Stochastische Signaltheorie/Stochastische Systemtheorie: Unterschied zwischen den Versionen

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Weitere Informationen zum Thema „Filterung stochastischer Signale” sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im
 
Weitere Informationen zum Thema „Filterung stochastischer Signale” sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im
  
*Kapitel 10: Filterung stochastischer Signale (Programm fil)
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*Kapitel 10:   Filterung stochastischer Signale (Programm fil)
*Kapitel 11: Optimale Filter (Programm ofi)
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*Kapitel 11:   Optimale Filter (Programm ofi)
  
  
des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
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des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
  
*dem Lehrsoftwarepaket [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]  ⇒  Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und  
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*dem Lehrsoftwarepaket  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und  
*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]   ⇒  Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10: Seite 229-248 und Kapitel 11: Seite 249-270.
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*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]    ⇒   Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10:  Seite 229-248 und Kapitel 11:  Seite 249-270.
  
  
 
==Problemstellung==
 
==Problemstellung==
 
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[[Datei:Sto_T_5_1_S1_version2.png |right| 300px|frame|Filtereinfluss auf Spektrum und LDS]]
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[[Datei:Sto_T_5_1_S1_version2.png |right| 300px|frame|Filtereinfluss auf Spektrum und Leistungsdichtespektrum (LDS)]]
Wir betrachten wie im Buch [[Lineare zeitinvariante Systeme]] die rechts skizzierte Anordnung, wobei das System  
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Wir betrachten wie im Buch&nbsp; [[Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; die rechts skizzierte Anordnung, wobei das System  
*sowohl durch die Impulsantwort $h(t)$  
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*sowohl durch die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$  
*als auch durch seinen Frequenzgang $H(f)$  
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*als auch durch seinen Frequenzgang&nbsp; $H(f)$  
  
  
eindeutig beschrieben ist. Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit&ndash; und Frequenzbereich ist durch die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Eigenschaften_aperiodischer_Signale|Fouriertransformation]] gegeben.  
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eindeutig beschrieben ist.&nbsp; Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit&ndash; und Frequenzbereich ist durch die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Eigenschaften_aperiodischer_Signale|Fouriertransformation]]&nbsp; gegeben.  
 
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Legt man an den Eingang das Signal $x(t)$ an und bezeichnet das Ausgangssignal mit $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:  
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Legt man an den Eingang das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; an und bezeichnet das Ausgangssignal mit&nbsp; $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:  
*Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltung]] zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Die folgende Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen:
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*Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergibt sich aus der&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltung]]&nbsp; zwischen dem Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und der Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.&nbsp; Die folgende Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen:
 
:$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$
 
:$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$
  
*Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen. Das Spektrum $X(f)$ ist die Fouriertransformierte von $x(t)$. Die Multiplikation mit dem Frequenzgang $H(f)$ führt zum Ausgangsspektrum $Y(f)$. Daraus lässt sich das Signal $y(t)$  durch Fourierrücktransformation gewinnen.  
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*Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen.&nbsp; Das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte von&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Die Multiplikation mit dem Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; führt zum Ausgangsspektrum&nbsp; $Y(f)$.&nbsp; Daraus lässt sich das Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; durch Fourierrücktransformation gewinnen.  
*Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ nicht für alle Zeiten von ­$–∞$ bis $+∞$ vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren $X(f)$ und $Y(f)$ gar nicht existieren.  
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*Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; nicht für alle Zeiten&nbsp; von ­$–∞$&nbsp; bis&nbsp; $+∞$&nbsp; vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren&nbsp; $X(f)$&nbsp; und&nbsp; $Y(f)$&nbsp; gar nicht existieren.  
*In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektren]] übergegangen werden.
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*In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektren]]&nbsp; übergegangen werden.
  
 
==Amplituden- und Leistungsdichtespektrum==
 
==Amplituden- und Leistungsdichtespektrum==
 
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Wir betrachten einen ergodischen Zufallsprozess  $\{x(t)\}$, dessen Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ als bekannt vorausgesetzt wird. Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es gelten die  folgenden Aussagen:  
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Wir betrachten einen ergodischen Zufallsprozess&nbsp; $\{x(t)\}$, dessen Autokorrelationsfunktion&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; als bekannt vorausgesetzt wird.&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es gelten die  folgenden Aussagen:  
:[[Datei:P_ID467__Sto_T_5_1_S2_neu.png|right| |frame| Zur AKF- und LDS-Berechnung eines Zufallssignals]]
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:[[Datei:P_ID467__Sto_T_5_1_S2_neu.png|right| |frame| Zur AKF&ndash; und LDS&ndash;Berechnung eines Zufallssignals]]
*Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$ angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von $x(t)$ explizit nicht bekannt ist.  
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*Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses&nbsp; $\{x(t)\}$&nbsp; angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von&nbsp; $x(t)$&nbsp; explizit nicht bekannt ist.  
*Das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Amplitudenspektrum]] $X(f)$ ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion $X(f)$ auch die gesamte Zeitfunktion $x(t)$ von $–∞$ bis $+∞$ über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
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*Das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Amplitudenspektrum]]&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; auch die gesamte Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; von&nbsp; $–∞$&nbsp; bis&nbsp; $+∞$&nbsp; über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
*Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer $T_{\rm M}$ bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.
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*Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.
 
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
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$\text{Satz:}$&nbsp; Zwischen dem Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals $x(t)$ und dem Amplitudenspektrum $X_{\rm T}(f)$ des begrenzten Zeitausschnittes $x_{\rm T}(t)$ besteht der folgende Zusammenhang:  
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$\text{Satz:}$&nbsp; Zwischen dem Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem Amplitudenspektrum&nbsp; $X_{\rm T}(f)$&nbsp; des begrenzten Zeitausschnittes&nbsp; $x_{\rm T}(t)$&nbsp; besteht der folgende Zusammenhang:  
 
:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$}}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$}}
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$\text{Beweis:}$&nbsp; Vorne wurde die  
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$\text{Beweis:}$&nbsp; Vorne wurde die&nbsp;
[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen|Autokorrelationsfunktion]] eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion $x(t)$ wie folgt angegeben:  
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[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; wie folgt angegeben:  
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
 
M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
 
M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
*Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion $x(t)$ durch die auf den Zeitbereich $-T_{\rm M}/2$ bis $+T_{\rm M}/2$ begrenzte Funktion $x_{\rm T}(t)$ zu ersetzen. $x_{\rm T}(t)$ korrespondiert mit dem Spektrum $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]] und des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:  
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*Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; durch die auf den Zeitbereich&nbsp; $-T_{\rm M}/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_{\rm M}/2$&nbsp; begrenzte Funktion&nbsp; $x_{\rm T}(t)$&nbsp; zu ersetzen.&nbsp; $x_{\rm T}(t)$&nbsp; korrespondiert mit dem Spektrum&nbsp; $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]&nbsp; und des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:  
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
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T}(t)\cdot  {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f  t  } \hspace{0.1cm} \rm d \it
 
T}(t)\cdot  {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f  t  } \hspace{0.1cm} \rm d \it
 
t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f  \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
 
t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f  \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
*Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum $X_{\rm T}^{\star}(f)$. Daraus folgt weiter:  
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*Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum&nbsp; $X_{\rm T}^{\star}(f)$.&nbsp; Daraus folgt weiter:  
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot  \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm
 
\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot  \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm
 
T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d
 
T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d
 
\it f.$$
 
\it f.$$
*Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchine],  
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*Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchin],  
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)
 
:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)
 
\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
 
\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
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$\text{Satz:}$&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum (LDS) am Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems mit dem Frequenzgang $H(f)$ ergibt sich als das Produkt aus dem Eingangs–LDS ${\it Φ}_x(f)$ und der Leistungsübertragungsfunktion $\vert H(f)\vert ^2$.  
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$\text{Satz:}$&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum (LDS) am Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems mit dem Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; ergibt sich als das Produkt aus dem Eingangs–LDS&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; und der &bdquo;Leistungsübertragungsfunktion&rdquo;&nbsp; $\vert H(f)\vert ^2$.  
 
:$${ {\it \Phi}_y(f)} = { {\it \Phi}_x(f)} \cdot \vert H(f)\vert ^2.$$}}
 
:$${ {\it \Phi}_y(f)} = { {\it \Phi}_x(f)} \cdot \vert H(f)\vert ^2.$$}}
  
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  
 
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  
Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit Frequenzgang  
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Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit dem Frequenzgang  
 
:$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$
 
:$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$
liegt weißes Rauschen $x(t)$ mit der Rauschleistungsdichte ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$ (zweiseitige Darstellung) an.  
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liegt weißes Rauschen&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$&nbsp; an &nbsp; &rArr; &nbsp; zweiseitige Darstellung.&nbsp; Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:  
 
 
Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:  
 
 
:$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta
 
:$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta
 
f)^2}.$$
 
f)^2}.$$
Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Ein- und Ausgang des Filters.  
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Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Filtereingang und &ndash;ausgang.  
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''Anmerkungen:''
 
''Anmerkungen:''
*Das Signal $x(t)$ kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt &nbsp; &rArr; &nbsp; Integral über ${\it Φ}_x(f)$ von $-\infty$ bis $+\infty$.  
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#&nbsp; Das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt &nbsp; &rArr; &nbsp; Integral über&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$.  
*Das Ausgangssignal $y(t)$ ist niederfrequenter als $x(t)$ und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über ${\it Φ}_y(f)$.}}  
+
#&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist niederfrequenter als&nbsp; $x(t)$&nbsp; und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
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#&nbsp; Bei einseitiger Darstellung würde (nur) für&nbsp; $f>0$ gelten:&nbsp; ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0$.&nbsp; Die Aussagen&nbsp; (1)&nbsp; und&nbsp; (2)&nbsp; würden auch hier in gleicher Weise gelten.}}  
  
 
==Autokorrelationsfunktion des Filterausgangssignals==
 
==Autokorrelationsfunktion des Filterausgangssignals==
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Satz:}$&nbsp;  Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] und durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatzes]]:  
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$\text{Satz:}$&nbsp;  Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; und durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatzes]]:  
 
:$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(-
 
:$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(-
 
\tau).$$}}
 
\tau).$$}}
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{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  
Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie im $\text{Beispiel 1}$, aber diesmal im Zeitbereich:
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Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie&nbsp; im $\text{Beispiel 1}$, aber diesmal im Zeitbereich:
*weißes Rauschen ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,
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*weißes Rauschen&nbsp; ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,
*gaußförmiges Filter:
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:$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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*gaußförmiges Filter: &nbsp; $H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
  h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$$
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  h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$
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Man erkennt aus dieser Darstellung:  
 
Man erkennt aus dieser Darstellung:  
*Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht $N_0/2$.  
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#&nbsp; Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht&nbsp; $N_0/2$.  
*Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort $h(t)$ bzw. $h(–t)$ erhält man die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals.  
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#&nbsp; Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; bzw.&nbsp; $h(–t)$&nbsp; erhält man die AKF&nbsp; $φ_y(τ)$&nbsp; des Ausgangssignals.  
*Auch die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals ist also gaußförmig.  
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#&nbsp; Auch die AKF&nbsp; $φ_y(τ)$&nbsp; des Ausgangssignals ist also gaußförmig.  
*Der AKF–Wert bei $τ = 0$ ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_y(f)$ und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz) $σ_y^2$.  
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#&nbsp; Der AKF–Wert bei&nbsp; $τ = 0$&nbsp; ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz)&nbsp; $σ_y^2$.  
*Dagegen ergibt die Fläche unter $φ_y(τ)$ den LDS-Wert ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also $N_0/2$. }}
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#&nbsp; Dagegen ergibt die Fläche unter&nbsp; $φ_y(τ)$&nbsp; den LDS-Wert&nbsp; ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also&nbsp; $N_0/2$. }}
  
 
==Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal==
 
==Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal==
 
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[[Datei:P_ID469__Sto_T_5_1_S5_Ganz_neu.png |frame| Zur Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion |right]]
 
[[Datei:P_ID469__Sto_T_5_1_S5_Ganz_neu.png |frame| Zur Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion |right]]
Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang $H(f)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Weiter gilt:  
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Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; und der Impulsantwort&nbsp; $h(t)$.&nbsp; Weiter gilt:  
*Das stochastische Eingangssignal $x(t)$ ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$.  
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*Das stochastische Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses&nbsp; $\{x(t)\}$.  
*Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit $φ_x(τ)$, während das Leistungsdichtespektrum (LDS) mit  ${\it Φ}_x(f)$ bezeichnet wird.
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*Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit&nbsp; $φ_x(τ)$, während das Leistungsdichtespektrum (LDS) mit&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; bezeichnet wird.
*Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses  $\{y(t)\}$ am Filterausgang sind die Musterfunktion $y(t)$, die Autokorrelationsfunktion $φ_y(τ)$ sowie das Leitsungsdichtespektrum  ${\it Φ}_y(f)$.
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*Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses&nbsp; $\{y(t)\}$&nbsp; am Filterausgang sind die Musterfunktion&nbsp; $y(t)$, die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $φ_y(τ)$&nbsp; sowie das Leitsungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
 
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<br clear=all>
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Satz:}$&nbsp;  Für die '''Kreuzkorrelationsfunktion''' (KKF) zwischen dem Eingangs– und dem Ausgangssignal gilt:
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$\text{Satz:}$&nbsp;  Für die&nbsp; '''Kreuzkorrelationsfunktion'''&nbsp; (KKF) zwischen dem Eingangs– und dem Ausgangssignal gilt:
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)}  .$$  
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)}  .$$  
Hierbei bezeichnet  $h(τ)$ ist die Impulsantwort des Filters (mit der Zeitvariablen $τ$ anstelle von $t$).}}
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Hierbei bezeichnet&nbsp; $h(τ)$&nbsp; die Impulsantwort des Filters&nbsp; $($mit der Zeitvariablen&nbsp; $τ$&nbsp; anstelle von&nbsp; $t)$&nbsp; und&nbsp; ${ {\it \varphi}_{x}(\tau)}$&nbsp; die AKF des Eingangssignals.}}
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Beweis:}$&nbsp;  Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen $x(t)$ und $y(t)$:
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$\text{Beweis:}$&nbsp;  Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$:
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
*Mit der allgemeingültigen Beziehung $y(t) = h(t) \ast x(t)$ und der formalen Integrationsvariablen $θ$ lässt sich hierfür auch schreiben:
+
*Mit der allgemeingültigen Beziehung&nbsp; $y(t) = h(t) \ast x(t)$&nbsp; und der formalen Integrationsvariablen&nbsp; $θ$&nbsp; lässt sich hierfür auch schreiben:
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$
*Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung erhält man:  
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*Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung in das Integral erhält man:  
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}
 
h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
 
h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
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M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}
 
M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}
 
\hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
 
\hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
*Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt $τ - θ$:
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*Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt&nbsp; $τ - θ$:
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot  \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}  {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)}  .$$  
 
:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot  \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}  {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)}  .$$  
 
*Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.  
 
*Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.  
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
$\text{Fazit:}$&nbsp;  Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:  
 
$\text{Fazit:}$&nbsp;  Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:  
:$${ {\it \Phi}_{xy}(f)} =  H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} .$$
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:$${ {\it \Phi}_{xy}(f)} =  H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f) = \frac{{\it \Phi}_{xy}(f)}{{\it \Phi}_{x}(f)}.$$
  
Die beiden Gleichungen zeigen, dass der Filterfrequenzgang $H(f)$ aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:  
+
Diese Gleichung zeigt, dass der Filterfrequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:  
*die statistischen Kenngrößen am Eingang, entweder die AKF $φ_x(τ)$ oder das LDS ${\it Φ}_x(f)$,  
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*die statistischen Kenngrößen am Eingang, entweder die AKF&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; oder das&nbsp; LDS ${\it Φ}_x(f)$,  
*sowie die Kreuzkorrelationsfunktion $φ_{xy}(τ)$ bzw. deren Fouriertransformierte ${\it Φ}_{xy}(f)$. }}
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*sowie die Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; $φ_{xy}(τ)$&nbsp; bzw. deren Fouriertransformierte&nbsp; ${\it Φ}_{xy}(f)$. }}
  
 
==Aufgaben zum Kapitel==
 
==Aufgaben zum Kapitel==

Version vom 5. Dezember 2019, 17:34 Uhr

# ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL #


Dieses Kapitel beschreibt den Einfluss eines Filters auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) stochastischer Signale.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • die Berechnung von AKF und LDS am Filterausgang (Stochastische Systemtheorie ),
  • die Struktur und die Darstellung Digitaler Filter  (nichrekursiv und rekursiv),
  • die Dimensionierung  der Filterkoeffizienten für eine vorgegebene AKF,
  • die Bedeutung des Matched-Filters  für Nachrichtensysteme (SNR-Maximierung),
  • die Eigenschaften des Wiener-Kolmogorow-Filters  zur Signalrekonstruktion.


Weitere Informationen zum Thema „Filterung stochastischer Signale” sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

  • Kapitel 10:   Filterung stochastischer Signale (Programm fil)
  • Kapitel 11:   Optimale Filter (Programm ofi)


des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

  • dem Lehrsoftwarepaket  LNTsim   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und
  • der  Praktikumsanleitung - Teil B   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10:  Seite 229-248 und Kapitel 11:  Seite 249-270.


Problemstellung


Filtereinfluss auf Spektrum und Leistungsdichtespektrum (LDS)

Wir betrachten wie im Buch  Lineare zeitinvariante Systeme  die rechts skizzierte Anordnung, wobei das System

  • sowohl durch die Impulsantwort  $h(t)$
  • als auch durch seinen Frequenzgang  $H(f)$


eindeutig beschrieben ist.  Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit– und Frequenzbereich ist durch die  Fouriertransformation  gegeben.
Legt man an den Eingang das Signal  $x(t)$  an und bezeichnet das Ausgangssignal mit  $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:

  • Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich aus der  Faltung  zwischen dem Eingangssignal  $x(t)$  und der Impulsantwort  $h(t)$.  Die folgende Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen:
$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$
  • Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen.  Das Spektrum  $X(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $x(t)$.  Die Multiplikation mit dem Frequenzgang  $H(f)$  führt zum Ausgangsspektrum  $Y(f)$.  Daraus lässt sich das Signal  $y(t)$  durch Fourierrücktransformation gewinnen.
  • Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  nicht für alle Zeiten  von ­$–∞$  bis  $+∞$  vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren  $X(f)$  und  $Y(f)$  gar nicht existieren.
  • In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten  Leistungsdichtespektren  übergegangen werden.

Amplituden- und Leistungsdichtespektrum


Wir betrachten einen ergodischen Zufallsprozess  $\{x(t)\}$, dessen Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$  als bekannt vorausgesetzt wird.  Das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es gelten die folgenden Aussagen:

Zur AKF– und LDS–Berechnung eines Zufallssignals
  • Das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$  angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von  $x(t)$  explizit nicht bekannt ist.
  • Das  Amplitudenspektrum  $X(f)$  ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion  $X(f)$  auch die gesamte Zeitfunktion  $x(t)$  von  $–∞$  bis  $+∞$  über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
  • Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer  $T_{\rm M}$  bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.


$\text{Satz:}$  Zwischen dem Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals  $x(t)$  und dem Amplitudenspektrum  $X_{\rm T}(f)$  des begrenzten Zeitausschnittes  $x_{\rm T}(t)$  besteht der folgende Zusammenhang:

$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$


$\text{Beweis:}$  Vorne wurde die  Autokorrelationsfunktion  eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion  $x(t)$  wie folgt angegeben:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
  • Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion  $x(t)$  durch die auf den Zeitbereich  $-T_{\rm M}/2$  bis  $+T_{\rm M}/2$  begrenzte Funktion  $x_{\rm T}(t)$  zu ersetzen.  $x_{\rm T}(t)$  korrespondiert mit dem Spektrum  $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des  ersten Fourierintegrals  und des  Verschiebungssatzes:
$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm} \rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
  • Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:
$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \it t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
  • Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum  $X_{\rm T}^{\star}(f)$.  Daraus folgt weiter:
$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
  • Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von  Wiener  und  Chintchin,
$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:
$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$$
q.e.d.

Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals


Kombiniert man die in den beiden letzten Abschnitten gemachten Aussagen, so kommt man zu folgendem wichtigen Ergebnis:

$\text{Satz:}$  Das Leistungsdichtespektrum (LDS) am Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems mit dem Frequenzgang  $H(f)$  ergibt sich als das Produkt aus dem Eingangs–LDS  ${\it Φ}_x(f)$  und der „Leistungsübertragungsfunktion”  $\vert H(f)\vert ^2$.

$${ {\it \Phi}_y(f)} = { {\it \Phi}_x(f)} \cdot \vert H(f)\vert ^2.$$


$\text{Beweis:}$  Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:

$${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} { {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$

Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man das obige Ergebnis.

q.e.d.


Das folgende Beispiel verdeutlicht den Zusammenhang bei Weißem Rauschen.

Filtereinfluss im Frequenzbereich

$\text{Beispiel 1:}$  Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit dem Frequenzgang

$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$

liegt weißes Rauschen  $x(t)$  mit der Rauschleistungsdichte  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$  an   ⇒   zweiseitige Darstellung.  Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:

$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}.$$

Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Filtereingang und –ausgang.

Anmerkungen:

  1.   Das Signal  $x(t)$  kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt   ⇒   Integral über  ${\it Φ}_x(f)$  von  $-\infty$  bis  $+\infty$.
  2.   Das Ausgangssignal  $y(t)$  ist niederfrequenter als  $x(t)$  und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über  ${\it Φ}_y(f)$.
  3.   Bei einseitiger Darstellung würde (nur) für  $f>0$ gelten:  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0$.  Die Aussagen  (1)  und  (2)  würden auch hier in gleicher Weise gelten.

Autokorrelationsfunktion des Filterausgangssignals


Das berechnete Leistungsdichtespektrum (LDS) kann auch wie folgt geschrieben werden:

$${{\it \Phi}_y(f)} = {{\it \Phi}_x(f)} \cdot H(f) \cdot H^{\star}(f)$$

$\text{Satz:}$  Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation  und durch Anwendung des  Faltungssatzes:

$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(- \tau).$$


Beim Übergang vom Spektral– in den Zeitbereich ist zu beachten:

  • Einzusetzen sind jeweils die Fourierrücktransformierten, nämlich
$${{\it \varphi}_y(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_y(f)}, \hspace{0.5cm}{{\it \varphi}_x(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_x(f)}, \hspace{0.5cm}{h(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{H(f)}, \hspace{0.5cm}{h(-\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{H^{\star}(f)}$$
  • Zudem wird aus jeder Multiplikation eine Faltungsoperation.


Filtereinfluss im Zeitbereich

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie  im $\text{Beispiel 1}$, aber diesmal im Zeitbereich:

  • weißes Rauschen  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,
  • gaußförmiges Filter:   $H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$


Man erkennt aus dieser Darstellung:

  1.   Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht  $N_0/2$.
  2.   Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort  $h(t)$  bzw.  $h(–t)$  erhält man die AKF  $φ_y(τ)$  des Ausgangssignals.
  3.   Auch die AKF  $φ_y(τ)$  des Ausgangssignals ist also gaußförmig.
  4.   Der AKF–Wert bei  $τ = 0$  ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums  ${\it Φ}_y(f)$  und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz)  $σ_y^2$.
  5.   Dagegen ergibt die Fläche unter  $φ_y(τ)$  den LDS-Wert  ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also  $N_0/2$.

Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal


Zur Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion

Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang  $H(f)$  und der Impulsantwort  $h(t)$.  Weiter gilt:

  • Das stochastische Eingangssignal  $x(t)$  ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$.
  • Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit  $φ_x(τ)$, während das Leistungsdichtespektrum (LDS) mit  ${\it Φ}_x(f)$  bezeichnet wird.
  • Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses  $\{y(t)\}$  am Filterausgang sind die Musterfunktion  $y(t)$, die Autokorrelationsfunktion  $φ_y(τ)$  sowie das Leitsungsdichtespektrum  ${\it Φ}_y(f)$.


$\text{Satz:}$  Für die  Kreuzkorrelationsfunktion  (KKF) zwischen dem Eingangs– und dem Ausgangssignal gilt:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$

Hierbei bezeichnet  $h(τ)$  die Impulsantwort des Filters  $($mit der Zeitvariablen  $τ$  anstelle von  $t)$  und  ${ {\it \varphi}_{x}(\tau)}$  die AKF des Eingangssignals.


$\text{Beweis:}$  Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen  $x(t)$  und  $y(t)$:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
  • Mit der allgemeingültigen Beziehung  $y(t) = h(t) \ast x(t)$  und der formalen Integrationsvariablen  $θ$  lässt sich hierfür auch schreiben:
$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$
  • Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung in das Integral erhält man:
$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
  • Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt  $τ - θ$:
$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$
  • Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.
q.e.d.


{{BlaueBox|TEXT= $\text{Fazit:}$  Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:

$${ {\it \Phi}_{xy}(f)} = H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f) = \frac{{\it \Phi}_{xy}(f)}{{\it \Phi}_{x}(f)}.$$

Diese Gleichung zeigt, dass der Filterfrequenzgang  $H(f)$  aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:

  • die statistischen Kenngrößen am Eingang, entweder die AKF  $φ_x(τ)$  oder das  LDS ${\it Φ}_x(f)$,
  • sowie die Kreuzkorrelationsfunktion  $φ_{xy}(τ)$  bzw. deren Fouriertransformierte  ${\it Φ}_{xy}(f)$. }}

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass

Aufgabe 5.1Z: $\cos^2$-Rauschbegrenzung

Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs

Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal