Stochastische Signaltheorie/Mengentheoretische Grundlagen: Unterschied zwischen den Versionen

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In späteren Kapitel wird manchmal auf die [https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre Mengenlehre]  Bezug genommen. Deshalb sollen hier die wichtigsten Grundlagen und Definitionen dieser Disziplin kurz zusammengefasst werden. Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]] am Beispiel europäischer Staaten behandelt.
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In späteren Kapitel wird manchmal auf die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre Mengenlehre]&nbsp; Bezug genommen.&nbsp; Deshalb sollen hier die wichtigsten Grundlagen und Definitionen dieser Disziplin kurz zusammengefasst werden.&nbsp; Die Thematik wird auch im Lernvideo&nbsp; [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]]&nbsp; am Beispiel europäischer Staaten behandelt.
  
Ein wichtiges Hilfsmittel der Mengenlehre ist das Venndiagramm gemäß der Grafik:
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Ein wichtiges Hilfsmittel der Mengenlehre ist das&nbsp; '''Venndiagramm'''&nbsp; gemäß der Grafik:
*Angewandt auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hier die Ereignisse $A_i$ als Flächenbereiche dargestellt. Zur einfacheren Beschreibung bezeichnen wir hier die Ereignisse im Gegensatz zum letzten Kapitel nicht mit $A_1$, $A_2$ und  $A_3$, sondern mit $A$, $B$ und $C$. Die Gesamtfläche entspricht der Grundmenge $G$.  
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*Angewandt auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hier die Ereignisse&nbsp; $A_i$&nbsp; als Flächenbereiche dargestellt.&nbsp; Zur einfacheren Beschreibung bezeichnen wir hier die Ereignisse im Gegensatz zum letzten Kapitel nicht mit&nbsp; $A_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp; $A_3$, sondern mit&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$. Die Gesamtfläche entspricht der Grundmenge&nbsp; $G$.  
*Die Grundmenge $G$ beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und steht für das '''Sichere Ereignis''', das definitionsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit „Eins” eintritt:  &nbsp; ${\rm Pr}(G) = 1$. Zum Beispiel ist beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels”  die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist kleiner oder gleich 6” identisch Eins.  
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*Die Grundmenge&nbsp; $G$&nbsp; beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und steht für das&nbsp; '''Sichere Ereignis''', das definitionsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit „Eins” eintritt:  &nbsp; ${\rm Pr}(G) = 1$. Zum Beispiel ist beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels”  die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist kleiner oder gleich 6” identisch Eins.  
*Dagegen beinhaltet die '''Leere Menge''' $ϕ$ kein einziges Element. Bezogen auf Ereignisse gibt die Leere Menge das '''Unmögliche Ereignis''' mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(ϕ) = 0$ an. Beispielsweise ist beim Experiment „Werfen eines Würfels”'  die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist größer als 6” identisch Null.  
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*Dagegen beinhaltet die&nbsp; '''Leere Menge'''&nbsp; $ϕ$&nbsp; kein einziges Element.&nbsp; Bezogen auf Ereignisse gibt die Leere Menge das&nbsp; '''Unmögliche Ereignis'''&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(ϕ) = 0$&nbsp; an.&nbsp; Beispielsweise ist beim Experiment „Werfen eines Würfels”'  die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist größer als 6” identisch Null.  
  
  
Anzumerken ist, dass nicht jedes Ereignis $A$ mit ${\rm Pr}(A) = 0$ wirklich nie eintreten kann:  
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Anzumerken ist, dass nicht jedes Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; mit&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 0$&nbsp; wirklich nie eintreten kann:  
*So ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „der Rauschwert $n$ ist identisch Null” zwar verschwindend klein und es gilt ${\rm Pr}(n \equiv 0) = 0$, wenn $n$ durch eine kontinuierliche Zufallsgröße beschrieben wird.  
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*So ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „der Rauschwert&nbsp; $n$&nbsp; ist identisch Null” zwar verschwindend klein und es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(n \equiv 0) = 0$, wenn&nbsp; $n$&nbsp; durch eine kontinuierliche (Gaußsche) Zufallsgröße beschrieben wird.  
*Trotzdem ist es natürlich möglich, dass irgendwann auch der exakte Rauschwert $n = 0$ auftritt.
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*Trotzdem ist es natürlich möglich (wenn auch extrem unwahrscheinlich), dass irgendwann auch der exakte Rauschwert&nbsp; $n = 0$&nbsp; auftritt.
  
 
==Vereinigungsmenge==
 
==Vereinigungsmenge==
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$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Vereinigungsmenge''' $C$ zweier Mengen $A$ und $B$ beinhaltet alle die Elemente, die entweder in der Menge $A$ oder der Menge $B$ oder in beiden enthalten sind (englisch: ''Set Union'' ). Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
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$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Vereinigungsmenge'''&nbsp; $C$&nbsp; zweier Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; beinhaltet alle die Elemente, die entweder in der Menge&nbsp; $A$&nbsp; oder der Menge&nbsp; $B$&nbsp; oder in beiden enthalten sind&nbsp; (englisch: ''Set Union'' ).&nbsp; Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
$$\ C = A \cup B \hspace{0.1cm}(= A + B).$$
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$$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$
  
In der Literatur ist auch die Bezeichnung ''Summenmenge'' gebräuchlich und es wird manchmal das Pluszeichen benutzt. In unserem Tutorial verwenden wir jedoch ausschließlich das $∪$-Zeichen.}}
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In der Literatur ist auch die Bezeichnung&nbsp; ''Summenmenge''&nbsp; gebräuchlich und es wird manchmal das Pluszeichen benutzt.&nbsp; In unserem Tutorial verwenden wir jedoch ausschließlich das&nbsp; $∪$-Zeichen.}}
  
  
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:$$(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C) \hspace{0.45cm}(\rm Assoziativgesetz).$$
 
:$$(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C) \hspace{0.45cm}(\rm Assoziativgesetz).$$
  
Ist über die Ereignismengen $A$ und $B$ nichts weiter bekannt, so können für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge nur eine untere und eine obere Schranke angegeben werden:
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Ist über die Ereignismengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; nichts weiter bekannt, so können für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge nur eine untere und eine obere Schranke angegeben werden:
:$${\rm Max}({\rm Pr} (A), {\rm Pr} (B)) \le {\rm Pr} (A \cup B) \le  {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B).$$
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:$${\rm Max}\big({\rm Pr} (A), \ {\rm Pr} (B)\big) \le {\rm Pr} (A \cup B) \le  {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B).$$
  
*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke, wenn $A$ eine [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge|Teilmenge]] von $B$ ist oder umgekehrt.  
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*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.  
*Die obere Schranke gilt für [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkte Mengen]].
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*Die obere Schranke gilt für&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkte Mengen]].
  
  
 
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Betrachtet man die beiden Ereignisse  
 
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Betrachtet man die beiden Ereignisse  
* $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich 5”$ = \{5, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,  
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* $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich $5$”$ = \{5, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,  
 
* $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,  
 
* $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,  
  
  
 
so beinhaltet die Vereinigungsmenge vier Elemente: &nbsp;  $(A \cup B) = \{2, 4, 5, 6 \}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A \cup B) = 4/6 = 2/3$.  
 
so beinhaltet die Vereinigungsmenge vier Elemente: &nbsp;  $(A \cup B) = \{2, 4, 5, 6 \}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A \cup B) = 4/6 = 2/3$.  
*Die untere Schranke ergibt sich zu ${\rm Pr} (A \cup B) \ge {\rm Max}({\rm Pr} (A), {\rm Pr} (B)) = 3/6.$
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*Die untere Schranke ergibt sich zu&nbsp; ${\rm Pr} (A \cup B) \ge {\rm Max}\big({\rm Pr} (A),\ {\rm Pr} (B)\big ) = 3/6.$
*Für die obere Schranke gilt $ {\rm Pr} (A \cup B) \le  {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B) = 5/6.$}}
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*Für die obere Schranke gilt&nbsp; $ {\rm Pr} (A \cup B) \le  {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B) = 5/6.$}}
  
 
==Schnittmenge==
 
==Schnittmenge==
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$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Schnittmenge''' $C$ zweier Mengen $A$ und $B$ beinhaltet alle diejenigen Elemente, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind (englisch: ''Intersecting Set''  ). Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
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$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Schnittmenge'''&nbsp; $C$&nbsp; zweier Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; beinhaltet alle diejenigen Elemente, die sowohl in der Menge&nbsp; $A$&nbsp; als auch in der Menge&nbsp; $B$&nbsp; enthalten sind&nbsp; (englisch: ''Intersecting Set''  ). Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
 
:$$C = A \cap B \hspace{0.2cm}(= A \cdot B).$$
 
:$$C = A \cap B \hspace{0.2cm}(= A \cdot B).$$
  
In der Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung ''Produktmenge'' gebräuchlich und man verwendet das Multiplikationssymbol. }}
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In der Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung ''Produktmenge''&nbsp; gebräuchlich und man verwendet teilweise das Multiplikationssymbol. }}
  
  
 
[[Datei:P_ID17__Sto_T_1_2_S3.png |right|frame| Schnittmenge im Venndiagramm]]
 
[[Datei:P_ID17__Sto_T_1_2_S3.png |right|frame| Schnittmenge im Venndiagramm]]
In der Grafik ist die Schnittmenge violett dargestellt. Analog zur Vereinigungsmenge sind hier folgende Gesetzmäßigkeiten zu nennen:
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In der Grafik ist die Schnittmenge violett dargestellt.&nbsp; Analog zur Vereinigungsmenge sind hier folgende Gesetzmäßigkeiten zu nennen:
 
:$$A \cap \it \phi = \it \phi \rm \hspace{3.75cm}(Schnitt \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}leeren \hspace{0.15cm}Menge),$$
 
:$$A \cap \it \phi = \it \phi \rm \hspace{3.75cm}(Schnitt \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}leeren \hspace{0.15cm}Menge),$$
 
:$$A \cap G = A \rm \hspace{3.6cm}(Schnitt \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}Grundmenge),$$
 
:$$A \cap G = A \rm \hspace{3.6cm}(Schnitt \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}Grundmenge),$$
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:$$(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C) \rm \hspace{0.45cm}(Assoziativgesetz).$$
 
:$$(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C) \rm \hspace{0.45cm}(Assoziativgesetz).$$
 
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*Ist über die Mengen $A$ und $B$ nichts weiter bekannt, so kann für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge keine Aussage getroffen werden.  
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*Ist über&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; nichts weiter bekannt, so kann für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge keine Aussage getroffen werden.  
*Gilt jedoch ${\rm Pr} (A) \le 1/2$ und gleichzeitig ${\rm Pr} (B) \le 1/2$, so kann eine untere und eine obere Schranke angegeben werden:
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*Gilt jedoch&nbsp; ${\rm Pr} (A) \le 1/2$&nbsp; und gleichzeitig&nbsp; ${\rm Pr} (B) \le 1/2$, so kann eine untere und eine obere Schranke angegeben werden:
:$$0 \le {\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}({\rm Pr} (A), {\rm Pr} (B)).$$
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:$$0 \le {\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}\ \big({\rm Pr} (A),{\rm Pr} (B)\big ).$$
  
*${\rm Pr}(A ∩ B)$ wird manchmal auch &bdquo;Verbundwahrscheinlichkeit&rdquo; genannt und mit ${\rm Pr}(A, \ B)$ bezeichnet.
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*${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; wird manchmal auch &bdquo;Verbundwahrscheinlichkeit&rdquo; genannt und mit&nbsp; ${\rm Pr}(A, \ B)$&nbsp; bezeichnet.
*${\rm Pr}(A ∩ B)$ ist gleich der oberen Schranke, wenn $A$ eine [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_Unechte_Teilmenge|Teilmenge]]  von $B$ ist oder umgekehrt.  
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*${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; ist gleich der oberen Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_Unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.  
*Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkten Mengen]].
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*Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkten Mengen]].
  
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten wieder die beiden Ereignisse  
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten wieder die beiden Ereignisse  
* $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich 5”$ = \{5, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,  und
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* $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich&nbsp; $5$”$ = \{5, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,  und
 
* $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig”$ = \{2, 4, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,  
 
* $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig”$ = \{2, 4, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,  
  
  
 
Die Schnittmenge beinhaltet nur ein einziges Element: &nbsp;  $(A ∩ B) = \{ 6 \}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A ∩ B) = 1/6$.  
 
Die Schnittmenge beinhaltet nur ein einziges Element: &nbsp;  $(A ∩ B) = \{ 6 \}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A ∩ B) = 1/6$.  
*Die obere Schranke ergibt sich zu ${\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}({\rm Pr} (A), {\rm Pr} (B)) = 2/6.$
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*Die obere Schranke ergibt sich zu&nbsp; ${\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}\ \big ({\rm Pr} (A), \, {\rm Pr} (B)\big ) = 2/6.$
*Die untere Schranke der Schnittmenge ist hier wegen ${\rm Pr} (A) \le 1/2$ &nbsp;und&nbsp; ${\rm Pr} (B) \le 1/2$&nbsp; gleich Null.}}
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*Die untere Schranke der Schnittmenge ist hier wegen&nbsp; ${\rm Pr} (A) \le 1/2$ &nbsp;und&nbsp; ${\rm Pr} (B) \le 1/2$&nbsp; gleich Null.}}
  
 
==Komplementärmenge==
 
==Komplementärmenge==
 
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{{BlaueBox|TEXT=   
 
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$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Komplementärmenge''' (englisch: ''Complementary Set'') von $A$ wird oft durch eine überstreichende Linie $(\overline{A})$ gekennzeichnet. Sie beinhaltet alle die Elemente, die in der Menge $A$ nicht enthalten sind, und es gilt für deren Wahrscheinlichkeit:
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$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Komplementärmenge'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Complementary Set'')&nbsp; von&nbsp; $A$&nbsp; wird oft durch eine überstreichende Linie&nbsp; $(\overline{A})$&nbsp; gekennzeichnet.&nbsp; Sie beinhaltet alle die Elemente, die in der Menge&nbsp; $A$&nbsp; nicht enthalten sind, und es gilt für deren Wahrscheinlichkeit:
 
:$${\rm Pr}(\overline{A}) = 1- {\rm Pr}(A).$$}}
 
:$${\rm Pr}(\overline{A}) = 1- {\rm Pr}(A).$$}}
  
  
 
[[Datei:P_ID460__Sto_T_1_2_S4.png | right|frame|Komplementärmenge im Venndiagramm]]
 
[[Datei:P_ID460__Sto_T_1_2_S4.png | right|frame|Komplementärmenge im Venndiagramm]]
Im dargestellten  Venndiagramm ist die zu $A$ komplementäre Menge schraffiert dargestellt. Aus diesem Schaubild sind einige mengentheoretische Beziehungen zu erkennen:  
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Im dargestellten  Venndiagramm ist die zu&nbsp; $A$&nbsp; komplementäre Menge schraffiert dargestellt.&nbsp; Aus diesem Schaubild sind einige mengentheoretische Beziehungen zu erkennen:  
*Die Komplementärmenge der komplementären Menge von $A$ ist die Menge $A$ selbst:
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*Die Komplementärmenge der komplementären Menge von&nbsp; $A$&nbsp; ist die Menge&nbsp; $A$&nbsp; selbst:
 
:$$\overline{\overline{A}} = A.$$
 
:$$\overline{\overline{A}} = A.$$
*Die Vereinigungsmenge einer Menge $A$ mit der Komplentärmenge ergibt die Grundmenge:
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*Die Vereinigungsmenge einer Menge&nbsp; $A$&nbsp; mit ihrer Komplentärmenge ergibt die Grundmenge:
 
:$${\rm Pr}(A \cup \overline{A}) = {\rm Pr}(G) = \rm 1.$$
 
:$${\rm Pr}(A \cup \overline{A}) = {\rm Pr}(G) = \rm 1.$$
*Die Schnittmenge von $A$ mit der zugehörigen Komplementärmenge ergibt die leere Menge:
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*Die Schnittmenge von $A$ mit ihrer Komplementärmenge ergibt die leere Menge:
 
:$${\rm Pr}(A \cap \overline{A}) = {\rm Pr}({\it \phi}) \rm = 0.$$
 
:$${\rm Pr}(A \cap \overline{A}) = {\rm Pr}({\it \phi}) \rm = 0.$$
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Ausgehend von der Menge   
 
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Ausgehend von der Menge   
* $A :=$ „die Augenzahl ist kleiner als 5” $= \{1, 2, 3, 4\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 2/3$
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* $A :=$ „die Augenzahl ist kleiner als&nbsp; $5$” $= \{1, 2, 3, 4\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 2/3$
  
  
 
lautet die zugehörige Komplentärmenge:
 
lautet die zugehörige Komplentärmenge:
* $\overline{A} :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich 5”$ = \{5, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (\overline{A})= 1 - {\rm Pr} (A) = 1 - 2/3 = 1/3.$}}
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* $\overline{A} :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich&nbsp; $5$”$ = \{5, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (\overline{A})= 1 - {\rm Pr} (A) = 1 - 2/3 = 1/3.$}}
  
 
==Echte Teilmenge &ndash; Unechte Teilmenge==
 
==Echte Teilmenge &ndash; Unechte Teilmenge==
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[[Datei:P_ID19__Sto_T_1_2_S5.png | right|frame| Teilmengen im Venndiagramm]]
 
[[Datei:P_ID19__Sto_T_1_2_S5.png | right|frame| Teilmengen im Venndiagramm]]
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definitionen:}$&nbsp; Man bezeichnet $A$ als eine '''echte Teilmenge''' von $B$  (englisch: ''Strict Subset'') und schreibt hierfür $A ⊂ B$,  
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$\text{Definitionen:}$&nbsp; Man nennt&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; '''echte Teilmenge'''&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Strict Subset'')&nbsp; und schreibt hierfür&nbsp; $A ⊂ B$,  
*wenn alle Elemente von $A$ auch in $B$ enthalten sind,  
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*wenn alle Elemente von&nbsp; $A$&nbsp; auch in&nbsp; $B$&nbsp; enthalten sind,  
*aber nicht gleichzeitig alle Elemente von $B$ auch in $A$.  
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*aber nicht gleichzeitig alle Elemente von&nbsp; $B$&nbsp; auch in&nbsp; $A$.  
  
  
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Diese mengentheoretische Relation wird durch das skizzierte Venndiagramm veranschaulicht.
 
Diese mengentheoretische Relation wird durch das skizzierte Venndiagramm veranschaulicht.
  
Dagegen bezeichnet man $A$ als eine '''unechte Teilmenge''' von $B$ und verwendet die Notation
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Dagegen bezeichnet man&nbsp; $A$&nbsp; als eine&nbsp; '''unechte Teilmenge'''&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; und verwendet die Notation
 
:$$A \subseteq B = (A \subset B) \cup (A = B),$$
 
:$$A \subseteq B = (A \subset B) \cup (A = B),$$
wenn $A$ entweder eine echte Teilmenge von $B$ ist oder $A$ und $B$ gleiche Mengen sind.
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wenn&nbsp; $A$&nbsp; entweder eine echte Teilmenge von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder wenn&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; gleiche Mengen sind.
  
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann die Größenrelation  ${\rm Pr} (A) \le  {\rm Pr} (B)$.  Das Gleichheitszeichen gilt nur für den Sonderfall  $A = B$.}}  
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*Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann die Größenrelation&nbsp; ${\rm Pr} (A) \le  {\rm Pr} (B)$.   
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*Das Gleichheitszeichen gilt nur für den Sonderfall&nbsp; $A = B$.}}  
  
  
Daneben gelten aber auch die beiden als '''Absorptionsgesetze''' bekannten Gleichungen:
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Daneben gelten aber auch die beiden als&nbsp; '''Absorptionsgesetze'''&nbsp; bekannten Gleichungen:
 
:$$(A \cap B)  \cup A  =  A ,$$
 
:$$(A \cap B)  \cup A  =  A ,$$
 
:$$(A  \cup B) \cap A  =  A,$$
 
:$$(A  \cup B) \cap A  =  A,$$
  
da die Schnittmenge $A ∩ B$ stets eine Teilmenge von $A$ ist, aber gleichzeitig auch $A$ eine Teilmenge der Vereinigungsmenge $A ∪ B$ ist.  
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da die Schnittmenge&nbsp; $A ∩ B$&nbsp; stets eine Teilmenge von&nbsp; $A$&nbsp; ist, aber gleichzeitig auch&nbsp; $A$&nbsp; eine Teilmenge der Vereinigungsmenge&nbsp; $A ∪ B$&nbsp; ist.  
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten bei unserem Standardexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo;  &nbsp;&rArr;&nbsp; $G =  \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ nun die beiden Ereignisse  
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$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten bei unserem Standardexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo;  &nbsp; &rArr; &nbsp; $G =  \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ nun die beiden Ereignisse  
 
* $A :=$ „die Augenzahl ist ungerade”$ = \{1, 3, 5\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 3/6$,  und
 
* $A :=$ „die Augenzahl ist ungerade”$ = \{1, 3, 5\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 3/6$,  und
 
* $B :=$ „die Augenzahl ist eine Primzahl” $= \{1, 2, 3, 5\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 4/6$.
 
* $B :=$ „die Augenzahl ist eine Primzahl” $= \{1, 2, 3, 5\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 4/6$.
  
  
Man erkennt, dass  $A$ eine (echte) Teilmenge der Menge $B$  ist. Dementsprechend gilt auch ${\rm Pr} (A) <  {\rm Pr} (B).$ }}
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Man erkennt, dass&nbsp; $A$&nbsp; eine (echte) Teilmenge der Menge&nbsp; $B$&nbsp; ist.&nbsp; Dementsprechend gilt auch&nbsp; ${\rm Pr} (A) <  {\rm Pr} (B).$ }}
  
 
==Theoreme von de Morgan==
 
==Theoreme von de Morgan==
 
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[[Datei:P_ID23__Sto_T_1_2_S6.png |frame| Zu den Theoremen von de Morgan | rechts]]
 
[[Datei:P_ID23__Sto_T_1_2_S6.png |frame| Zu den Theoremen von de Morgan | rechts]]
Bei vielen Aufgaben aus der Mengenlehre sind die beiden Theoreme von [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan de Morgan]  äußerst nützlich. Diese lauten:
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Bei vielen Aufgaben aus der Mengenlehre sind die beiden Theoreme von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan de Morgan]&nbsp; äußerst nützlich. Diese lauten:
 
:$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},$$
 
:$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},$$
 
:$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$
 
:$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$
  
 
Diese Gesetzmäßigkeiten sind im Schaubild veranschaulicht:  
 
Diese Gesetzmäßigkeiten sind im Schaubild veranschaulicht:  
*Die Menge $A$ ist rot dargestellt und die Menge $B$ blau.  
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*Die Menge&nbsp; $A$&nbsp; ist rot dargestellt und die Menge&nbsp; $B$&nbsp; blau.  
*Die Komplentärmenge $\overline {A}$ von $A$ &nbsp; ist in horizontaler Richtung schraffiert.  
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*Die Komplentärmenge&nbsp; $\overline {A}$&nbsp; von&nbsp; $A$&nbsp; ist in horizontaler Richtung schraffiert.  
*Die Komplentärmenge  $\overline {B}$ von $B$ ist in vertikaler Richtung schraffiert.  
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*Die Komplentärmenge&nbsp; $\overline {B}$&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; ist in vertikaler Richtung schraffiert.  
*Das Komplement $\overline{A \cup B}$ der Vereinigungsmenge ${A \cup B}$ ist sowohl horizontal als auch vertikal schraffiert.  
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*Das Komplement&nbsp; $\overline{A \cup B}$&nbsp; der Vereinigungsmenge&nbsp; ${A \cup B}$&nbsp; ist sowohl horizontal als auch vertikal schraffiert.  
*Es ist damit gleich der Schnittmenge $\overline{A} \cap \overline{B}$ der beiden Komplentärmengen von $A$ und $B$:
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*Es ist damit gleich der Schnittmenge&nbsp; $\overline{A} \cap \overline{B}$&nbsp; der beiden Komplentärmengen von&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$:
 
:$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}.$$
 
:$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}.$$
  
 
Auch die zweite Form des de Morgan-Theorems lässt sich mit diesem Venndiagramm grafisch verdeutlichen:
 
Auch die zweite Form des de Morgan-Theorems lässt sich mit diesem Venndiagramm grafisch verdeutlichen:
  
*Die Schnittmenge $A ∩ B$ (im Bild violett dargestellt) ist weder horizontal noch vertikal schraffiert.  
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*Die Schnittmenge&nbsp; $A ∩ B$&nbsp; (im Bild violett dargestellt) ist weder horizontal noch vertikal schraffiert.  
*Das Komplement $\overline{A ∩ B}$ der Schnittmenge ist dementsprechend entweder horizontal, vertikal oder in beiden Richtungen schraffiert.  
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*Das Komplement&nbsp; $\overline{A ∩ B}$&nbsp; der Schnittmenge ist dementsprechend entweder horizontal, vertikal oder in beiden Richtungen schraffiert.  
*Nach dem zweiten Theorem von de Morgan ist das Komplement der Schnittmenge gleich der Vereinigungsmenge der beiden Komplentärmengen von $A$ und $B$:
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*Nach dem zweiten Theorem von de Morgan ist das Komplement der Schnittmenge gleich der Vereinigungsmenge der beiden Komplentärmengen von&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$:
 
:$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$
 
:$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$
  
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$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Wir betrachten die beiden Mengen  
 
$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Wir betrachten die beiden Mengen  
 
* $A : =$ „die Augenzahl ist ungeradzahlig” $= \{1, 3, 5\}$,  
 
* $A : =$ „die Augenzahl ist ungeradzahlig” $= \{1, 3, 5\}$,  
* $B : =$  „die Augenzahl ist größer als 2” $= \{3, 4, 5, 6\}$.  
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* $B : =$  „die Augenzahl ist größer als&nbsp; $2$” $= \{3, 4, 5, 6\}$.  
  
  
 
Daraus folgen die beiden komplementären Mengen  
 
Daraus folgen die beiden komplementären Mengen  
 
* $\overline {A} : =$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$,
 
* $\overline {A} : =$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$,
* $\overline {B} : =$ „die Augenzahl ist kleiner als 3” $= \{1, 2\}$.
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* $\overline {B} : =$ „die Augenzahl ist kleiner als&nbsp; $3$” $= \{1, 2\}$.
  
  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Zwei Mengen $A$ und $B$ nennt man '''disjunkt''' (englisch: ''disjoint'') oder '''miteinander unvereinbar''',  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Zwei Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; nennt man&nbsp; '''disjunkt'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''disjoint'')&nbsp; oder&nbsp; '''miteinander unvereinbar''',  
 
*wenn es kein einziges Element gibt,  
 
*wenn es kein einziges Element gibt,  
*das sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten ist.}}
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*das sowohl in&nbsp; $A$&nbsp; als auch in&nbsp; $B$&nbsp; enthalten ist.}}
  
  
 
[[Datei:P_ID433__Sto_T_1_2_S7.png |frame| Disjunkte Mengen im Venndiagramm | rechts]]
 
[[Datei:P_ID433__Sto_T_1_2_S7.png |frame| Disjunkte Mengen im Venndiagramm | rechts]]
Das Schaubild zeigt zwei disjunkte Mengen $A$ und $B$ im Venndiagramm.  
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Das Schaubild zeigt zwei disjunkte Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; im Venndiagramm.  
  
 
In diesem Sonderfall gelten die folgenden Aussagen:  
 
In diesem Sonderfall gelten die folgenden Aussagen:  
*Die Schnittmenge zweier disjunkter Mengen $A$ und $B$ ergibt stets die leere Menge:
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*Die Schnittmenge zweier disjunkter Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; ergibt stets die leere Menge:
:$$\rm Pr(\it A \cap \it B) =  \rm Pr(\it \phi) = \rm 0.$$
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:$${\rm Pr}(A \cap B) =  {\rm Pr}(\phi) = \rm 0.$$
*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge zweier disjunkter Mengen $A$ und $B$ ist immer gleich der Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten:
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*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge zweier disjunkter Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; ist immer gleich der Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten:
 
:$${\rm Pr}( A \cup B) =  {\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B).$$
 
:$${\rm Pr}( A \cup B) =  {\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B).$$
 
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$\text{Beispiel 6:}$&nbsp; Bei unserem Standardexperiment sind die beiden Mengen  
 
$\text{Beispiel 6:}$&nbsp; Bei unserem Standardexperiment sind die beiden Mengen  
* $A :=$  „die Augenzahl ist kleiner als 3”$ = \{1, 2\}$  &nbsp; ⇒  &nbsp; ${\rm Pr}( A) = 2/6$, und  
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* $A :=$  „die Augenzahl ist kleiner als&nbsp; $3$”$ = \{1, 2\}$  &nbsp; ⇒  &nbsp; ${\rm Pr}( A) = 2/6$, und  
* $B :=$  „die Augenzahl ist größer als 3” $ = \{4, 5,6\}$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  ${\rm Pr}( B) = 3/6$
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* $B :=$  „die Augenzahl ist größer als&nbsp; $3$” $ = \{4, 5,6\}$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  ${\rm Pr}( B) = 3/6$
  
  
zueinander disjunkt, da $A$ und $B$ kein einziges gemeinsames Element beinhalten.  
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zueinander disjunkt, da&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; kein einziges gemeinsames Element beinhalten.  
*Die Schnittmenge ergibt die leere Menge: ${A \cap B} = \phi$.
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*Die Schnittmenge ergibt die leere Menge:&nbsp; ${A \cap B} = \phi$.
*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ${A \cup B}  = \{1, 2, 4, 5, 6\}$ ist gleich ${\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B) = 5/6.$}}
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*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge&nbsp; ${A \cup B}  = \{1, 2, 4, 5, 6\}$&nbsp; ist gleich&nbsp; ${\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B) = 5/6.$}}
  
 
==Additionstheorem==
 
==Additionstheorem==
 
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Nur bei disjunkten Mengen $A$ und $B$ gilt für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge der Zusammenhang ${\rm Pr}( A \cup B) =  {\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B)$ . Wie errechnet sich diese Wahrscheinlichkeit aber bei allgemeinen, nicht notwendigerweise disjunkten Ereignissen?  
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Nur bei disjunkten Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; gilt für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge der Zusammenhang&nbsp; ${\rm Pr}( A \cup B) =  {\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B)$.&nbsp; Wie errechnet sich diese Wahrscheinlichkeit aber bei allgemeinen, nicht notwendigerweise disjunkten Ereignissen?  
  
 
[[Datei:P_ID21__Sto_T_1_2_S8.png | right|frame| Zum Additionstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
 
[[Datei:P_ID21__Sto_T_1_2_S8.png | right|frame| Zum Additionstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
Betrachten Sie das rechte  Venndiagramm mit der violett dargestellten Schnittmenge $A ∩ B$.  
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Betrachten Sie das rechte  Venndiagramm mit der violett dargestellten Schnittmenge&nbsp; $A ∩ B$.  
*Die rote Menge beinhaltet alle Elemente, die zu $A$ gehören, aber nicht zu $B$.  
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*Die rote Menge beinhaltet alle Elemente, die zu&nbsp; $A$&nbsp; gehören, aber nicht zu&nbsp; $B$.  
*Die Elemente von $B$, die nicht gleichzeitig in $A$ enthalten sind, sind blau dargestellt.  
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*Die Elemente von&nbsp; $B$, die nicht gleichzeitig in&nbsp; $A$&nbsp; enthalten sind, sind blau dargestellt.  
*Alle roten, blauen und violetten Flächen zusammen ergeben die Vereinigungsmenge $A ∪ B$.
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*Alle roten, blauen und violetten Flächen zusammen ergeben die Vereinigungsmenge&nbsp; $A ∪ B$.
  
  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Durch Umstellen dieser Gleichung kommt man zum sogenannten '''Additionstheorem''' (englisch: ''Addition Rule'') für zwei beliebige, nicht notwendigerweise disjunkte Ereignisse:
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$\text{Definition:}$&nbsp; Durch Umstellen dieser Gleichung kommt man zum sogenannten&nbsp; '''Additionstheorem'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Addition Rule'')&nbsp; für zwei beliebige, nicht notwendigerweise disjunkte Ereignisse:
:$${\rm Pr}(A \cup B) =C + {\rm Pr}(B) - {\rm Pr}(A \cap B).$$}}
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:$${\rm Pr}(A \cup B) = {\rm Pr}(A) + {\rm Pr}(B) - {\rm Pr}(A \cap B).$$}}
  
  
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$\text{Beispiel 7:}$&nbsp; Wir betrachten die beiden Mengen  
 
$\text{Beispiel 7:}$&nbsp; Wir betrachten die beiden Mengen  
 
* $A :=$ „die Augenzahl ist ungeradzahlig” $= \{1, 3, 5\}$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  ${\rm Pr}(A) = 3/6$, und  
 
* $A :=$ „die Augenzahl ist ungeradzahlig” $= \{1, 3, 5\}$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  ${\rm Pr}(A) = 3/6$, und  
* $B :=$  „die Augenzahl ist größer 2”$ = \{3, 4, 5, 6\}$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  ${\rm Pr}(B) = 4/6$.  
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* $B :=$  „die Augenzahl ist größer als&nbsp; $2$”$ = \{3, 4, 5, 6\}$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  ${\rm Pr}(B) = 4/6$.  
  
  
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==Vollständiges System==
 
==Vollständiges System==
 
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Im letzten Abschnitt zu diesem Kapitel  betrachten wir wieder mehr als zwei mögliche Ereignisse, nämlich allgemein $I$. Diese Ereignisse werden im Folgenden mit $A_i$ bezeichnet, und es gilt für den Laufindex: &nbsp; $1 ≤ i ≤ I$ .
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Im letzten Abschnitt zu diesem Kapitel  betrachten wir wieder mehr als zwei mögliche Ereignisse, nämlich allgemein&nbsp; $I$.&nbsp; Diese Ereignisse werden im Folgenden mit&nbsp; $A_i$&nbsp; bezeichnet, und es gilt für den Laufindex: &nbsp; $1 ≤ i ≤ I$.
  
 
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$\text{Definition:}$&nbsp; Eine Konstellation mit den Ereignissen $A_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , A_i,  \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}  , A_I$ bezeichnet man dann und nur dann als ein '''vollständiges System''', wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Eine Konstellation mit den Ereignissen&nbsp; $A_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , A_i,  \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}  , A_I$&nbsp; bezeichnet man dann und nur dann als ein&nbsp; '''vollständiges System''', wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
*Alle Ereignisse sind paarweise disjunkt:
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'''(1)''' &nbsp; Alle Ereignisse sind paarweise disjunkt:
 
:$$A_i \cap A_j = \it \phi \hspace{0.15cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}alle\hspace{0.15cm}\it i \ne j.$$
 
:$$A_i \cap A_j = \it \phi \hspace{0.15cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}alle\hspace{0.15cm}\it i \ne j.$$
*Die Vereinigung aller Ereignismengen ergibt die Grundmenge:
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'''(2)''' &nbsp; Die Vereinigung aller Ereignismengen ergibt die Grundmenge:
 
:$$\bigcup_{i=1}^{I} A_i = G.$$}}
 
:$$\bigcup_{i=1}^{I} A_i = G.$$}}
  
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$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Die Ereignismengen $A_1 := \{1, 5\}$ und $A_2 := \{2, 3\}$ ergeben beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo; zusammen mit der Menge $A_3 := \{4, 6\}$ ein vollständiges System, nicht jedoch beim Experiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo;.}}
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$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Die Ereignismengen&nbsp; $A_1 := \{1, 5\}$&nbsp; und&nbsp; $A_2 := \{2, 3\}$&nbsp; ergeben beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo; zusammen mit der Menge&nbsp; $A_3 := \{4, 6\}$&nbsp; ein vollständiges System, nicht jedoch beim Experiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo;.}}
  
  
 
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$\text{Beispiel 9:}$&nbsp; Ein weiteres Beispiel für ein vollständiges System ist die diskrete Zufallsgröße $X = \{ x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$ mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechend der folgenden [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]:
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$\text{Beispiel 9:}$&nbsp; Ein weiteres Beispiel für ein vollständiges System ist die diskrete Zufallsgröße&nbsp; $X = \{ x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechend der folgenden&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]:
 
:$$P_X(X) = \big [ \hspace{0.1cm} P_X(x_1), P_X(x_2), \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm}, P_X(x_I) \hspace{0.05cm} \big ] = \big [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm}, p_I \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}$$
 
:$$P_X(X) = \big [ \hspace{0.1cm} P_X(x_1), P_X(x_2), \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm}, P_X(x_I) \hspace{0.05cm} \big ] = \big [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm}, p_I \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_1 = P_X(x_1) = {\rm Pr}(X=x_1) \hspace{0.05cm},  
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_1 = P_X(x_1) = {\rm Pr}(X=x_1) \hspace{0.05cm},  
 
\hspace{0.2cm}p_2 =  {\rm Pr}(X=x_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm},\hspace{0.2cm} p_I = {\rm Pr}(X=x_I) \hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.2cm}p_2 =  {\rm Pr}(X=x_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm},\hspace{0.2cm} p_I = {\rm Pr}(X=x_I) \hspace{0.05cm}.$$
  
Die möglichen Ergebnisse $x_i$ der Zufallsgröße $X$ sind paarweise zueinander disjunkt und die Summe aller Auftrittswahrscheinlichkeiten  $p_1 + p_2 + \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} + \hspace{0.05cm} p_I$  liefert grundsätzlich das Ergebnis $1$.}}
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Die möglichen Ergebnisse&nbsp; $x_i$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; sind paarweise zueinander disjunkt und die Summe aller Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_1 + p_2 + \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} + \hspace{0.05cm} p_I$&nbsp; liefert grundsätzlich das Ergebnis&nbsp; $1$.}}
  
  
 
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{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 10:}$&nbsp; Es gelte $X= \{0, 1, 2 \}$ und $P_X (X) = \big[0.2, \ 0.5, \ 0.3\big]$. Dann gilt:
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$\text{Beispiel 10:}$&nbsp; Es gelte&nbsp; $X= \{0, 1, 2 \}$&nbsp; und&nbsp; $P_X (X) = \big[0.2, \ 0.5, \ 0.3\big]$. Dann gilt:
 
:$${\rm Pr}(X=0) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=1) = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=2) = 0.3 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(X=0) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=1) = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=2) = 0.3 \hspace{0.05cm}.$$
  
Bei der Zufallsgröße $X = \{1, \pi, {\rm e} \}$ und gleichem $P_X(X) = \big[0.2, \ 0.5, \ 0.3\big]$ lauten die Zuordnungen:
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Bei der Zufallsgröße&nbsp; $X = \{1, \pi, {\rm e} \}$&nbsp; und gleichem&nbsp; $P_X(X) = \big[0.2, \ 0.5, \ 0.3\big]$&nbsp; lauten die Zuordnungen:
 
:$${\rm Pr}(X=1) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=\pi) = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X={\rm e}) = 0.3 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(X=1) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=\pi) = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X={\rm e}) = 0.3 \hspace{0.05cm}.$$
  
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] $P_X(X)$ macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten und nicht über den Wertevorrat  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$ der Zufallsgröße $X$.  
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*Die&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]&nbsp; $P_X(X)$&nbsp; macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat&nbsp; $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$.  
*Diese zusätzliche Information liefert die [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (WDF).}}
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*Diese zusätzliche Information liefert die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; (WDF).}}
  
 
==Aufgaben zum Kapitel==
 
==Aufgaben zum Kapitel==

Aktuelle Version vom 8. November 2019, 18:27 Uhr

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge


Mengendarstellung im Venndiagramm

In späteren Kapitel wird manchmal auf die  Mengenlehre  Bezug genommen.  Deshalb sollen hier die wichtigsten Grundlagen und Definitionen dieser Disziplin kurz zusammengefasst werden.  Die Thematik wird auch im Lernvideo  Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten  am Beispiel europäischer Staaten behandelt.

Ein wichtiges Hilfsmittel der Mengenlehre ist das  Venndiagramm  gemäß der Grafik:

  • Angewandt auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hier die Ereignisse  $A_i$  als Flächenbereiche dargestellt.  Zur einfacheren Beschreibung bezeichnen wir hier die Ereignisse im Gegensatz zum letzten Kapitel nicht mit  $A_1$,  $A_2$  und  $A_3$, sondern mit  $A$,  $B$  und  $C$. Die Gesamtfläche entspricht der Grundmenge  $G$.
  • Die Grundmenge  $G$  beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und steht für das  Sichere Ereignis, das definitionsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit „Eins” eintritt:   ${\rm Pr}(G) = 1$. Zum Beispiel ist beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels” die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist kleiner oder gleich 6” identisch Eins.
  • Dagegen beinhaltet die  Leere Menge  $ϕ$  kein einziges Element.  Bezogen auf Ereignisse gibt die Leere Menge das  Unmögliche Ereignis  mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(ϕ) = 0$  an.  Beispielsweise ist beim Experiment „Werfen eines Würfels”' die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist größer als 6” identisch Null.


Anzumerken ist, dass nicht jedes Ereignis  $A$  mit  ${\rm Pr}(A) = 0$  wirklich nie eintreten kann:

  • So ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „der Rauschwert  $n$  ist identisch Null” zwar verschwindend klein und es gilt  ${\rm Pr}(n \equiv 0) = 0$, wenn  $n$  durch eine kontinuierliche (Gaußsche) Zufallsgröße beschrieben wird.
  • Trotzdem ist es natürlich möglich (wenn auch extrem unwahrscheinlich), dass irgendwann auch der exakte Rauschwert  $n = 0$  auftritt.

Vereinigungsmenge


Anhand des Venndiagramms werden nun einige mengentheoretische Verknüpfungen erläutert.

$\text{Definition:}$  Die  Vereinigungsmenge  $C$  zweier Mengen  $A$  und  $B$  beinhaltet alle die Elemente, die entweder in der Menge  $A$  oder der Menge  $B$  oder in beiden enthalten sind  (englisch: Set Union ).  Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt: $$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$

In der Literatur ist auch die Bezeichnung  Summenmenge  gebräuchlich und es wird manchmal das Pluszeichen benutzt.  In unserem Tutorial verwenden wir jedoch ausschließlich das  $∪$-Zeichen.


Vereinigungsmenge im Venndiagramm

Anhand der Grafik sind die folgenden Gesetzmäßigkeiten der Mengenlehre leicht einzusehen:

$$A \cup \it \phi = A \rm \hspace{3.6cm}(Vereinigung \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}leeren \hspace{0.15cm}Menge),$$
$$A\cup G = G \rm \hspace{3.6cm}(Vereinigung \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}Grundmenge),$$
$$A\cup A = A \hspace{3.6cm}(\rm Tautologiegesetz),$$
$$A\cup B = B\cup A \hspace{2.75cm}(\rm Kommutativgesetz),$$
$$(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C) \hspace{0.45cm}(\rm Assoziativgesetz).$$

Ist über die Ereignismengen  $A$  und  $B$  nichts weiter bekannt, so können für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge nur eine untere und eine obere Schranke angegeben werden:

$${\rm Max}\big({\rm Pr} (A), \ {\rm Pr} (B)\big) \le {\rm Pr} (A \cup B) \le {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B).$$
  • Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke, wenn  $A$  eine  Teilmenge  von  $B$  ist oder umgekehrt.
  • Die obere Schranke gilt für  disjunkte Mengen.


$\text{Beispiel 1:}$  Betrachtet man die beiden Ereignisse

  • $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich $5$”$ = \{5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,
  • $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,


so beinhaltet die Vereinigungsmenge vier Elemente:   $(A \cup B) = \{2, 4, 5, 6 \}$   ⇒   ${\rm Pr} (A \cup B) = 4/6 = 2/3$.

  • Die untere Schranke ergibt sich zu  ${\rm Pr} (A \cup B) \ge {\rm Max}\big({\rm Pr} (A),\ {\rm Pr} (B)\big ) = 3/6.$
  • Für die obere Schranke gilt  $ {\rm Pr} (A \cup B) \le {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B) = 5/6.$

Schnittmenge


Eine weitere wichtige mengentheoretische Verknüpfung stellt die Schnittmenge dar.

$\text{Definition:}$  Die  Schnittmenge  $C$  zweier Mengen  $A$  und  $B$  beinhaltet alle diejenigen Elemente, die sowohl in der Menge  $A$  als auch in der Menge  $B$  enthalten sind  (englisch: Intersecting Set ). Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:

$$C = A \cap B \hspace{0.2cm}(= A \cdot B).$$

In der Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung Produktmenge  gebräuchlich und man verwendet teilweise das Multiplikationssymbol.


Schnittmenge im Venndiagramm

In der Grafik ist die Schnittmenge violett dargestellt.  Analog zur Vereinigungsmenge sind hier folgende Gesetzmäßigkeiten zu nennen:

$$A \cap \it \phi = \it \phi \rm \hspace{3.75cm}(Schnitt \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}leeren \hspace{0.15cm}Menge),$$
$$A \cap G = A \rm \hspace{3.6cm}(Schnitt \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}Grundmenge),$$
$$A\cap A = A \rm \hspace{3.6cm}(Tautologiegesetz),$$
$$A\cap B = B\cap A \rm \hspace{2.75cm}(Kommutativgesetz),$$
$$(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C) \rm \hspace{0.45cm}(Assoziativgesetz).$$


  • Ist über  $A$  und  $B$  nichts weiter bekannt, so kann für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge keine Aussage getroffen werden.
  • Gilt jedoch  ${\rm Pr} (A) \le 1/2$  und gleichzeitig  ${\rm Pr} (B) \le 1/2$, so kann eine untere und eine obere Schranke angegeben werden:
$$0 \le {\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}\ \big({\rm Pr} (A),\ {\rm Pr} (B)\big ).$$
  • ${\rm Pr}(A ∩ B)$  wird manchmal auch „Verbundwahrscheinlichkeit” genannt und mit  ${\rm Pr}(A, \ B)$  bezeichnet.
  • ${\rm Pr}(A ∩ B)$  ist gleich der oberen Schranke, wenn  $A$  eine  Teilmenge  von  $B$  ist oder umgekehrt.
  • Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von  disjunkten Mengen.


$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten wieder die beiden Ereignisse

  • $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich  $5$”$ = \{5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$, und
  • $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig”$ = \{2, 4, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,


Die Schnittmenge beinhaltet nur ein einziges Element:   $(A ∩ B) = \{ 6 \}$   ⇒   ${\rm Pr} (A ∩ B) = 1/6$.

  • Die obere Schranke ergibt sich zu  ${\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}\ \big ({\rm Pr} (A), \, {\rm Pr} (B)\big ) = 2/6.$
  • Die untere Schranke der Schnittmenge ist hier wegen  ${\rm Pr} (A) \le 1/2$  und  ${\rm Pr} (B) \le 1/2$  gleich Null.

Komplementärmenge


$\text{Definition:}$  Die  Komplementärmenge  (englisch:  Complementary Set)  von  $A$  wird oft durch eine überstreichende Linie  $(\overline{A})$  gekennzeichnet.  Sie beinhaltet alle die Elemente, die in der Menge  $A$  nicht enthalten sind, und es gilt für deren Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(\overline{A}) = 1- {\rm Pr}(A).$$


Komplementärmenge im Venndiagramm

Im dargestellten Venndiagramm ist die zu  $A$  komplementäre Menge schraffiert dargestellt.  Aus diesem Schaubild sind einige mengentheoretische Beziehungen zu erkennen:

  • Die Komplementärmenge der komplementären Menge von  $A$  ist die Menge  $A$  selbst:
$$\overline{\overline{A}} = A.$$
  • Die Vereinigungsmenge einer Menge  $A$  mit ihrer Komplentärmenge ergibt die Grundmenge:
$${\rm Pr}(A \cup \overline{A}) = {\rm Pr}(G) = \rm 1.$$
  • Die Schnittmenge von $A$ mit ihrer Komplementärmenge ergibt die leere Menge:
$${\rm Pr}(A \cap \overline{A}) = {\rm Pr}({\it \phi}) \rm = 0.$$

$\text{Beispiel 3:}$  Ausgehend von der Menge

  • $A :=$ „die Augenzahl ist kleiner als  $5$” $= \{1, 2, 3, 4\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 2/3$


lautet die zugehörige Komplentärmenge:

  • $\overline{A} :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich  $5$”$ = \{5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (\overline{A})= 1 - {\rm Pr} (A) = 1 - 2/3 = 1/3.$

Echte Teilmenge – Unechte Teilmenge


Teilmengen im Venndiagramm

$\text{Definitionen:}$  Man nennt  $A$  eine  echte Teilmenge  von  $B$  (englisch:  Strict Subset)  und schreibt hierfür  $A ⊂ B$,

  • wenn alle Elemente von  $A$  auch in  $B$  enthalten sind,
  • aber nicht gleichzeitig alle Elemente von  $B$  auch in  $A$.


In diesem Fall gilt für die Wahrscheinlichkeiten:

$${\rm Pr}(A) < {\rm Pr}(B).$$

Diese mengentheoretische Relation wird durch das skizzierte Venndiagramm veranschaulicht.

Dagegen bezeichnet man  $A$  als eine  unechte Teilmenge  von  $B$  und verwendet die Notation

$$A \subseteq B = (A \subset B) \cup (A = B),$$

wenn  $A$  entweder eine echte Teilmenge von  $B$  ist oder wenn  $A$  und  $B$  gleiche Mengen sind.

  • Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann die Größenrelation  ${\rm Pr} (A) \le {\rm Pr} (B)$.
  • Das Gleichheitszeichen gilt nur für den Sonderfall  $A = B$.


Daneben gelten aber auch die beiden als  Absorptionsgesetze  bekannten Gleichungen:

$$(A \cap B) \cup A = A ,$$
$$(A \cup B) \cap A = A,$$

da die Schnittmenge  $A ∩ B$  stets eine Teilmenge von  $A$  ist, aber gleichzeitig auch  $A$  eine Teilmenge der Vereinigungsmenge  $A ∪ B$  ist.

$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten bei unserem Standardexperiment „Werfen eines Würfels”   ⇒   $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ nun die beiden Ereignisse

  • $A :=$ „die Augenzahl ist ungerade”$ = \{1, 3, 5\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 3/6$, und
  • $B :=$ „die Augenzahl ist eine Primzahl” $= \{1, 2, 3, 5\}$   ⇒   ${\rm Pr} (B)= 4/6$.


Man erkennt, dass  $A$  eine (echte) Teilmenge der Menge  $B$  ist.  Dementsprechend gilt auch  ${\rm Pr} (A) < {\rm Pr} (B).$

Theoreme von de Morgan


Zu den Theoremen von de Morgan

Bei vielen Aufgaben aus der Mengenlehre sind die beiden Theoreme von  de Morgan  äußerst nützlich. Diese lauten:

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},$$
$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$

Diese Gesetzmäßigkeiten sind im Schaubild veranschaulicht:

  • Die Menge  $A$  ist rot dargestellt und die Menge  $B$  blau.
  • Die Komplentärmenge  $\overline {A}$  von  $A$  ist in horizontaler Richtung schraffiert.
  • Die Komplentärmenge  $\overline {B}$  von  $B$  ist in vertikaler Richtung schraffiert.
  • Das Komplement  $\overline{A \cup B}$  der Vereinigungsmenge  ${A \cup B}$  ist sowohl horizontal als auch vertikal schraffiert.
  • Es ist damit gleich der Schnittmenge  $\overline{A} \cap \overline{B}$  der beiden Komplentärmengen von  $A$  und  $B$:
$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}.$$

Auch die zweite Form des de Morgan-Theorems lässt sich mit diesem Venndiagramm grafisch verdeutlichen:

  • Die Schnittmenge  $A ∩ B$  (im Bild violett dargestellt) ist weder horizontal noch vertikal schraffiert.
  • Das Komplement  $\overline{A ∩ B}$  der Schnittmenge ist dementsprechend entweder horizontal, vertikal oder in beiden Richtungen schraffiert.
  • Nach dem zweiten Theorem von de Morgan ist das Komplement der Schnittmenge gleich der Vereinigungsmenge der beiden Komplentärmengen von  $A$  und  $B$:
$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$

$\text{Beispiel 5:}$  Wir betrachten die beiden Mengen

  • $A : =$ „die Augenzahl ist ungeradzahlig” $= \{1, 3, 5\}$,
  • $B : =$ „die Augenzahl ist größer als  $2$” $= \{3, 4, 5, 6\}$.


Daraus folgen die beiden komplementären Mengen

  • $\overline {A} : =$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$,
  • $\overline {B} : =$ „die Augenzahl ist kleiner als  $3$” $= \{1, 2\}$.


Weiter erhält man mit den obigen Theoremen die folgenden Teilmengen:

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{2\}\hspace{0.5 cm}\rm und \hspace{0.5cm} \overline{\it A \cap \it B} =\overline{\it A} \cup \overline{\it B} = \{1,2,4,6\}.$$

Disjunkte Mengen


$\text{Definition:}$  Zwei Mengen  $A$  und  $B$  nennt man  disjunkt  (englisch:  disjoint)  oder  miteinander unvereinbar,

  • wenn es kein einziges Element gibt,
  • das sowohl in  $A$  als auch in  $B$  enthalten ist.


Disjunkte Mengen im Venndiagramm

Das Schaubild zeigt zwei disjunkte Mengen  $A$  und  $B$  im Venndiagramm.

In diesem Sonderfall gelten die folgenden Aussagen:

  • Die Schnittmenge zweier disjunkter Mengen  $A$  und  $B$  ergibt stets die leere Menge:
$${\rm Pr}(A \cap B) = {\rm Pr}(\phi) = \rm 0.$$
  • Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge zweier disjunkter Mengen  $A$  und  $B$  ist immer gleich der Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten:
$${\rm Pr}( A \cup B) = {\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B).$$


$\text{Beispiel 6:}$  Bei unserem Standardexperiment sind die beiden Mengen

  • $A :=$ „die Augenzahl ist kleiner als  $3$”$ = \{1, 2\}$   ⇒   ${\rm Pr}( A) = 2/6$, und
  • $B :=$ „die Augenzahl ist größer als  $3$” $ = \{4, 5,6\}$   ⇒   ${\rm Pr}( B) = 3/6$


zueinander disjunkt, da  $A$  und  $B$  kein einziges gemeinsames Element beinhalten.

  • Die Schnittmenge ergibt die leere Menge:  ${A \cap B} = \phi$.
  • Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge  ${A \cup B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$  ist gleich  ${\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B) = 5/6.$

Additionstheorem


Nur bei disjunkten Mengen  $A$  und  $B$  gilt für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge der Zusammenhang  ${\rm Pr}( A \cup B) = {\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B)$.  Wie errechnet sich diese Wahrscheinlichkeit aber bei allgemeinen, nicht notwendigerweise disjunkten Ereignissen?

Zum Additionstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Betrachten Sie das rechte Venndiagramm mit der violett dargestellten Schnittmenge  $A ∩ B$.

  • Die rote Menge beinhaltet alle Elemente, die zu  $A$  gehören, aber nicht zu  $B$.
  • Die Elemente von  $B$, die nicht gleichzeitig in  $A$  enthalten sind, sind blau dargestellt.
  • Alle roten, blauen und violetten Flächen zusammen ergeben die Vereinigungsmenge  $A ∪ B$.


Aus dieser mengentheoretischen Darstellung erkennt man folgende Zusammenhänge:

$${\rm Pr}(A) \hspace{0.8cm}= {\rm Pr}(A \cap B) + {\rm Pr}(A \cap \overline{B}),$$
$${\rm Pr}(B) \hspace{0.8cm}= {\rm Pr}(A \cap B) \rm +{\rm Pr}(\overline{A} \cap {B}),$$
$${\rm Pr}(A \cup B) ={\rm Pr}(A \cap B) +{\rm Pr} ({A} \cap \overline{B}) \rm + {\rm Pr}(\overline{A} \cap {B}).$$

Addiert man die ersten beiden Gleichungen und subtrahiert davon die dritte, so erhält man:

$${\rm Pr}(A) \rm +{\rm Pr}(B) -{\rm Pr}(A \cup B) = {\rm Pr}(A \cap B).$$

$\text{Definition:}$  Durch Umstellen dieser Gleichung kommt man zum sogenannten  Additionstheorem  (englisch:  Addition Rule)  für zwei beliebige, nicht notwendigerweise disjunkte Ereignisse:

$${\rm Pr}(A \cup B) = {\rm Pr}(A) + {\rm Pr}(B) - {\rm Pr}(A \cap B).$$


$\text{Beispiel 7:}$  Wir betrachten die beiden Mengen

  • $A :=$ „die Augenzahl ist ungeradzahlig” $= \{1, 3, 5\}$   ⇒   ${\rm Pr}(A) = 3/6$, und
  • $B :=$ „die Augenzahl ist größer als  $2$”$ = \{3, 4, 5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr}(B) = 4/6$.


Damit ergeben sich für die Wahrscheinlichkeiten

  • der Vereinigungsmenge   ⇒   ${\rm Pr}(A ∪ B) = 5/6$, und
  • der Schnittmenge   ⇒   ${\rm Pr}(A ∩ B) = 2/6$.


Die Zahlenwerte zeigen die Gültigkeit des Additionstheorems:   $5/6 = 3/6 + 4/6 − 2/6$.

Vollständiges System


Im letzten Abschnitt zu diesem Kapitel betrachten wir wieder mehr als zwei mögliche Ereignisse, nämlich allgemein  $I$.  Diese Ereignisse werden im Folgenden mit  $A_i$  bezeichnet, und es gilt für den Laufindex:   $1 ≤ i ≤ I$.

$\text{Definition:}$  Eine Konstellation mit den Ereignissen  $A_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , A_i, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , A_I$  bezeichnet man dann und nur dann als ein  vollständiges System, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(1)   Alle Ereignisse sind paarweise disjunkt:

$$A_i \cap A_j = \it \phi \hspace{0.15cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}alle\hspace{0.15cm}\it i \ne j.$$

(2)   Die Vereinigung aller Ereignismengen ergibt die Grundmenge:

$$\bigcup_{i=1}^{I} A_i = G.$$


Aufgrund dieser beiden Voraussetzungen gilt dann für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten:

$$\sum_{i =1}^{ I} {\rm Pr}(A_i) = 1.$$

$\text{Beispiel 8:}$  Die Ereignismengen  $A_1 := \{1, 5\}$  und  $A_2 := \{2, 3\}$  ergeben beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels” zusammen mit der Menge  $A_3 := \{4, 6\}$  ein vollständiges System, nicht jedoch beim Experiment „Werfen einer Roulettekugel”.


$\text{Beispiel 9:}$  Ein weiteres Beispiel für ein vollständiges System ist die diskrete Zufallsgröße  $X = \{ x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$  mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechend der folgenden  Wahrscheinlichkeitsfunktion:

$$P_X(X) = \big [ \hspace{0.1cm} P_X(x_1), P_X(x_2), \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm}, P_X(x_I) \hspace{0.05cm} \big ] = \big [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm}, p_I \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_1 = P_X(x_1) = {\rm Pr}(X=x_1) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_2 = {\rm Pr}(X=x_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm},\hspace{0.2cm} p_I = {\rm Pr}(X=x_I) \hspace{0.05cm}.$$

Die möglichen Ergebnisse  $x_i$  der Zufallsgröße  $X$  sind paarweise zueinander disjunkt und die Summe aller Auftrittswahrscheinlichkeiten  $p_1 + p_2 + \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} + \hspace{0.05cm} p_I$  liefert grundsätzlich das Ergebnis  $1$.


$\text{Beispiel 10:}$  Es gelte  $X= \{0, 1, 2 \}$  und  $P_X (X) = \big[0.2, \ 0.5, \ 0.3\big]$. Dann gilt:

$${\rm Pr}(X=0) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=1) = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=2) = 0.3 \hspace{0.05cm}.$$

Bei der Zufallsgröße  $X = \{1, \pi, {\rm e} \}$  und gleichem  $P_X(X) = \big[0.2, \ 0.5, \ 0.3\big]$  lauten die Zuordnungen:

$${\rm Pr}(X=1) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=\pi) = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X={\rm e}) = 0.3 \hspace{0.05cm}.$$


Hinweise:

  • Die  Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$  macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$  der Zufallsgröße  $X$.
  • Diese zusätzliche Information liefert die  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  (WDF).

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler)

Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen

Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgenwo

Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?