Aufgaben:Aufgabe 2.8: Vergleich von Binärcode, AMI-Code und 4B3T-Code: Unterschied zwischen den Versionen
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In der Grafik sind drei Augendiagramme (ohne Rauschen) dargestellt, wobei jeweils ein rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls und für das Gesamtsystem eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit Rolloff–Faktor $r = 0.8$ zugrunde liegen. Für die einzelnen Augendiagramme ist weiterhin vorausgesetzt (von oben nach unten): | In der Grafik sind drei Augendiagramme (ohne Rauschen) dargestellt, wobei jeweils ein rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls und für das Gesamtsystem eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit Rolloff–Faktor $r = 0.8$ zugrunde liegen. Für die einzelnen Augendiagramme ist weiterhin vorausgesetzt (von oben nach unten): | ||
*der redundanzfreie Binärcode, | *der redundanzfreie Binärcode, | ||
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:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Dagegen gilt für die beiden redundanten Ternärsysteme: | *Dagegen gilt für die beiden redundanten Ternärsysteme: | ||
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*Zu berücksichtigen ist dabei, dass sich der Rauscheffektivwert $\sigma_{d}$ gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem durchaus verändern kann. | *Zu berücksichtigen ist dabei, dass sich der Rauscheffektivwert $\sigma_{d}$ gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem durchaus verändern kann. | ||
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes]]. | ||
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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− | {Berechnen Sie den (normierten) Rauscheffektivwert für das Binärsystem. | + | {Berechnen Sie den (normierten) Rauscheffektivwert für das '''Binärsystem'''. |
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{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit des Binärsystems? | {Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit des Binärsystems? | ||
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− | ${\rm | + | $\ p_{\rm S} \ = \ $ { 1.22 3% } $\ \cdot 10^{-5}$ |
− | {Wie groß ist der Rauscheffektivwert beim System mit AMI–Codierung? | + | {Wie groß ist der Rauscheffektivwert beim System mit '''AMI–Codierung'''? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $\sigma_{d}/s_{0} \ = \ $ { 0.237 3% } |
− | { | + | {Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei AMI–Codierung? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | ${\rm | + | $\ p_{\rm S} \ = \ $ { 2.32 3% } $\ \%$ |
− | {Welcher Rauscheffektivwert ergibt sich bei Verwendung des 4B3T–Codes? | + | {Welcher Rauscheffektivwert ergibt sich bei Verwendung des '''4B3T–Codes'''? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $\sigma_{d}/s_{0} \ = \ $ { 0.205 3% } |
− | { | + | {Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit des 4B3T–Codes? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | ${\rm | + | $\ p_{\rm S} \ = \ $ { 1.11 3% } $\ \%$ |
</quiz> | </quiz> |
Version vom 18. November 2017, 18:01 Uhr
In der Grafik sind drei Augendiagramme (ohne Rauschen) dargestellt, wobei jeweils ein rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls und für das Gesamtsystem eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit Rolloff–Faktor $r = 0.8$ zugrunde liegen. Für die einzelnen Augendiagramme ist weiterhin vorausgesetzt (von oben nach unten):
- der redundanzfreie Binärcode,
- der AMI–Code (ca. $37 \%$ Redundanz),
- der 4B3T–Code (ca. $16 \%$ Redundanz).
Weiter kann von folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:
- Es liegt AWGN–Rauschen vor, wobei gilt:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 10\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Detektionsstörleistung hat beim Binärsystem folgenden Wert (wegen des nicht optimalen Empfangsfilters $12 \%$–Aufschlag):
- $$\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T})\hspace{0.05cm}.$$
- Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des Binärsystems lautet:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right) \hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen gilt für die beiden redundanten Ternärsysteme:
- $$p_{\rm S} = {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( s_0/(2 \sigma_d) \right) \hspace{0.05cm}.$$
- Zu berücksichtigen ist dabei, dass sich der Rauscheffektivwert $\sigma_{d}$ gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem durchaus verändern kann.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Zur numerischen Auswertung der Q–Funktion können Sie das interaktve Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen verwenden.
Fragebogen
Musterlösung
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 10\, {\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{N_0} = { s_0^2 \cdot T}/{10}$$
- $$ \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T}) = 0.056 \cdot s_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \sigma_d}/{s_0} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.237}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Daraus folgt für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des binären redundanzfreien Referenzsystems:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right)\approx {\rm Q}(4.22)\hspace{0.15cm}\underline { = 1.22 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Symboldauer $T$ des AMI–codierten Signals ist gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$ des Binärsignals. Deshalb ändert sich an den Bandbreitenverhältnissen nichts und man erhält den gleichen Rauscheffektivwert wie unter Punkt (1) berechnet:
- $${ \sigma_d}/{s_0}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.237} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Aufgrund der ternären Entscheidung wird das Argument der Q–Funktion halbiert:
- $$p_{\rm S} \approx{4}/{3}\cdot {\rm Q}(2.11)={4}/{3} \cdot 1.74 \cdot 10^{-2}\hspace{0.15cm}\underline { = 2.32 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
Der Faktor $4/3$ berücksichtigt hierbei, dass das innere Symbol „$0$” nach zwei Richtungen hin verfälscht werden kann.
(5) Bei Anwendung einer 4B3T–Codierung wird die Symbolrate um $25 \%$ verringert. Um den gleichen Faktor $0.75$ wird dadurch die Rauschleistung kleiner als unter (1) und (3) berechnet. Daraus folgt:
- $${ \sigma_d}/{s_0} = \sqrt{0.75} \cdot 0.237 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.205} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Aufgrund des kleineren Rauscheffektivwertes ergibt sich nun eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit dem AMI–Code:
- $$p_{\rm S} \approx {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{0.5}{ 0.205} \right) = {4}/{3} \cdot 0.833 \cdot 10^{-2}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.11 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
Die deutlich kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit des redundanzfreien Binärcodes kann der 4B3T–Code aufgrund der ternären Entscheidung (halbe Augenöffnung) jedoch nicht erreichen.