Linearkombinationen von Zufallsgrößen
Voraussetzungen und Mittelwerte
In diesem Kapitel 4.3 gehen wir von den folgenden Annahmen aus:
- Die Zufallsgrößen $u$ und $υ$ seien jeweils mittelwertfrei ⇒ $m_u = m_υ =$ 0 und zudem statistisch unabhängig voneinander ⇒ $ρ_{uυ} =$ 0.
- Die beiden Zufallsgrößen $u$ und $υ$ besitzen jeweils gleiche Streuung $σ$. Über die Art der Verteilung wird keine Aussage getroffen.
- Die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ seien Linearkombinationen von $u$ und $υ$, wobei gilt:
$$x=A \cdot u + B \cdot v + C,$$ $$y=D \cdot u + E \cdot v + F.$$
Für die (linearen) Mittelwerte der neuen Zufallsgrößen $x$ und $y$ erhält man nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte: $$m_x =A \cdot m_u + B \cdot m_v + C =C,$$ $$m_y =D \cdot m_u + E \cdot m_v + F =F.$$ Die Koeffizienten $C$ und $F$ geben somit lediglich die Mittelwerte von $x$ und $y$ an. Beide werden auf den folgenden Seiten stets zu 0 gesetzt.
Resultierender Korrelationskoeffizient
Betrachten wir nun die Varianzen nach den Linearkombinationen. Für die Zufallsgröße $x$ gilt unabhängig vom Parameter $C$: $$\sigma _x ^2 = {\rm E}[x ^{\rm 2}] = A^{\rm 2} \cdot {\rm E}[u^{\rm 2}] + B^{\rm 2} \cdot {\rm E}[v^{\rm 2}] + {\rm 2} \cdot A \cdot B \cdot {\rm E}[u \cdot v].$$
Die Erwartungswerte von $u^2$ und $υ^2$ sind definitionsgemäß jeweils gleich $σ^2$. Da $u$ und $υ$ als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden, kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben: $${\rm E}[u \cdot v] = {\rm E}[u] \cdot {\rm E}[v] = m_u \cdot m_v = \rm 0.$$ Damit erhält man für die Varianzen der durch Linearkombinationen gebildeten Zufallsgrößen: $$\sigma _x ^2 =(A^2 + B^2) \cdot \sigma ^2,$$ $$\sigma _y ^2 =(D^2 + E^2) \cdot \sigma ^2.$$
Die Kovarianz $μ_{xy}$ ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen $x$ und $y$ ⇒ $C = F =$ 0 identisch mit dem gemeinsamen Moment $m_{xy}$: $$\mu_{xy } = m_{xy } = {\rm E}[x \cdot y] = {\rm E}[(A \cdot u + B \cdot v)(D \cdot u + E \cdot v)].$$ Beachten Sie hierbei, dass E[ ] einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt. Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus: $$\mu_{xy } = (A \cdot D + B \cdot E) \cdot \sigma^{\rm 2 }$$ $$\Rightarrow\hspace{0.3cm} \rho_{xy } = \frac{\rho_{xy }}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac {A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^{\rm 2}+B^{\rm 2})(D^{\rm 2}+E^{\rm 2})}}. $$
Schließen wir die Sonderfälle $A = B =$ 0 (d. h. $x ≡$ 0) sowie $D = E =$ 0 (d. h. $y ≡$ 0) aus, so liefert die Gleichung stets eindeutige Werte für den Korrelationskoeffizienten im Bereich –1 ≤ $ρ_{xy}$ ≤ +1.
Setzen wir zum Beispiel $A = E =$ 0, so ergibt sich der Korrelationskoeffizient $ρ_{xy} =$ 0. Dieses Ergebnis ist einsichtig: Nun hängt $x$ nur noch von $υ$ und $y$ ausschließlich von $u$ ab. Da aber $u$ und $υ$ als statistisch unabhängig angenommen wurden, bestehen keine Beziehungen zwischen $x$ und $y$. – Ebenso ergibt sich $ρ_{xy} =$ 0 für $B = D =$ 0.
Die Konstellation $B = E =$ 0 führt dazu, dass sowohl $x$ als auch $y$ nur noch von $u$ abhängen. In diesem Fall ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten $ρ_{xy} =$ ±1: $$\rho_{xy } = \frac {A \cdot D }{\sqrt{A^{\rm 2}\cdot D^{\rm 2}}} = \frac {A \cdot D }{|A| \cdot |D| } =\pm 1. $$ Besitzen $A$ und $D$ gleiches Vorzeichen, so ist $ρ_{xy} =$ +1. Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient –1. – Auch für $A = D =$ 0 ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} =$ ±1.
Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen
Die Gleichungen der letzten Seite können zur Erzeugung einer zweidimensionalen Zufallsgröße $(x, y)$ mit vorgegebenen Kenngrößen $σ_x, σ_y$ und $ρ_{xy}$ genutzt werden. Wenn außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen werden, ist einer der vier Koeffizienten $A, B, D$ und $E$ frei wählbar. Im Folgenden wird stets willkürlich $E =$ 0 gesetzt.
Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $υ$ jeweils die gleiche Streuung $σ =$ 1 aufweisen, erhält man: $$D = \sigma_y, \hspace{2cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{2cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$ Bei $σ ≠$ 1 sind diese Werte jeweils noch durch $σ$ zu dividieren.
Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =$ 1, $σ_y =$ 1.55 und $ρ_{xy} =$ –0.8 eignet sich z. B. der Parametersatz $A =$ –0.8, $B =$ 0.6, $D =$ 1.55, $E =$ 0, der dem linken Bild zugrundeliegt.
- Die Zufallsgrößen $u$ und $υ$ sind dabei gaußförmig und besitzen jeweils die Streuung $σ =$ 1.
- Die Korrelationsgerade $y = K · x$ (rot dargestellt) verläuft unter einem Winkel von etwa –50 Grad. Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse.
Mit den Parameterwerten $A =$ –0.625, $B =$ 0.781, $D =$ 1.501 und $E =$ –0.390 entsprechend der rechten Grafik erhält man – im statistischen Sinne – das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
