Stochastische Signaltheorie/Digitale Filter

1. Stochastische Signaltheorie
2. Filterung stochastischer Signale
3. Digitale Filter

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Allgemeines Blockschaltbild

Jedes Signal $x(t)$ kann an einem Rechner nur durch die Folge $〈x_ν〉$ seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei $x_ν$ für $x(ν · T_{\rm A})$ steht. Der zeitliche Abstand $T_{\rm A}$ zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das Abtasttheorem nach oben begrenzt.

Um den Einfluss eines linearen Filters mit dem Frequenzgang $H(f)$ auf das zeitdiskrete Signal $〈x_ν〉$ zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben. Nachfolgend sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.

Blockschaltbild eines digitalen Filters

Für die Abtastwerte des Ausgangssignals gilt somit:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

Hierzu ist folgendes zu bemerken:

• Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Wertes $y_ν$ am Filterausgang vom aktuellen Eingangswert $x_ν$ und von den $M$ vorherigen Eingangswerten $x_{ν–1}$, ... , $x_{ν–M}.$
• Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von $y_ν$ durch die vorherigen Werte $y_{ν–1}$, ... , $y_{ν–M}$ am Filterausgang. Sie gibt somit den rekursiven Teil des Filters an.
• Man bezeichnet den ganzzahligen Parameter $M$ als die Ordnung des digitalen Filters.

Nichtrekursives Filter

$\text{Definition:}$  Sind alle Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} = 0$, so spricht von einem nichtrekursiven Filter.

Nichtrekursives digitales Filter

Ein solches nichtrekursives Filter $M$–ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:

• Der Ausgangswert $y_ν$ hängt nur vom aktuellen und den $M$ vorherigen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$

• Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit $x(t) = δ(t)$ (das entsprechende Eingangssignal in zeitdiskreter Schreibweise ist $x_ν ≡0$ mit Ausnahme von $x_0 =1$):

$$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )} .$$

• Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt daraus für den Filterfrequenzgang:

$$H(f) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}f\mu T_{\rm A} } } .$$

$\text{Beispiel 1:}$  Ein Zweiwegekanal, bei dem

• das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um $2\ \rm µ s$ verzögert ankommt, und
• in $4\ \rm µ s$ Abstand – also absolut zur Zeit $t = 6\ \rm µ s$ – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,

kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:

$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$

Rekursives Filter

$\text{Definition:}$  Sind alle Vorwärtskoeffizienten mit Ausnahme von $a_0$ identisch $a_\nu = 0$, so liegt ein (rein) rekursives Filter vor.

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall $M = 1$ (Blockschaltbild entsprechend Grafik):

Rekursives digitales Filter erster Ordnung

Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf:

• Der Ausgangswert $y_ν$ hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab, wie die folgende Rechung zeigt:

$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2} $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$

• Die zeitdiskrete Impulsantwort $〈h_\mu〉$ ist definitionsgemäß der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei $t =0$ anliegt.
• Die (zeitdiskrete) Impulsantwort eines rekursiven Filters reicht schon mit $M = 1$ bis ins Unendliche:

$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}$$

$$\Rightarrow 〈h_\mu〉= 〈a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2 \ \text{...} 〉.$$

• Aus Stabilitätsgründen muss $b_1 < 1$ gelten. Bei $b_1 = 1$ würde sich die Impulsantwort $h(t)$ bis ins Unendliche erstrecken und bei $b_1 > 1$ würde $h(t)$ sogar bis ins Unendliche anklingen.
• Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor $b_1$ kleiner als die vorherige Diraclinie:

$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$

Zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Filters

$\text{Beispiel 2:}$  Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort $〈h_\mu〉$ eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$.

• Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
• Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils $b_1 = 0.6$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung

Aufgabe 5.3Z: Nichtrekursives Filter

Aufgabe 5.4: Sinusgenerator