Stochastische Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei vielen technischen Anwendungen interessiert man sich für ein quantitatives Maß zur Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen verschiedenen Prozessen bzw. zwischen deren Mustersignalen.  
 
Bei vielen technischen Anwendungen interessiert man sich für ein quantitatives Maß zur Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen verschiedenen Prozessen bzw. zwischen deren Mustersignalen.  
  
Ein solches Maß ist die ''Kreuzkorrelationsfunktion'' (KKF), die hier unter den Voraussetzungen von ''Stationarität'' und ''Ergodizität'' angegeben wird.  
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Ein solches Maß ist die  ''Kreuzkorrelationsfunktion''  (KKF), die hier unter den Voraussetzungen von  ''Stationarität''  und  ''Ergodizität''  angegeben wird.  
  
 
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$\text{Definition:}$  Für die '''Kreuzkorrelationsfunktion''' zweier stationärer und ergodischer Prozesse mit den Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ gilt:  
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$\text{Definition:}$  Für die  '''Kreuzkorrelationsfunktion'''  zweier stationärer und ergodischer Prozesse mit den Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  gilt:  
 
:$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2}  }x(t)\cdot y(t+\tau)\,\rm d \it t.$$
 
:$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2}  }x(t)\cdot y(t+\tau)\,\rm d \it t.$$
  
*Die erste Definitionsgleichung kennzeichnet die ''Erwartungswertbildung'' (''Scharmittelung''),  
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*Die erste Definitionsgleichung kennzeichnet die  ''Erwartungswertbildung''  („Scharmittelung”),  
*während die zweite Gleichung die ''Zeitmittelung'' über eine (möglichst große) Messdauer $T_{\rm M}$ beschreibt.}}  
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*während die zweite Gleichung die  „Zeitmittelung”  über eine (möglichst große) Messdauer  $T_{\rm M}$  beschreibt.}}  
  
  
Ein Vergleich mit der  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen|AKF-Definition]]  zeigt viele Gemeinsamkeiten mit dieser. Setzt man $y(t) = x(t)$, so erhält man $φ_{xy}(τ) = φ_{xx}(τ)$, also die Autokorrelationsfunktion, für die in unserem Tutorial allerdings meist  die vereinfachte Schreibweise $φ_x(τ)$ verwendet wird.  
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Ein Vergleich mit der  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen|AKF-Definition]]  zeigt viele Gemeinsamkeiten.  Setzt man  $y(t) = x(t)$, so erhält man  $φ_{xy}(τ) = φ_{xx}(τ)$, also die Autokorrelationsfunktion, für die in unserem Tutorial allerdings meist  die vereinfachte Schreibweise  $φ_x(τ)$  verwendet wird.  
  
 
[[Datei:P_ID434__Sto_T_4_6_S1neu.png |right|frame|Kreuzkorrelationsfunktion eines Binärsignals]]
 
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$\text{Beispiel 1:}$    
 
$\text{Beispiel 1:}$    
Wir betrachten ein Zufallssignal $x(t)$ mit dreieckförmiger AKF $φ_x(τ)$    ⇒    blaue Kurve. Diese AKF–Form ergibt sich zum Beispiel  
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Wir betrachten ein Zufallssignal  $x(t)$  mit dreieckförmiger AKF  $φ_x(τ)$    ⇒    blaue Kurve.  Diese AKF–Form ergibt sich zum Beispiel  
*für ein Binärsignal mit gleichwahrscheinlichen bipolaren Amplitudenkoeffizienten ($+1$ bzw. $–1$) und  
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*für ein Binärsignal mit gleichwahrscheinlichen bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $(+1$  bzw.  $–1)$  und  
 
*bei rechteckförmigem Grundimpuls.  
 
*bei rechteckförmigem Grundimpuls.  
  
  
Wir betrachten dazu ein zweites Signal $y(t) = \alpha \cdot x (t - t_{\rm 0}),$ das sich von $x(t)$ nur durch einen Dämpfungsfaktor $α =0.5$ und eine Laufzeit $t_0 = 3 \ \rm  ms$ unterscheidet. Dieses gedämpfte und verschobene Signal besitzt die rot gezeichnete AKF  
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Wir betrachten ein zweites Signal  $y(t) = \alpha \cdot x (t - t_{\rm 0}),$ das sich von  $x(t)$  nur durch einen Dämpfungsfaktor  $(α =0.5)$  und eine Laufzeit  $(t_0 = 3 \ \rm  ms)$  unterscheidet. 
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Dieses gedämpfte und verschobene Signal besitzt die rot gezeichnete AKF  
 
:$$\varphi_{y}(\tau) = \alpha^2 \cdot \varphi_{x}(\tau) .$$
 
:$$\varphi_{y}(\tau) = \alpha^2 \cdot \varphi_{x}(\tau) .$$
Die Verschiebung um $t_0$ ist in der AKF nicht zu erkennen im Gegensatz zur (grün dargestellten) KKF, für die folgende Beziehung gilt:  
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Die Verschiebung um  $t_0$  ist in der AKF nicht zu erkennen im Gegensatz zur (grün dargestellten) Kreuzkorrelationsfunktion (KKF), für die folgende Beziehung gilt:  
 
:$$\varphi_{xy}(\tau) = \alpha \cdot \varphi_{x}(\tau- t_{\rm 0}) .$$}}
 
:$$\varphi_{xy}(\tau) = \alpha \cdot \varphi_{x}(\tau- t_{\rm 0}) .$$}}
  
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Im Folgenden  sind wesentliche Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion zusammengestellt und es werden wichtige Unterschiede zur AKF herausgearbeitet.  
 
Im Folgenden  sind wesentliche Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion zusammengestellt und es werden wichtige Unterschiede zur AKF herausgearbeitet.  
*Die Bildung der Kreuzkorrelationsfunktion ist ''nicht kommutativ''. Vielmehr gibt es stets zwei unterschiedliche Funktionen, nämlich  
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*Die Bildung der Kreuzkorrelationsfunktion ist&nbsp; ''nicht kommutativ''.&nbsp; Vielmehr gibt es stets zwei unterschiedliche Funktionen, nämlich  
 
:$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\, \rm d \it t,$$
 
:$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\, \rm d \it t,$$
 
:$$\varphi_{yx}(\tau)={\rm E} \big[{y(t)\cdot x(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}y(t)\cdot x(t+\tau)\,\, \rm d \it t .$$
 
:$$\varphi_{yx}(\tau)={\rm E} \big[{y(t)\cdot x(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}y(t)\cdot x(t+\tau)\,\, \rm d \it t .$$
*Zwischen den beiden Funktionen besteht der Zusammenhang $φ_{yx}(τ) = φ_{xy}(-τ)$. Im $\text{Beispiel 1}$ des letzten Abschnitts hätte $φ_{yx}(τ)$ sein Maximum bei $τ = -3 \ \rm  ms$.  
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*Zwischen den beiden Funktionen besteht der Zusammenhang&nbsp; $φ_{yx}(τ) = φ_{xy}(-τ)$.&nbsp; Im&nbsp; $\text{Beispiel 1}$&nbsp; des letzten Abschnitts hätte&nbsp; $φ_{yx}(τ)$&nbsp; sein Maximum bei&nbsp; $τ = -3 \ \rm  ms$.  
*Im Allgemeinen tritt das ''KKF-Maximum'' nicht bei $τ = 0$ auf (Ausnahme: &nbsp; $y = α · x$) und dem KKF-Wert $φ_{xy}(τ = 0)$ kommt keine besondere, physikalisch interpretierbare Bedeutung zu wie bei der AKF, bei der dieser Wert die Prozessleistung wiedergibt.  
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*Im Allgemeinen tritt das&nbsp; ''KKF-Maximum''&nbsp; nicht bei $τ = 0$ auf&nbsp; $($Ausnahme: &nbsp; $y = α · x)$&nbsp; und dem KKF-Wert&nbsp; $φ_{xy}(τ = 0)$&nbsp; kommt keine besondere, physikalisch interpretierbare Bedeutung zu wie bei der AKF, bei der dieser Wert die Prozessleistung wiedergibt.  
*Der Betrag der KKF ist nach der [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung Cauchy-Schwarzschen Ungleichung] für alle $τ$-Werte kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden Signalleistungen:  
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*Der Betrag der KKF ist nach der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]&nbsp; für alle&nbsp; $τ$-Werte kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden Signalleistungen:  
 
:$$\varphi_{xy}( \tau)  \le \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)}.$$
 
:$$\varphi_{xy}( \tau)  \le \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)}.$$
*Im $\text{Beispiel 1}$ auf der letzten Seite gilt das Gleichheitszeichen:  
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*Im&nbsp; $\text{Beispiel 1}$&nbsp; auf der letzten Seite gilt das Gleichheitszeichen:  
 
:$$\varphi_{xy}( \tau = t_{\rm 0})  = \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)} = \alpha \cdot \varphi_{x}( \tau = {\rm 0}) .$$
 
:$$\varphi_{xy}( \tau = t_{\rm 0})  = \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)} = \alpha \cdot \varphi_{x}( \tau = {\rm 0}) .$$
*Beinhalten $x(t)$ und $y(t)$ keinen gemeinsamen periodischen Anteil, so gibt der ''Grenzwert der KKF''&nbsp; für $τ → ∞$ das Produkt beider Mittelwerte an:  
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*Beinhalten&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; keinen gemeinsamen periodischen Anteil, so gibt der Grenzwert der KKF für&nbsp; $τ → ∞$&nbsp; das Produkt beider Mittelwerte an:  
 
:$$\lim_{\tau \rightarrow \infty} \varphi _{xy} ( \tau ) = m_x \cdot m_y .$$
 
:$$\lim_{\tau \rightarrow \infty} \varphi _{xy} ( \tau ) = m_x \cdot m_y .$$
*Sind zwei Signale $x(t)$ und $y(t)$ ''unkorreliert'', so gilt $φ_{xy}(τ) ≡$ 0, das heißt, es ist $φ_{xy}(τ) =$ 0 für alle Werte von $τ$. Diese Annahme ist beispielsweise bei der gemeinsamen Betrachtung eines Nutz- und eines Störsignals in den meisten Fällen gerechtfertigt.  
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*Sind zwei Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; ''unkorreliert'',&nbsp; so gilt&nbsp; $φ_{xy}(τ) ≡ 0$, das heißt, es ist&nbsp; $φ_{xy}(τ) = 0$&nbsp; für alle Werte von&nbsp; $τ$.&nbsp; Diese Annahme ist beispielsweise bei der gemeinsamen Betrachtung eines Nutz- und eines Störsignals in den meisten Fällen gerechtfertigt.  
*Es ist jedoch stets zu beachten, dass die KKF nur die ''linearen statistischen Bindungen'' zwischen den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ beinhaltet. Bindungen anderer Art – wie beispielsweise für den Fall $y(t) = x^2(t)$ – werden dagegen bei der KKF–Bildung nicht berücksichtigt.  
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*Es ist jedoch stets zu beachten, dass die KKF nur die&nbsp; ''linearen statistischen Bindungen''&nbsp; zwischen den Signalen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; beinhaltet. Bindungen anderer Art – wie beispielsweise für den Fall&nbsp; $y(t) = x^2(t)$&nbsp; – werden dagegen bei der KKF–Bildung nicht berücksichtigt.  
  
 
==Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion==
 
==Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion==
 
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Die Anwendungen der KKF in Nachrichtensystemen sind vielfältig. Hier einige Beispiele:  
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Die Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion in Nachrichtensystemen sind vielfältig. Hier einige Beispiele:  
  
 
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  Bei [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Amplitudenmodulation]], aber auch bei [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK-Systemen]] (''Binary Phase Shift Keying'') wird zur Demodulation (Rücksetzung des Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich) sehr häufig der so genannte Synchrondemodulator verwendet, wobei auch beim Empfänger ein Trägersignal zugesetzt werden muss, und zwar frequenz– und phasensynchron zum Sender. Bildet man die KKF zwischen dem Empfangssignal und dem empfangsseitigen Trägersignal, so lässt sich anhand der Spitze der KKF die phasensynchrone Lage zwischen den beiden Signalen erkennen, und es kann bei Auseinanderdriften nachgeregelt werden.}}
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  Bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Amplitudenmodulation]], aber auch bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK-Systemen]]&nbsp; (''Binary Phase Shift Keying'') wird zur Demodulation (Rücksetzung des Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich) sehr häufig der so genannte Synchrondemodulator verwendet, wobei auch beim Empfänger ein Trägersignal zugesetzt werden muss, und zwar frequenz– und phasensynchron zum Sender.&nbsp; Bildet man die KKF zwischen dem Empfangssignal und dem empfangsseitigen Trägersignal, so lässt sich anhand der Spitze der KKF die phasensynchrone Lage zwischen den beiden Signalen erkennen, und es kann bei Auseinanderdriften nachgeregelt werden.}}
  
  
 
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$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;   
 
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;   
Das Mehrfachzugriffsverfahren [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|CDMA]] (''Code Division Multiple Access'') wird zum Beispiel im Mobilfunkstandard [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|UMTS]] angewendet. Es erfordert eine strenge Phasensynchronität, und zwar bezüglich der zugesetzten ''Pseudonoise-Folgen''&nbsp; beim Sender (''Bandspreizung'') und beim Empfänger (''Bandstauchung''). Auch dieses Synchronisationsproblem löst man meist mittels der Kreuzkorrelationsfunktion.}}
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Das Mehrfachzugriffsverfahren&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|CDMA]]&nbsp; (''Code Division Multiple Access'')&nbsp; wird zum Beispiel im Mobilfunkstandard&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|UMTS]]&nbsp; angewendet. Es erfordert eine strenge Phasensynchronität, und zwar bezüglich der zugesetzten&nbsp; ''Pseudonoise-Folgen''&nbsp; beim Sender&nbsp; (''Bandspreizung'')&nbsp; und beim Empfänger&nbsp; (''Bandstauchung'').&nbsp; Auch dieses Synchronisationsproblem löst man meist mittels der Kreuzkorrelationsfunktion.}}
  
  
 
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$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;   
 
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;   
Mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion kann festgestellt werden, ob in einem verrauschten Empfangssignal &nbsp;$r(t) = α · s(t – t_0) + n(t)$&nbsp; ein bekanntes Signal $s(t)$ vorhanden ist oder nicht, und wenn ja, zu welchem Zeitpunkt $t_0$ es auftritt. Aus dem berechneten Wert für $t_0$ lässt sich dann beispielsweise eine Fahrgeschwindigkeit ermitteln (''Radartechnik''). Diese Aufgabenstellung kann auch mit dem so genannten Matched–Filter gelöst werden, das in einem [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|späteren Kapitel]] noch beschrieben wird und das viele Gemeinsamkeiten mit der Kreuzkorrelationsfunktion aufweist.}}  
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Mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion kann festgestellt werden, ob in einem verrauschten Empfangssignal &nbsp;$r(t) = α · s(t – t_0) + n(t)$&nbsp; ein bekanntes Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; vorhanden ist oder nicht, und wenn ja, zu welchem Zeitpunkt&nbsp; $t_0$&nbsp; es auftritt. Aus dem berechneten Wert für&nbsp; $t_0$&nbsp; lässt sich dann beispielsweise eine Fahrgeschwindigkeit ermitteln&nbsp; (''Radartechnik'').&nbsp; Diese Aufgabenstellung kann auch mit dem so genannten Matched–Filter gelöst werden, das in einem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|späteren Kapitel]]&nbsp; noch beschrieben wird und das viele Gemeinsamkeiten mit der Kreuzkorrelationsfunktion aufweist.}}  
  
  
 
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$\text{Beispiel 5:}$&nbsp;  Beim so genannten [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger|Korrelationsempfänger]]  verwendet man die KKF zur Signaldetektion. Hierbei bildet man die Kreuzkorrelation zwischen dem durch Rauschen und eventuell auch durch Verzerrungen verfälschten Empfangssignal $r(t)$ und allen möglichen Sendesignalen $s_i(t)$, wobei für den Laufindex $i = 1$, ... , $I$ gelten soll. Entscheidet man $N$ Binärsymbole gemeinsam, so ist $I = {\rm 2}^N$. Man entscheidet sich dann für die Symbolfolge mit dem größten KKF-Wert und erreicht so die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend der ''Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel.''}}
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$\text{Beispiel 5:}$&nbsp;  Beim so genannten&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger|Korrelationsempfänger]]&nbsp; verwendet man die KKF zur Signaldetektion.&nbsp; Hierbei bildet man die Kreuzkorrelation zwischen dem durch Rauschen und eventuell auch durch Verzerrungen verfälschten Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; und allen möglichen Sendesignalen&nbsp; $s_i(t)$, wobei für den Laufindex&nbsp; $i = 1$, ... , $I$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Entscheidet man&nbsp; $N$&nbsp; Binärsymbole gemeinsam, so ist&nbsp; $I = {\rm 2}^N$.&nbsp; Man entscheidet sich dann für die Symbolfolge mit dem größten KKF-Wert und erreicht so die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend der&nbsp; ''Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel.''}}
  
 
==Kreuzleistungsdichtespektrum==
 
==Kreuzleistungsdichtespektrum==
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$\text{Definition:}$&nbsp; Die beiden '''Kreuzleistungsdichtespektren''' ${\it Φ}_{xy}(f)$ und ${\it Φ}_{yx}(f)$ ergeben sich aus den dazugehörigen Kreuzkorrelationsfunktionen $\varphi_{xy}({\it \tau})$ &nbsp;bzw.&nbsp; $\varphi_{yx}({\it \tau})$ durch die Fouriertransformation:  
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$\text{Definition:}$&nbsp; Die beiden&nbsp; '''Kreuzleistungsdichtespektren'''&nbsp; ${\it Φ}_{xy}(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\it Φ}_{yx}(f)$&nbsp; ergeben sich aus den dazugehörigen Kreuzkorrelationsfunktionen&nbsp; $\varphi_{xy}({\it \tau})$ &nbsp;bzw.&nbsp; $\varphi_{yx}({\it \tau})$&nbsp; durch die Fouriertransformation:  
 
:$${\it \Phi}_{xy}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{xy}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau, $$
 
:$${\it \Phi}_{xy}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{xy}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau, $$
 
:$${\it \Phi}_{yx}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{yx}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau.$$
 
:$${\it \Phi}_{yx}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{yx}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau.$$
Manchmal wird hierfür auch der Begriff ''spektrale Kreuzleistungsdichte''&nbsp; verwendet.}}
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Manchmal wird hierfür auch der Begriff&nbsp; ''spektrale Kreuzleistungsdichte''&nbsp; verwendet.}}
  
  
 
Es gilt hier der gleiche Zusammenhang wie  
 
Es gilt hier der gleiche Zusammenhang wie  
*zwischen einem deterministischen Signal $x(t)$ und seinem Spektrum $X(f)$ bzw.  
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*zwischen einem deterministischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und seinem Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; bzw.  
*zwischen der Autokorrelationsfunktion ${\it φ}_x(τ)$ eines ergodischen Prozesses  $\{x_i(t)\}$ und dem dazugehörigen Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$.  
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*zwischen der Autokorrelationsfunktion&nbsp; ${\it φ}_x(τ)$&nbsp; eines ergodischen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; und dem dazugehörigen Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$.  
  
  
Ebenso beschreibt hier die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]] &nbsp;  ⇒ &nbsp; „Zweites Fourierintegral” den Übergang vom Spektralbereich in den Zeitbereich.  
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Ebenso beschreibt hier die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]] &nbsp;  ⇒ &nbsp; „Zweites Fourierintegral” den Übergang vom Spektralbereich in den Zeitbereich.  
  
 
[[Datei:P_ID772__Sto_T_4_6_S1neu.png |right|frame| Zur Definition der Kreuzkorrelationsfunktion]]
 
[[Datei:P_ID772__Sto_T_4_6_S1neu.png |right|frame| Zur Definition der Kreuzkorrelationsfunktion]]
 
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$\text{Beispiel 6:}$&nbsp;   
 
$\text{Beispiel 6:}$&nbsp;   
Wir nehmen Bezug zum [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion|$\text{Beispiel 1}$]] mit den beiden „rechteckigförmigen Zufallsgrößen” $x(t)$ &nbsp;und&nbsp; $y(t) = α · x(t – t_0)$.  
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Wir nehmen Bezug zum&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; mit den beiden „rechteckförmigen Zufallsgrößen”&nbsp; $x(t)$&nbsp; &nbsp;und&nbsp; $y(t) = α · x(t – t_0)$.  
  
Da die AKF ${\it φ}_x(τ)$ dreieckförmig verläuft, hat – wie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]] beschrieben – das LDS ${\it Φ}_x(f)$ einen ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.
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Da die AKF&nbsp; ${\it φ}_x(τ)$&nbsp; dreieckförmig verläuft, hat – wie im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; beschrieben – das LDS&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; einen&nbsp; ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.
 
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Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?  
 
Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?  
*Im zitierten $\text{Beispiel 1}$ haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion ${\it φ}_y(τ)$ von ${\it φ}_x(τ)$ nur um den konstanten Faktor $α^2$ unterscheidet.  
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*Im zitierten&nbsp; $\text{Beispiel 1}$&nbsp; haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion&nbsp; ${\it φ}_y(τ)$&nbsp; von&nbsp; ${\it φ}_x(τ)$&nbsp; nur um den konstanten Faktor&nbsp; $α^2$&nbsp; unterscheidet.  
*Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$ von ${\it \Phi}_x(f)$ ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor $α^2$ abweicht. Beide Spektralfunktionen sind reell.  
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*Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; von&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor&nbsp; $α^2$&nbsp; abweicht.&nbsp; Beide Spektralfunktionen sind reell.  
 
*Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:  
 
*Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:  
 
:$${\it \Phi}_{xy}(f) ={\it \Phi}^\star_{yx}(f)= \alpha \cdot {\it \Phi}_{x}(f) \hspace{0.05cm}\cdot {\rm e}^{- {\rm j } \hspace{0.02cm}\pi f t_0}.$$}}
 
:$${\it \Phi}_{xy}(f) ={\it \Phi}^\star_{yx}(f)= \alpha \cdot {\it \Phi}_{x}(f) \hspace{0.05cm}\cdot {\rm e}^{- {\rm j } \hspace{0.02cm}\pi f t_0}.$$}}

Aktuelle Version vom 2. Dezember 2019, 16:43 Uhr

Definition der Kreuzkorrelationsfunktion


Bei vielen technischen Anwendungen interessiert man sich für ein quantitatives Maß zur Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen verschiedenen Prozessen bzw. zwischen deren Mustersignalen.

Ein solches Maß ist die  Kreuzkorrelationsfunktion  (KKF), die hier unter den Voraussetzungen von  Stationarität  und  Ergodizität  angegeben wird.

$\text{Definition:}$  Für die  Kreuzkorrelationsfunktion  zweier stationärer und ergodischer Prozesse mit den Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  gilt:

$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2} }x(t)\cdot y(t+\tau)\,\rm d \it t.$$
  • Die erste Definitionsgleichung kennzeichnet die  Erwartungswertbildung  („Scharmittelung”),
  • während die zweite Gleichung die  „Zeitmittelung”  über eine (möglichst große) Messdauer  $T_{\rm M}$  beschreibt.


Ein Vergleich mit der  AKF-Definition  zeigt viele Gemeinsamkeiten.  Setzt man  $y(t) = x(t)$, so erhält man  $φ_{xy}(τ) = φ_{xx}(τ)$, also die Autokorrelationsfunktion, für die in unserem Tutorial allerdings meist die vereinfachte Schreibweise  $φ_x(τ)$  verwendet wird.

Kreuzkorrelationsfunktion eines Binärsignals

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten ein Zufallssignal  $x(t)$  mit dreieckförmiger AKF  $φ_x(τ)$   ⇒   blaue Kurve.  Diese AKF–Form ergibt sich zum Beispiel

  • für ein Binärsignal mit gleichwahrscheinlichen bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $(+1$  bzw.  $–1)$  und
  • bei rechteckförmigem Grundimpuls.


Wir betrachten ein zweites Signal  $y(t) = \alpha \cdot x (t - t_{\rm 0}),$ das sich von  $x(t)$  nur durch einen Dämpfungsfaktor  $(α =0.5)$  und eine Laufzeit  $(t_0 = 3 \ \rm ms)$  unterscheidet. 

Dieses gedämpfte und verschobene Signal besitzt die rot gezeichnete AKF

$$\varphi_{y}(\tau) = \alpha^2 \cdot \varphi_{x}(\tau) .$$

Die Verschiebung um  $t_0$  ist in der AKF nicht zu erkennen im Gegensatz zur (grün dargestellten) Kreuzkorrelationsfunktion (KKF), für die folgende Beziehung gilt:

$$\varphi_{xy}(\tau) = \alpha \cdot \varphi_{x}(\tau- t_{\rm 0}) .$$

Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion


Im Folgenden sind wesentliche Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion zusammengestellt und es werden wichtige Unterschiede zur AKF herausgearbeitet.

  • Die Bildung der Kreuzkorrelationsfunktion ist  nicht kommutativ.  Vielmehr gibt es stets zwei unterschiedliche Funktionen, nämlich
$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\, \rm d \it t,$$
$$\varphi_{yx}(\tau)={\rm E} \big[{y(t)\cdot x(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}y(t)\cdot x(t+\tau)\,\, \rm d \it t .$$
  • Zwischen den beiden Funktionen besteht der Zusammenhang  $φ_{yx}(τ) = φ_{xy}(-τ)$.  Im  $\text{Beispiel 1}$  des letzten Abschnitts hätte  $φ_{yx}(τ)$  sein Maximum bei  $τ = -3 \ \rm ms$.
  • Im Allgemeinen tritt das  KKF-Maximum  nicht bei $τ = 0$ auf  $($Ausnahme:   $y = α · x)$  und dem KKF-Wert  $φ_{xy}(τ = 0)$  kommt keine besondere, physikalisch interpretierbare Bedeutung zu wie bei der AKF, bei der dieser Wert die Prozessleistung wiedergibt.
  • Der Betrag der KKF ist nach der  Cauchy-Schwarzschen Ungleichung  für alle  $τ$-Werte kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden Signalleistungen:
$$\varphi_{xy}( \tau) \le \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)}.$$
  • Im  $\text{Beispiel 1}$  auf der letzten Seite gilt das Gleichheitszeichen:
$$\varphi_{xy}( \tau = t_{\rm 0}) = \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)} = \alpha \cdot \varphi_{x}( \tau = {\rm 0}) .$$
  • Beinhalten  $x(t)$  und  $y(t)$  keinen gemeinsamen periodischen Anteil, so gibt der Grenzwert der KKF für  $τ → ∞$  das Produkt beider Mittelwerte an:
$$\lim_{\tau \rightarrow \infty} \varphi _{xy} ( \tau ) = m_x \cdot m_y .$$
  • Sind zwei Signale  $x(t)$  und  $y(t)$  unkorreliert,  so gilt  $φ_{xy}(τ) ≡ 0$, das heißt, es ist  $φ_{xy}(τ) = 0$  für alle Werte von  $τ$.  Diese Annahme ist beispielsweise bei der gemeinsamen Betrachtung eines Nutz- und eines Störsignals in den meisten Fällen gerechtfertigt.
  • Es ist jedoch stets zu beachten, dass die KKF nur die  linearen statistischen Bindungen  zwischen den Signalen  $x(t)$  und  $y(t)$  beinhaltet. Bindungen anderer Art – wie beispielsweise für den Fall  $y(t) = x^2(t)$  – werden dagegen bei der KKF–Bildung nicht berücksichtigt.

Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion


Die Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion in Nachrichtensystemen sind vielfältig. Hier einige Beispiele:

$\text{Beispiel 2:}$  Bei  Amplitudenmodulation, aber auch bei  BPSK-Systemen  (Binary Phase Shift Keying) wird zur Demodulation (Rücksetzung des Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich) sehr häufig der so genannte Synchrondemodulator verwendet, wobei auch beim Empfänger ein Trägersignal zugesetzt werden muss, und zwar frequenz– und phasensynchron zum Sender.  Bildet man die KKF zwischen dem Empfangssignal und dem empfangsseitigen Trägersignal, so lässt sich anhand der Spitze der KKF die phasensynchrone Lage zwischen den beiden Signalen erkennen, und es kann bei Auseinanderdriften nachgeregelt werden.


$\text{Beispiel 3:}$  Das Mehrfachzugriffsverfahren  CDMA  (Code Division Multiple Access)  wird zum Beispiel im Mobilfunkstandard  UMTS  angewendet. Es erfordert eine strenge Phasensynchronität, und zwar bezüglich der zugesetzten  Pseudonoise-Folgen  beim Sender  (Bandspreizung)  und beim Empfänger  (Bandstauchung).  Auch dieses Synchronisationsproblem löst man meist mittels der Kreuzkorrelationsfunktion.


$\text{Beispiel 4:}$  Mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion kann festgestellt werden, ob in einem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = α · s(t – t_0) + n(t)$  ein bekanntes Signal  $s(t)$  vorhanden ist oder nicht, und wenn ja, zu welchem Zeitpunkt  $t_0$  es auftritt. Aus dem berechneten Wert für  $t_0$  lässt sich dann beispielsweise eine Fahrgeschwindigkeit ermitteln  (Radartechnik).  Diese Aufgabenstellung kann auch mit dem so genannten Matched–Filter gelöst werden, das in einem  späteren Kapitel  noch beschrieben wird und das viele Gemeinsamkeiten mit der Kreuzkorrelationsfunktion aufweist.


$\text{Beispiel 5:}$  Beim so genannten  Korrelationsempfänger  verwendet man die KKF zur Signaldetektion.  Hierbei bildet man die Kreuzkorrelation zwischen dem durch Rauschen und eventuell auch durch Verzerrungen verfälschten Empfangssignal  $r(t)$  und allen möglichen Sendesignalen  $s_i(t)$, wobei für den Laufindex  $i = 1$, ... , $I$  gelten soll.  Entscheidet man  $N$  Binärsymbole gemeinsam, so ist  $I = {\rm 2}^N$.  Man entscheidet sich dann für die Symbolfolge mit dem größten KKF-Wert und erreicht so die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend der  Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel.

Kreuzleistungsdichtespektrum


Für manche Anwendungen kann es durchaus vorteilhaft sein, die Korrelation zwischen zwei Zufallssignalen im Frequenzbereich zu beschreiben.

$\text{Definition:}$  Die beiden  Kreuzleistungsdichtespektren  ${\it Φ}_{xy}(f)$  und  ${\it Φ}_{yx}(f)$  ergeben sich aus den dazugehörigen Kreuzkorrelationsfunktionen  $\varphi_{xy}({\it \tau})$  bzw.  $\varphi_{yx}({\it \tau})$  durch die Fouriertransformation:

$${\it \Phi}_{xy}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{xy}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau, $$
$${\it \Phi}_{yx}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{yx}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau.$$

Manchmal wird hierfür auch der Begriff  spektrale Kreuzleistungsdichte  verwendet.


Es gilt hier der gleiche Zusammenhang wie

  • zwischen einem deterministischen Signal  $x(t)$  und seinem Spektrum  $X(f)$  bzw.
  • zwischen der Autokorrelationsfunktion  ${\it φ}_x(τ)$  eines ergodischen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  und dem dazugehörigen Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$.


Ebenso beschreibt hier die  Fourierrücktransformation   ⇒   „Zweites Fourierintegral” den Übergang vom Spektralbereich in den Zeitbereich.

Zur Definition der Kreuzkorrelationsfunktion

$\text{Beispiel 6:}$  Wir nehmen Bezug zum  $\text{Beispiel 1}$  mit den beiden „rechteckförmigen Zufallsgrößen”  $x(t)$   und  $y(t) = α · x(t – t_0)$.

Da die AKF  ${\it φ}_x(τ)$  dreieckförmig verläuft, hat – wie im Kapitel  Leistungsdichtespektrum  beschrieben – das LDS  ${\it Φ}_x(f)$  einen  ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.
Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?

  • Im zitierten  $\text{Beispiel 1}$  haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion  ${\it φ}_y(τ)$  von  ${\it φ}_x(τ)$  nur um den konstanten Faktor  $α^2$  unterscheidet.
  • Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_y(f)$  von  ${\it \Phi}_x(f)$  ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor  $α^2$  abweicht.  Beide Spektralfunktionen sind reell.
  • Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:
$${\it \Phi}_{xy}(f) ={\it \Phi}^\star_{yx}(f)= \alpha \cdot {\it \Phi}_{x}(f) \hspace{0.05cm}\cdot {\rm e}^{- {\rm j } \hspace{0.02cm}\pi f t_0}.$$

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen

Aufgabe 4.14Z: Auffinden von Echos