Stochastische Signaltheorie/Digitale Filter

1. Stochastische Signaltheorie
2. Filterung stochastischer Signale
3. Digitale Filter

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Allgemeines Blockschaltbild

Jedes Signal  $x(t)$  kann an einem Rechner nur durch die Folge  $〈x_ν〉$  seiner Abtastwerte dargestellt werden,  wobei  $x_ν$  für  $x(ν · T_{\rm A})$  steht.

Blockschaltbild eines digitalen Filters

• Der zeitliche Abstand  $T_{\rm A}$  zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das  Abtasttheorem  nach oben begrenzt.

• Um den Einfluss eines linearen Filters mit Frequenzgang  $H(f)$  auf das zeitdiskrete Signal  $〈x_ν〉$  zu erfassen,  bietet es sich an,  auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben.
• Rechts sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.

Für die Abtastwerte des Ausgangssignals gilt somit:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

Das Applet  "Digitale Filter" verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels.
Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

• Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Ausgangs  $y_ν$  vom aktuellen Eingang  $x_ν$  und von den  $M$  vorherigen Eingangswerten  $x_{ν–1}$, ... , $x_{ν–M}.$
• Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von  $y_ν$  durch die vorherigen Werte  $y_{ν–1}$, ... , $y_{ν–M}$  am Filterausgang.  Sie gibt somit den rekursiven Teil des Filters an.
• Man bezeichnet den ganzzahligen Parameter  $M$  als die  "Ordnung"  des digitalen Filters.

Nichtrekursives Filter

$\text{Definition:}$  Sind alle Rückführungskoeffizienten  $b_{\mu} = 0$,  so spricht von einem  nichtrekursiven Filter.  Ansonsten spricht man von einem  "rekursiven Filter".

Ein solches nichtrekursives Filter  $M$–ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:

Nichtrekursives digitales Filter

• Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt nur vom aktuellen und den  $M$  vorherigen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$

• Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit  $x(t) = δ(t)$:

$$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )} .$$

Entsprechendes Eingangssignal in zeitdiskreter Schreibweise:  
      $x_ν ≡0$  mit Ausnahme von  $x_0 =1$.

• Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt daraus für den Filterfrequenzgang:

$$H(f) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \mu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} T_{\rm A} } } .$$

$\text{Beispiel 1:}$  Ein Zweiwegekanal,  bei dem

• das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft,  aber um   $2\ \rm µ s$   verzögert ankommt,  und
• in  $4\ \rm µ s$  Abstand – also absolut zur Zeit   $t = 6\ \rm µ s$   – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,

kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden,  wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:

$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$

Rekursives Filter

$\text{Definition:}$  Sind alle Vorwärtskoeffizienten  $a_\nu \equiv 0$  mit Ausnahme von  $a_0$,   so liegt ein  (rein) rekursives Filter  vor.

Rekursives digitales Filter erster Ordnung

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall  $M = 1$  $($Blockschaltbild entsprechend der Grafik$)$.  Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf:

• Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt  (indirekt)  von unendlich vielen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$

• Dies zeigt die folgende Rechung:

$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2}. $$

$\text{Definition:}$ 

• Die  zeitdiskrete Impulsantwort  $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$  ist definitionsgemäß gleich der Ausgangsfolge,  wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei  $t =0$  anliegt.
• Bei einem rekursiven Filter reicht die zeitdiskrete Impulsantwort schon mit  $M = 1$  bis ins Unendliche:

$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉= 〈\hspace{0.05cm}a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2, \ a_0\cdot {b_1}^3, \ \text{...} \hspace{0.05cm}〉.$$

Weiter ist anzumerken:

• Aus Stabilitätsgründen muss  $b_1 < 1$  gelten.
• Bei  $b_1 = 1$  würde sich die Impulsantwort  $h(t)$  bis ins Unendliche erstrecken und bei  $b_1 > 1$  würde  $h(t)$  sogar bis ins Unendliche anklingen.
• Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor  $b_1$  kleiner als die vorherige Diraclinie:

$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$

Zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Digitalfilters

$\text{Beispiel 2:}$  Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort  $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$  eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern  $a_0 = 1$  und  $b_1 = 0.6$.

• Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
• Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils  $b_1 = 0.6$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung

Aufgabe 5.3Z: Nichtrekursives Filter

Aufgabe 5.4: Sinusgenerator