Stochastische Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum (LDS): Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(2 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 7: Zeile 7:
 
==Theorem von Wiener-Chintchine==
 
==Theorem von Wiener-Chintchine==
 
<br>
 
<br>
Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse. Wie im  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|letzten Kapitel]]  gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:   
+
Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse.&nbsp; Wie im&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|letzten Kapitel]]&nbsp; gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:   
*Jede einzelne Musterfunktion $x_i(t)$ ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$.  
+
*Jede einzelne Musterfunktion&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$.  
 
*Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.  
 
*Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.  
*Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz $τ = t_2 – t_1$ ab:  
+
*Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz&nbsp; $τ = t_2 – t_1$&nbsp; ab:  
:$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$
+
:$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}\big[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})\big] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$
  
Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses $\{x_i(t)\}$ im Zeitbereich. Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die ''spektrale Leistungsdichte,'' häufig auch als &bdquo;Leistungsdichtespektrum&rdquo; bezeichnet.  
+
Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; im Zeitbereich.&nbsp; Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die ''spektrale Leistungsdichte '', häufig auch als &bdquo;Leistungsdichtespektrum&rdquo; bezeichnet.  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp; Das '''Leistungsdichtespektrum''' (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF):  
+
$\text{Definition:}$&nbsp; Das&nbsp; '''Leistungsdichtespektrum'''&nbsp; (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF):  
$${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\pi} f \tau} {\rm d} \tau. $$
+
:$${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} \tau. $$
Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchine]. }}
+
Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchin]. }}
  
  
Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]] im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo;):  
+
Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]&nbsp; im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo;):  
:$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x  \cdot {\rm e}^{{\rm j\pi} f \tau} {\rm d} f.$$
+
:$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x  \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} f.$$
 
*Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet.  
 
*Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet.  
*Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Leistungsdichtespektrum_mit_Gleichsignalkomponente|Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente]] vorgehen.  
+
*Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Leistungsdichtespektrum_mit_Gleichsignalkomponente|Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente]]&nbsp; vorgehen.  
  
 
==Physikalische Interpretation und Messung==
 
==Physikalische Interpretation und Messung==
 
<br>
 
<br>
Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums ${\it \Phi}_x(f)$.
+
Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$.
  
 
[[Datei: P_ID387__Sto_T_4_5_S2_neu.png |center|frame| Zur Messung des Leistungsdichtespektrums]]
 
[[Datei: P_ID387__Sto_T_4_5_S2_neu.png |center|frame| Zur Messung des Leistungsdichtespektrums]]
  
Hierzu ist folgendes anzumerken:  
+
Hierzu ist Folgendes anzumerken:  
*Das Zufallssignal $x(t)$ wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz $f$ und Bandbreite $Δf$ gegeben, wobei $Δf$ entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.  
+
*Das Zufallssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz&nbsp; $f$&nbsp; und Bandbreite&nbsp; $Δf$&nbsp; gegeben, wobei&nbsp; $Δf$&nbsp; entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.  
*Das entsprechende Ausgangssignal $x_f(t)$ wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer $T_{\rm M}$ gebildet. Damit erhält man die Leistung von $x_f(t)$ bzw. die Leistungsanteile von $x(t)$ im Spektralbereich von $f - Δf/2$ bis $f + Δf/2$:
+
*Das entsprechende Ausgangssignal&nbsp; $x_f(t)$&nbsp; wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; gebildet.&nbsp; Damit erhält man die Leistung von&nbsp; $x_f(t)$&nbsp; bzw. die Leistungsanteile von&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Spektralbereich von&nbsp; $f - Δf/2$&nbsp; bis&nbsp; $f + Δf/2$:
:$$P_{x_f} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f(t)^2 \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
+
:$$P_{x_f} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
*Die Division durch $Δf$ führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte:  
+
*Die Division durch&nbsp; $Δf$&nbsp; führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte:  
 
:$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f)  =\frac{P_{x_f}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.}  \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{x_f}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$
 
:$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f)  =\frac{P_{x_f}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.}  \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{x_f}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$
:Hierbei bezeichnet ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$ das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS. Für negative Frequenzen ist ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$. Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: &nbsp; ${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f)$.
+
:Hierbei bezeichnet&nbsp; ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$&nbsp; das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS.&nbsp; Für negative Frequenzen ist&nbsp; ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$.&nbsp; Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: &nbsp; ${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f)$.
*Während die Leistung $P_{x_f}$ mit kleiner werdender Bandbreite $Δf$ gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von $Δf$ nahezu konstant. Für die exakte Bestimmung von ${\it \Phi}_x(f)$ sind zwei Grenzübergänge notwendig:
+
*Während die Leistung&nbsp; $P_{x_f}$&nbsp; mit kleiner werdender Bandbreite&nbsp; $Δf$&nbsp; gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von&nbsp; $Δf$&nbsp; nahezu konstant.&nbsp; Für die exakte Bestimmung von&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; sind zwei Grenzübergänge notwendig:
 
:$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
 
:$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Fazit:}$&nbsp; Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann. Die gesamte Signalleistung von $x(t)$ erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:  
+
$\text{Fazit:}$&nbsp;  
 +
*Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann.&nbsp;
 +
*Die gesamte Signalleistung von&nbsp; $x(t)$&nbsp; erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:  
 
:$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$}}
 
:$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$}}
  
 
==Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite==
 
==Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite==
 
<br>
 
<br>
Alle  im  Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] können auch auf die
+
Alle  im  Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; können auch auf die&nbsp; ''Autokorrelationsfunktion''&nbsp; (AKF) und das&nbsp; ''Leistungsdichtespektrum''&nbsp; (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden.  
[[Datei:P_ID390__Sto_T_4_5_S3_Ganz_neu.png |frame| Zum Reziprozitätsgesetz von AKF und LDS]] ''Autokorrelationsfunktion'' (AKF) und das ''Leistungsdichtespektrum'' (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden. Aufgrund der spezifischen Eigenschaften  
+
 
*von Autokorrelationsfunktion (stets reell und gerade) und
+
[[Datei:P_ID390__Sto_T_4_5_S3_Ganz_neu.png |frame| Zum Reziprozitätsgesetz von AKF und LDS]]
*Leistungsdichtespektrum (stets reell, gerade und nicht-negativ)  
+
Aufgrund der spezifischen Eigenschaften  
 +
*von Autokorrelationsfunktion&nbsp; (stets reell und gerade)  
 +
*und Leistungsdichtespektrum&nbsp; (stets reell, gerade und nicht&ndash;negativ)  
  
  
 
liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.  
 
liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.  
  
 
+
Wir betrachten nun wie im Abschnitt&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; und&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; anhand  
Wir betrachten nun wie im Abschnitt [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]] zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ anhand  
+
*der beiden Mustersignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$  &nbsp; ⇒  &nbsp; obere Skizze,  
*der beiden Mustersignale $x(t)$ bzw. $y(t)$  &nbsp; ⇒  &nbsp; obere Skizze,  
+
*der beiden Autokorrelationsfunktionen&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; und&nbsp; $φ_y(τ)$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  mittlere Skizze,  
*der beiden Autokorrelationsfunktionen $φ_x(τ)$ bzw. $φ_y(τ)$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  mittlere Skizze,  
+
*der beiden Leistungsdichtespektren&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$ &nbsp; ⇒  &nbsp;  untere Skizze.
*der beiden Leistungsdichtespektren ${\it \Phi}_x(f)$ bzw. ${\it \Phi}_y(f)$ &nbsp; ⇒  &nbsp;  untere Skizze.
+
<br clear=all>
 
 
 
 
 
Anhand dieser Grafiken sind folgende Aussagen möglich:  
 
Anhand dieser Grafiken sind folgende Aussagen möglich:  
*Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich  &nbsp; ⇒  &nbsp;  die Prozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ besitzen gleiche Leistung:  
+
*Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich  &nbsp; ⇒  &nbsp;  die Prozesse&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; und&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; besitzen gleiche Leistung:  
 
:$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm}  =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$
 
:$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm}  =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$
*Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite]] gilt hier ebenfalls: &nbsp; Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.  
+
*Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite]]&nbsp; gilt hier ebenfalls: &nbsp; <br>Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.  
*Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ (man spricht ''Nabla-f''), ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer $∇τ$ im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]]:  
+
*Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite&nbsp; $∇f$&nbsp; $($man spricht&bdquo;Nabla-f&rdquo;$)$, ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer&nbsp; $∇τ$&nbsp; im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]]:  
 
:$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$
 
:$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$
 
*Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:  
 
*Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:  
Zeile 74: Zeile 76:
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Wir gehen von der obigen Grafik aus:  
+
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Wir gehen von der Grafik oben auf dieser Seite aus:  
*Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals $x(t)$ sind $∇τ_x = 0.33\hspace{0.08cm} \rm &micro;s$ &nbsp;und&nbsp; $∇f_x = 3 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.  
+
*Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; sind&nbsp; $∇τ_x = 0.33\hspace{0.08cm} \rm &micro;s$&nbsp; &nbsp;und&nbsp; $∇f_x = 3 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.  
*Die äquivalente AKF-Dauer des Signals $y(t)$ ist dreimal so groß: &nbsp; $∇τ_y = 1 \hspace{0.08cm} \rm &micro;s$.  
+
*Die äquivalente AKF-Dauer des Signals&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist dreimal so groß: &nbsp; $∇τ_y = 1 \hspace{0.08cm} \rm &micro;s$.  
*Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$. }}
+
*Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr&nbsp; $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$. }}
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
$\text{Allgemein gilt:}$&nbsp;  
 
$\text{Allgemein gilt:}$&nbsp;  
Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer ${ {\rm \nabla} \tau_x}$ und äquivalenter LDS-Bandbreite $ { {\rm \nabla} f_x}$ ist gleich $1$:  
+
Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer&nbsp; ${ {\rm \nabla} \tau_x}$&nbsp; und äquivalenter LDS-Bandbreite&nbsp; $ { {\rm \nabla} f_x}$&nbsp; ist immer gleich&nbsp; $1$:  
 
:$${ {\rm \nabla} \tau_x} \cdot  { {\rm \nabla} f_x} = 1.$$}}
 
:$${ {\rm \nabla} \tau_x} \cdot  { {\rm \nabla} f_x} = 1.$$}}
  
Zeile 91: Zeile 93:
 
:$${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it  \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it  \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it  \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$
 
:$${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it  \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it  \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it  \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$
  
Das Produkt ist somit gleich $1$.
+
Das Produkt ist somit gleich&nbsp; $1$.
 
<div align="right">'''q.e.d.'''</div> }}
 
<div align="right">'''q.e.d.'''</div> }}
  
Zeile 97: Zeile 99:
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;   
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;   
Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte '''Weiße Rauschen''' dar:  
+
Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte&nbsp; '''Weiße Rauschen'''&nbsp; dar:  
*Dieses beinhaltet alle Spektralanteile (bis ins Unendliche).
+
*Dieses beinhaltet alle Spektralanteile&nbsp; (bis ins Unendliche).
*Die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ ist unendlich groß.  
+
*Die äquivalente LDS-Bandbreite&nbsp; $∇f$&nbsp; ist unendlich groß.  
  
  
Das hier angegebene Gesetz besagt, dass damit für die äquivalente AKF-Dauer $∇τ = 0$ gelten muss &nbsp; &rArr; &nbsp; das  weiße Rauschen besitzt eine diracförmige AKF.  
+
Das hier angegebene Gesetz besagt, dass damit für die äquivalente AKF-Dauer&nbsp; $∇τ = 0$&nbsp; gelten muss &nbsp; &rArr; &nbsp; das  weiße Rauschen besitzt eine diracförmige AKF.  
  
Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN-Kanal]], insbesondere im zweiten Teil.}}  
+
Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN-Kanal]], insbesondere im zweiten Teil.}}  
  
  
 
==Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente==
 
==Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente==
 
<br>
 
<br>
Wir gehen zunächst von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ aus. Weiterhin setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet.  
+
Wir gehen von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; aus.&nbsp; Weiter setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet.&nbsp; Dann gilt:
 +
*Die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $φ_x(τ)$ verschwindet&nbsp; für&nbsp; $τ → ∞$.
 +
*Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it  \Phi}_x(f)$ &nbsp;–&nbsp; berechenbar als die Fouriertransformierte von&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; –&nbsp; ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich, also ohne diskrete Anteile.  
  
Dann gilt:
 
*Die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ verschwindet für $τ → ∞$.
 
*Das Leistungsdichtespektrum ${\it  \Phi}_x(f)$ – berechenbar als die Fouriertransformierte von $φ_x(τ)$ – ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich, also ohne diskrete Anteile.
 
  
 
+
Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$, der sich vom Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente&nbsp; $m_y$&nbsp; unterscheidet:  
Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess $\{y_i(t)\}$, der sich vom Prozess $\{x_i(t)\}$ lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente $m_y$ unterscheidet:  
 
 
:$$\left\{ y_i (t)  \right\} = \left\{ x_i (t)  + m_y \right\}.$$
 
:$$\left\{ y_i (t)  \right\} = \left\{ x_i (t)  + m_y \right\}.$$
  
Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses $\{y_i(t)\}$ weisen dann folgende Eigenschaften auf:  
+
Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; weisen dann folgende Eigenschaften auf:  
*Der Grenzwert der AKF für $τ → ∞$ ist nun nicht mehr Null, sondern $m_y^2$. Im gesamten $τ$-Bereich von $–∞$ bis $+∞$ ist die AKF $φ_y(τ)$ um $m_y^2$ größer als $φ_x(τ)$:
+
*Der Grenzwert der AKF für&nbsp; $τ → ∞$&nbsp; ist nun nicht mehr Null, sondern&nbsp; $m_y^2$.&nbsp; Im gesamten&nbsp; $τ$&ndash;Bereich von&nbsp; $–∞$&nbsp; bis&nbsp; $+∞$&nbsp; ist die AKF&nbsp; $φ_y(τ)$&nbsp; um&nbsp; $m_y^2$&nbsp; größer als&nbsp; $φ_x(τ)$:
 
:$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$
 
:$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$
*Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im LDS zu einer Diracfunktion $δ(f)$ mit dem Gewicht $m_y^2$:
+
*Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im LDS zu einer Diracfunktion&nbsp; $δ(f)$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $m_y^2$:
 
:$${{\it  \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2  \cdot \delta (f). $$
 
:$${{\it  \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2  \cdot \delta (f). $$
  
*Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]]  des Buches „Signaldarstellung”.  
+
Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]]&nbsp; des Buches „Signaldarstellung”.&nbsp; 
*Weiterhin möchten wir Sie auf das Lernvideo [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]] hinweisen.
+
Weiterhin möchten wir Sie hier auf das Lernvideo&nbsp; [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]]&nbsp; hinweisen.
  
 
==Numerische LDS-Ermittlung==
 
==Numerische LDS-Ermittlung==
 
<br>
 
<br>
Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation|Fouriertransformation]]  streng miteinander verknüpft. Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung mit dem Abtastoperator ${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} $, also für  
+
Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Fouriertransformation|Fouriertransformation]]&nbsp; streng miteinander verknüpft.&nbsp; Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung mit dem Abtastoperator&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} $,&nbsp; also für  
 
:$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} = \varphi_x ( \tau ) \cdot \sum_{k= - \infty}^{\infty} T_{\rm A} \cdot \delta ( \tau - k \cdot T_{\rm A}).$$
 
:$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} = \varphi_x ( \tau ) \cdot \sum_{k= - \infty}^{\infty} T_{\rm A} \cdot \delta ( \tau - k \cdot T_{\rm A}).$$
  
 
Der Übergang vom Zeit&ndash; in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:  
 
Der Übergang vom Zeit&ndash; in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:  
*Der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite $B_x$ (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses) über das Abtasttheorem festgelegt:  
+
*Der Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite&nbsp; $B_x$&nbsp; (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses)&nbsp; über das Abtasttheorem festgelegt:  
 
:$$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$
 
:$$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$
*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten (abgetasteten) AKF ergibt ein mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodisches LDS:  
+
*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten&nbsp; (abgetasteten)&nbsp; AKF ergibt ein mit&nbsp; ${\rm 1}/T_{\rm A}$&nbsp; periodisches LDS:  
 
:$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \}  \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$
 
:$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \}  \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Fazit:}$&nbsp; Da sowohl $φ_x(τ)$ als auch ${\it \Phi}_x(f)$ gerade und reelle Funktionen sind, gilt der Zusammenhang:
+
$\text{Fazit:}$&nbsp; Da sowohl&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; als auch&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; gerade und reelle Funktionen sind, gilt der Zusammenhang:
 
:$${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot  \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x  ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$  
 
:$${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot  \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x  ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$  
*Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$ durch Bandbegrenzung auf den Frequenzbereich $\vert f \vert  ≤ 1/(2T_{\rm A})$.  
+
*Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus&nbsp; ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$&nbsp; durch Bandbegrenzung auf den Bereich&nbsp; $\vert f \vert  ≤ 1/(2T_{\rm A})$.  
*Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der ${\rm si}$&ndash;Funktion, wobei ${\rm si}(x)$ für $\sin(x)/x$ steht. }}
+
*Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der&nbsp; ${\rm si}$&ndash;Funktion, wobei&nbsp; ${\rm si}(x)$&nbsp; für&nbsp; $\sin(x)/x$&nbsp; steht. }}
  
  
 
[[Datei:P_ID425__Sto_T_4_5_S5_neu.png |right|frame| Zeitdiskrete AKF und periodisch fortgesetztes LDS]]
 
[[Datei:P_ID425__Sto_T_4_5_S5_neu.png |right|frame| Zeitdiskrete AKF und periodisch fortgesetztes LDS]]
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;  Eine gaußförmige AKF $φ_x(τ)$ wird im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist:
+
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;  Eine gaußförmige AKF&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; wird im Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist:
*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$ sei ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$. Diese mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodische Funktion  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$ ist dementsprechend unendlich weit ausgedehnt ( roter Kurvenzug ).  
+
*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF&nbsp; ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$&nbsp; sei&nbsp; ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$.&nbsp;
*Das LDS ${\it \Phi}_x(f)$ des zeitkontinuierlichen Prozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich $\vert f · T_{\rm A} \vert  ≤ 0.5$. }}
+
*Diese mit&nbsp; ${\rm 1}/T_{\rm A}$&nbsp; periodische Funktion&nbsp; ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$&nbsp; ist dementsprechend unendlich weit ausgedehnt ( roter Kurvenzug ).  
 +
*Das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; des zeitkontinuierlichen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich&nbsp; $\vert f · T_{\rm A} \vert  ≤ 0.5$. }}
  
 
==Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung==
 
==Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung==
 
<br>
 
<br>
 
Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:  
 
Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:  
*Die zeitdiskrete AKF $φ_x(k · T_{\rm A})$ wurde aus $N$ Abtastwerten numerisch ermittelt. Wie bereits auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Genauigkeit_der_numerischen_AKF-Berechnung|Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung]]  gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn $N$ zu klein gewählt wurde.
+
*Die zeitdiskrete AKF&nbsp; $φ_x(k · T_{\rm A})$&nbsp; wurde aus&nbsp; $N$&nbsp; Abtastwerten numerisch ermittelt.&nbsp; Wie bereits auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Genauigkeit_der_numerischen_AKF-Berechnung|Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung]]&nbsp; gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn&nbsp; $N$&nbsp; zu klein gewählt wurde.
*Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:  
+
*Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte&nbsp; $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:  
 
:$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot  \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x  ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$
 
:$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot  \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x  ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
$\text{Fazit:}$&nbsp;  
 
$\text{Fazit:}$&nbsp;  
Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter $K$ bestimmt:   
+
Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter&nbsp; $K$&nbsp; bestimmt:   
*Ist $K$ zu klein gewählt, so werden die eigrntlich vorhandenen AKF-Werte $φ_x(k · T_{\rm A})$ mit $k > K$ nicht berücksichtigt.  
+
*Ist&nbsp; $K$&nbsp; zu klein gewählt, so werden die eigentlich vorhandenen AKF-Werte&nbsp; $φ_x(k · T_{\rm A})$&nbsp; mit&nbsp; $k > K$&nbsp; nicht berücksichtigt.  
*Bei zu großem $K$ werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen AKF-Berechnung endlich sind.  
+
*Bei zu großem&nbsp; $K$&nbsp; werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen AKF-Berechnung endlich sind.  
*Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines $N$ bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern. }}
+
*Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines&nbsp; $N$&nbsp; bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern. }}
  
  
 +
[[Datei:P_ID643__Sto_T_4_5_S5_b.png |450px|right|frame| Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung]]
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten.  
 
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten.  
*Deshalb sollte nur der AKF–Wert $φ_x(0) = σ_x^2$ von $0$ verschieden ist.  
+
*Deshalb sollte nur der AKF–Wert&nbsp; $φ_x(0) = σ_x^2$&nbsp; von Null verschieden ist.  
*Ermittelt man aber  die AKF numerisch aus lediglich $N = 1000$ Abtastwerten, so erhält man auch für $k ≠ 0$ endliche AKF–Werte.
+
*Ermittelt man aber  die AKF numerisch aus lediglich&nbsp; $N = 1000$&nbsp; Abtastwerten, so erhält man auch für&nbsp; $k ≠ 0$&nbsp; endliche AKF–Werte.  
 
 
[[Datei:P_ID643__Sto_T_4_5_S5_b.png |450px|center|frame| Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung]]
 
 
 
*Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften AKF&ndash;Werte bis zu $6\%$ des Maximalwertes betragen können.
 
*Unten ist das numerisch ermittelte LDS dargestellt. Gelb ist der theoretische Verlauf dargestellt, der für $\vert f · T_{\rm A} \vert  ≤ 0.5$ konstant sein sollte.
 
*Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch $K = 3$ &nbsp;bzw.&nbsp; $K = 10$ das Ergebnis gegenüber $K = 0$ verfälscht wird.
 
 
 
  
In diesem Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$. Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$.  
+
*Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften AKF&ndash;Werte bis zu&nbsp; $6\%$&nbsp; des Maximalwertes betragen können.
 +
*Unten ist das numerisch ermittelte Leistungsdichtespektrum dargestellt.&nbsp; Gelb ist der theoretische Verlauf dargestellt, der für&nbsp; $\vert f · T_{\rm A} \vert  ≤ 0.5$&nbsp; konstant sein sollte.
 +
*Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch&nbsp; $K = 3$ &nbsp;bzw.&nbsp; $K = 10$&nbsp; das Ergebnis gegenüber&nbsp; $K = 0$&nbsp; verfälscht wird.
 +
<br clear=all>
 +
In diesem Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$.&nbsp; Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$.  
 
*Wird dieser zu klein gewählt, so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt.  
 
*Wird dieser zu klein gewählt, so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt.  
 
*Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen, die nur auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.}}  
 
*Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen, die nur auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.}}  

Aktuelle Version vom 30. November 2019, 17:49 Uhr

Theorem von Wiener-Chintchine


Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse.  Wie im  letzten Kapitel  gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:

  • Jede einzelne Musterfunktion  $x_i(t)$  ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$.
  • Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
  • Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz  $τ = t_2 – t_1$  ab:
$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}\big[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})\big] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$

Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  im Zeitbereich.  Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die spektrale Leistungsdichte , häufig auch als „Leistungsdichtespektrum” bezeichnet.

$\text{Definition:}$  Das  Leistungsdichtespektrum  (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF):

$${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} \tau. $$

Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von  Wiener  und  Chintchin.


Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite  Fourierrücktransformation  im Buch „Signaldarstellung”):

$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} f.$$
  • Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet.
  • Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite  Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente  vorgehen.

Physikalische Interpretation und Messung


Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums  ${\it \Phi}_x(f)$.

Zur Messung des Leistungsdichtespektrums

Hierzu ist Folgendes anzumerken:

  • Das Zufallssignal  $x(t)$  wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz  $f$  und Bandbreite  $Δf$  gegeben, wobei  $Δf$  entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.
  • Das entsprechende Ausgangssignal  $x_f(t)$  wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer  $T_{\rm M}$  gebildet.  Damit erhält man die Leistung von  $x_f(t)$  bzw. die Leistungsanteile von  $x(t)$  im Spektralbereich von  $f - Δf/2$  bis  $f + Δf/2$:
$$P_{x_f} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
  • Die Division durch  $Δf$  führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte:
$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{x_f}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.} \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{x_f}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$
Hierbei bezeichnet  ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$  das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS.  Für negative Frequenzen ist  ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$.  Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS:   ${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f)$.
  • Während die Leistung  $P_{x_f}$  mit kleiner werdender Bandbreite  $Δf$  gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von  $Δf$  nahezu konstant.  Für die exakte Bestimmung von  ${\it \Phi}_x(f)$  sind zwei Grenzübergänge notwendig:
$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

$\text{Fazit:}$ 

  • Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann. 
  • Die gesamte Signalleistung von  $x(t)$  erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:
$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite


Alle im Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation  können auch auf die  Autokorrelationsfunktion  (AKF) und das  Leistungsdichtespektrum  (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden.

Zum Reziprozitätsgesetz von AKF und LDS

Aufgrund der spezifischen Eigenschaften

  • von Autokorrelationsfunktion  (stets reell und gerade)
  • und Leistungsdichtespektrum  (stets reell, gerade und nicht–negativ)


liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.

Wir betrachten nun wie im Abschnitt  Interpretation der Autokorrelationsfunktion  zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse  $\{x_i(t)\}$  und  $\{y_i(t)\}$  anhand

  • der beiden Mustersignale  $x(t)$  und  $y(t)$   ⇒   obere Skizze,
  • der beiden Autokorrelationsfunktionen  $φ_x(τ)$  und  $φ_y(τ)$   ⇒   mittlere Skizze,
  • der beiden Leistungsdichtespektren  ${\it \Phi}_x(f)$  und  ${\it \Phi}_y(f)$   ⇒   untere Skizze.


Anhand dieser Grafiken sind folgende Aussagen möglich:

  • Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich   ⇒   die Prozesse  $\{x_i(t)\}$  und  $\{y_i(t)\}$  besitzen gleiche Leistung:
$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$
  • Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte  Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite  gilt hier ebenfalls:  
    Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.
  • Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite  $∇f$  $($man spricht„Nabla-f”$)$, ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer  $∇τ$  im Kapitel  Interpretation der Autokorrelationsfunktion:
$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$
  • Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:
$${{\rm \nabla} \tau_x} \cdot {{\rm \nabla} f_x} = 1\hspace{1cm}{\rm bzw.}\hspace{1cm} {{\rm \nabla} \tau_y} \cdot {{\rm \nabla} f_y} = 1.$$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen von der Grafik oben auf dieser Seite aus:

  • Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals  $x(t)$  sind  $∇τ_x = 0.33\hspace{0.08cm} \rm µs$   und  $∇f_x = 3 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.
  • Die äquivalente AKF-Dauer des Signals  $y(t)$  ist dreimal so groß:   $∇τ_y = 1 \hspace{0.08cm} \rm µs$.
  • Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr  $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.


$\text{Allgemein gilt:}$  Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer  ${ {\rm \nabla} \tau_x}$  und äquivalenter LDS-Bandbreite  $ { {\rm \nabla} f_x}$  ist immer gleich  $1$:

$${ {\rm \nabla} \tau_x} \cdot { {\rm \nabla} f_x} = 1.$$


$\text{Beweis:}$  Entsprechend den obigen Definitionen gilt:

$${ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ \varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau = \frac { {\it \Phi}_x(f = {\rm 0)} }{ \varphi_x(\tau = \rm 0)},$$
$${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$

Das Produkt ist somit gleich  $1$.

q.e.d.


$\text{Beispiel 2:}$  Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte  Weiße Rauschen  dar:

  • Dieses beinhaltet alle Spektralanteile  (bis ins Unendliche).
  • Die äquivalente LDS-Bandbreite  $∇f$  ist unendlich groß.


Das hier angegebene Gesetz besagt, dass damit für die äquivalente AKF-Dauer  $∇τ = 0$  gelten muss   ⇒   das weiße Rauschen besitzt eine diracförmige AKF.

Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo  Der AWGN-Kanal, insbesondere im zweiten Teil.


Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente


Wir gehen von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  aus.  Weiter setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet.  Dann gilt:

  • Die Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$ verschwindet  für  $τ → ∞$.
  • Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_x(f)$  –  berechenbar als die Fouriertransformierte von  $φ_x(τ)$  –  ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich, also ohne diskrete Anteile.


Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess  $\{y_i(t)\}$, der sich vom Prozess  $\{x_i(t)\}$  lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente  $m_y$  unterscheidet:

$$\left\{ y_i (t) \right\} = \left\{ x_i (t) + m_y \right\}.$$

Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses  $\{y_i(t)\}$  weisen dann folgende Eigenschaften auf:

  • Der Grenzwert der AKF für  $τ → ∞$  ist nun nicht mehr Null, sondern  $m_y^2$.  Im gesamten  $τ$–Bereich von  $–∞$  bis  $+∞$  ist die AKF  $φ_y(τ)$  um  $m_y^2$  größer als  $φ_x(τ)$:
$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$
  • Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im LDS zu einer Diracfunktion  $δ(f)$  mit dem Gewicht  $m_y^2$:
$${{\it \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2 \cdot \delta (f). $$

Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel  Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals  des Buches „Signaldarstellung”.  Weiterhin möchten wir Sie hier auf das Lernvideo  Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion  hinweisen.

Numerische LDS-Ermittlung


Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die  Fouriertransformation  streng miteinander verknüpft.  Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung mit dem Abtastoperator  ${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} $,  also für

$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} = \varphi_x ( \tau ) \cdot \sum_{k= - \infty}^{\infty} T_{\rm A} \cdot \delta ( \tau - k \cdot T_{\rm A}).$$

Der Übergang vom Zeit– in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:

  • Der Abstand  $T_{\rm A}$  zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite  $B_x$  (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses)  über das Abtasttheorem festgelegt:
$$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$
  • Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten  (abgetasteten)  AKF ergibt ein mit  ${\rm 1}/T_{\rm A}$  periodisches LDS:
$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$

$\text{Fazit:}$  Da sowohl  $φ_x(τ)$  als auch  ${\it \Phi}_x(f)$  gerade und reelle Funktionen sind, gilt der Zusammenhang:

$${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$
  • Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$  durch Bandbegrenzung auf den Bereich  $\vert f \vert ≤ 1/(2T_{\rm A})$.
  • Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der  ${\rm si}$–Funktion, wobei  ${\rm si}(x)$  für  $\sin(x)/x$  steht.


Zeitdiskrete AKF und periodisch fortgesetztes LDS

$\text{Beispiel 3:}$  Eine gaußförmige AKF  $φ_x(τ)$  wird im Abstand  $T_{\rm A}$  abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist:

  • Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF  ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$  sei  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$. 
  • Diese mit  ${\rm 1}/T_{\rm A}$  periodische Funktion  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$  ist dementsprechend unendlich weit ausgedehnt ( roter Kurvenzug ).
  • Das LDS  ${\it \Phi}_x(f)$  des zeitkontinuierlichen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich  $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung


Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:

  • Die zeitdiskrete AKF  $φ_x(k · T_{\rm A})$  wurde aus  $N$  Abtastwerten numerisch ermittelt.  Wie bereits auf der Seite  Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung  gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn  $N$  zu klein gewählt wurde.
  • Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte  $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:
$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$

$\text{Fazit:}$  Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter  $K$  bestimmt:

  • Ist  $K$  zu klein gewählt, so werden die eigentlich vorhandenen AKF-Werte  $φ_x(k · T_{\rm A})$  mit  $k > K$  nicht berücksichtigt.
  • Bei zu großem  $K$  werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen AKF-Berechnung endlich sind.
  • Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines  $N$  bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern.


Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung

$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten.

  • Deshalb sollte nur der AKF–Wert  $φ_x(0) = σ_x^2$  von Null verschieden ist.
  • Ermittelt man aber die AKF numerisch aus lediglich  $N = 1000$  Abtastwerten, so erhält man auch für  $k ≠ 0$  endliche AKF–Werte.
  • Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften AKF–Werte bis zu  $6\%$  des Maximalwertes betragen können.
  • Unten ist das numerisch ermittelte Leistungsdichtespektrum dargestellt.  Gelb ist der theoretische Verlauf dargestellt, der für  $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$  konstant sein sollte.
  • Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch  $K = 3$  bzw.  $K = 10$  das Ergebnis gegenüber  $K = 0$  verfälscht wird.


In diesem Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$.  Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$.

  • Wird dieser zu klein gewählt, so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt.
  • Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen, die nur auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 4.12: LDS eines Binärsignals

Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen

Aufgabe 4.13: Gaußförmige AKF

Aufgabe 4.13Z: AMI-Code