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Kausale Systeme - Laplacetransformation

© 2021 Lehr- und Forschungseinheit für Nachrichtentechnik, Technische Universität München
Autoren: Carolin Mirschina & Tasnad Kernetzky

Parametereingabe

0,0

$\rm{\underline{Nullstellen:}}$

$\rm{Anzahl:} \$

$Z =$

$\rm{\underline{Polstellen:}}$

$\rm{Anzahl:} \$

$N =$

$\rm{Eingabe \ des \ konstanten \ Faktors} \$

$K =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{o}1}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{o}1}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{x}1}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{x}1}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{o}2}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{o}2}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{x}2}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{x}2}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{o}3}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{o}3}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{x}3}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{x}3}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{o}4}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{o}4}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{x}4}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{x}4}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{o}5}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{o}5}] =$

$\rm{Re}$

$[p_{\rm{x}5}] =$

$\rm{Im}$

$[p_{\rm{x}5}] =$

$\rm{Satz \ 1}$

$\rm{Satz \ 2}$

$\rm{Satz \ 3}$

$\rm{Satz \ 4}$

$\rm{Satz \ 5}$

$\rm{Satz \ 6}$

0,0

$\rm{Re}$

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

$\rm{Im}$

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

$\rm{Nullstellen:}$

$\rm{Polstellen:}$

$K = 1$

0,0

$\rm{Numerikeingabe \\ der \ Pole \ und \ Nullstellen}$

$\rm{Grafikdarstellung \\ der \ Pole \ und \ Nullstellen}$

$\rm{Frequenzbereich}$ ⇒ „

$(f)$ ”

$\rm{Zeitbereich}$ ⇒ „

$(t)$ ”

0,0

$p = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \rm{j}$

$f`$

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

$−1$

$−0.5$

$0.5$

$1$

$−5$

$−4$

$−3$

$−2$

$−1$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$−180^°$

$−135^°$

$−90^°$

$−45^°$

$45^°$

$90^°$

$135^°$

$180^°$

$\rm{Phase}$

$\ b(f`) \ \rm{in \ Grad}$

$\rm{Dämpfung}$

$\ a(f`) \ \rm{in \ Np}$

$\rm{Betrag}$

$\ |Y(f`)|$

0,0

$t' = t/T$

$y(t')$

−1

−0.5

0.5

1

0,0

$\rm{Die \ Anzahl}$

$Z$

$\rm{der \ Nullstellen \ darf \ nicht}$

$\rm{größer \ als \ die \ Anzahl}$

$N$

$\rm{der \ Nullstellen \ sein.}$

$\rm{Bitte \ überpüfen \ Sie \ die \ eingegebenen \ Parameter.}$

Numerikausgaben

0,0

$\rm{Für}$

$f` = 2$

$\Rightarrow$

$f \cdot T = 0.318$

$\rm{Dämpfung}$

$a(f`) = 0.69 \ \rm{Np}$

$= 6.02 \ \rm{dB}$

$\rm{Phase}$

$b(f`) = 0.0°$

$\rm{Betrag}$

$|Y(f`)| = 0.500$

$\rm{Herleitung}$

0,0

$Z = 1$

$\rm{Nullstellen}$

$N = 2$

$\rm{Polstellen}$

$I = 2$

$\rm{unterschiedliche \ Polstellen}$

$\underline{\rm{Zur \ Zeitbereichsberechnung}}$

$Z < N \ \Rightarrow \ \rm{keine \ Partialbruchzerlegung}$

$(1) \ \ y(t`) \ \rm{mit \ Residuensatz}$

$(2) \ \ y(t`) \ \rm{besteht \ aus} \$

$I \ \rm{Anteilen }$

	Realteil	Imaginärteil
$y(t' = 0)$	0	0
$y(t' = 0.5)$	0	0
$y(t' = 1.0)$	0	0
$y(t' = 1.5)$	0	0
$y(t' = 2.0)$	0	0
$y(t' = 3.0)$	0	0
$y(t' = 4.0)$	0	0
$y(t' = 5.0)$	0	0
$y(t' = 100)$	0	0

Übungen

* Wählen Sie zunächst die Nummer $(1,\ 2$ , ... $)$ der zu bearbeitenden Aufgabe. Die Nummer $0$ entspricht einem „Reset”: Einstellung wie beim Programmstart.
* Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst. Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
* Analysieren Sie bei allen Aufgaben die dargestellen Grafiken im Frequenzbereich ⇒ „ $(f)$ ” und/oder Zeitbereich ⇒ „ $(t)$ ”.
* Für die normierte Zeit gilt $t\hspace{0.05cm}'=t/T$ und für die normierte Frequenz $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$ . Die Ordinaten im Frequenzbereich sind $Y(f\hspace{0.05cm}')$ und im Zeitbereich $y(t\hspace{0.05cm}')$ .
* Ein diracförmiges Eingangssignal ⇒ $X_\mathrm{ L}(p) =1$ beschreibt ein LZI–System mit der Impulsantwort $h(t\hspace{0.05cm}')$ und dem Frequenzgang $H(f\hspace{0.05cm}')$ .
* Eine Sprungfunktion am Eingangssignal ⇒ $X_\mathrm{ L}(p) =1/p$ wird durch die Sprungantwort $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$ und deren Spektralfunktion $\mathit{\Sigma}(f\hspace{0.05cm}')$ charakterisiert.

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