisieren. Einige davon sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt.


Frequenzimpuls und Phasenimpuls einiger CPM–Varianten


Die obige Grafik zeigt jeweils

  • oben den CPM–Frequenzimpuls g(t),
  • unten den CPM–Phasenimpuls gϕ(t).


Die Bezeichnung „1–REC” für die Darstellungen der linke Spalte gibt an, dass der Frequenzimpuls sich über eine Symboldauer erstreckt und rechteckförmig ist. Diese Grafiken beschreiben also die MSK.

Die Weiteren in der Grafik berücksichtigten CPM–Varianten wurden mit dem Ziel entworfen, die bereits kleine Bandbreite des MSK–Signals asymptotisch weiter zu verringern:

  • Bei „1–RC” ergibt sich allein durch den „weicheren” Raised–Cosine–Impuls g(t) gegenüber dem Rechteck ein schmaleres Leistungsdichtespektrum.
  • Bei „2–RC” und „2–REC” handelt es sich um Partial–Response–Impulse, die sich jeweils über zwei Symboldauern erstrecken. Hierdurch wird der Phasenverlauf ebenfalls weicher. Gleichzeitig wird dadurch aber die Demodulation und Detektion erschwert, da in das Datensignal am Eingang des Frequenzmodulators gezielte Pseudomehrstufigkeiten eingebracht werden.


Die Berechnung der CPM–Verfahren im Spektralbereich ist im allgemeinen kompliziert. Hier sei auf die Fachliteratur verwiesen, zum Beispiel auf das empfehlenswerte Buch [Kam04][2]. Nur der Sonderfall „MSK” führt zu einfach handhabbaren Gleichungen, wie in der Aufgabe A4.14 gezeigt werden wird.


Kurze Zusammenfassung: Die Continuous Phase Modulation (CPM) ist keine Phasenmodulation, sondern stellt eine nichtlineare digitale Frequenzmodulation (FSK) dar, mit dem Ziel

  • eine konstante Betragseinhüllende zu garantieren, und
  • einen stetigen Phasenverlauf zu ermöglichen (Phasensprünge verbreitern das Spektrum).

GMSK – Gaussian Minimum Shift Keying

Ein Vorteil der MSK gegenüber anderen Verfahren ist der geringere Bandbreitenbedarf. Durch eine geringfügige Modifikation hin zum Gaussian Minimum Shift Keying – abgekürzt GMSK– wird das Spektrum weiter verschmälert. GMSK wird zum Beispiel beim Mobilfunkstandard GSM angewendet.


Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK)


Man erkennt aus dem Grafik, dass der Frequenzimpuls g(t) nun nicht mehr rechteckförmig ist wie gR(t), sondern flachere Flanken aufweist. Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt 3 als beim MSK–Verfahren (siehe letzter Abschnitt), bei dem ϕ(t) symbolweise linear ansteigt bzw. abfällt.

Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen Gaußtiefpass. Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz fG: HG(f)=eπ(f2fG)2hG(t)=2fGeπ(2fGt)2.

Der resultierende Frequenzimpuls g(t) am Punkt 2 ergibt sich aus der Faltung von gR(t) und hG(t). Das Signal s(t) am Punkt 4 weist bei GMSK nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf wie bei MSK, auch wenn dies aus obiger Grafik mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist.


Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz zu f3dB=0.3/T spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht: HG(f=f3dB)=eπ(f3dB/2fG)2=1/2f3dB=fG4/πln22/3fG.

Aus f3dB=0.3/T folgt damit auch fG·T 0.45.


Quellenverzeichnis

  1. Hochspringen nach: 1,0 1,1 Klostermeyer, R.: Digitale Modulation. Braunschweig: Vieweg, 2001.
  2. Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.