Stochastische Signaltheorie/Digitale Filter: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. April 2017, 14:37 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeines Blockschaltbild
2 Nichtrekursives Filter
3 Rekursives Filter
4 Aufgaben zum Kapitel

Allgemeines Blockschaltbild

Jedes Signal $x(t)$ kann an einem Rechner nur durch die Folge $〈x_ν〉$ seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei $x_ν$ für $x(ν · T_{\rm A})$ steht. Der zeitliche Abstand $T_{\rm A}$ zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das Abtasttheorem nach oben begrenzt.

Um den Einfluss eines linearen Filters mit dem Frequenzgang $H(f)$ auf das zeitdiskrete Signal $〈x_ν〉$ zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben. Nachfolgend sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.

Für die Abtastwerte des Ausgangssignals gilt somit: $$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

Hierzu ist folgendes zu bemerken:

Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Wertes $y_ν$ am Filterausgang vom aktuellen Eingangswert $x_ν$ und von den $M$ vorherigen Eingangswerten $x_{ν–1}$, ... , $x_{ν–M}.$
Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von $y_ν$ durch die vorherigen Werte $y_{ν–1}$, ... , $y_{ν–M}$ am Filterausgang. Sie gibt somit den rekursiven Teil des Filters an.
Man bezeichnet den ganzzahligen Parameter $M$ als die Ordnung des digitalen Filters.

Nichtrekursives Filter

Sind alle Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} = 0$, so spricht von einem nichtrekursiven Filter.

Ein solches nichtrekursives Filter $M$–ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:

Der Ausgangswert $y_ν$ hängt nur vom aktuellen und den $M$ vorherigen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$

Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit $x(t) = δ(t)$. In diskreter Schreibweise lautet das entsprechende Eingangssignal: $x_ν ≡0$ mit Ausnahme von $x_0 =1$:

$$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )} .$$

Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt daraus für den Filterfrequenzgang:

$$H(f) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}f\mu T_{\rm A} } } .$$

: Ein Zweiwegekanal, bei dem

das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um $2\ \rm μs$ verzögert ankommt, und
in $4\ \rm μs$ Abstand – also absolut zur Zeit $t = 6\ \rm μs$ – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,

kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:

$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{\mu s}},\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$

Rekursives Filter

Sind alle Vorwärtskoeffizienten mit Ausnahme von $a_0$ identisch $a_\nu = 0$, so liegt ein (rein) rekursives Filter vor. Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall $M = 1$ . Dann gilt folgendes Blockschaltbild:

Dieses Modell weist folgende Eigenschaften auf:

Der Ausgangswert $y_ν$ hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab, wie die folgende Rechung zeigt:

$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2} = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$

Die zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Filters reicht bis ins Unendliche. Darunter versteht man die Ausgangsfolge, wenn bei $t =$ 0 am Eingang eine einzelne „Eins” anliegt.
Für $M =$ 1 lautet die zeitdiskrete Impulsantwort des rekursiven Filters:

$$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } ).}$$

Aus Stabilitätsgründen muss $b_1 < 1$ gelten. Bei $b_1 = 1$ würde sich die Impulsantwort $h(t)$ bis ins Unendliche erstrecken und bei $b_1 > 1$ würde $h(t)$ sogar bis ins Unendliche anklingen.
Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor $b_1$ kleiner als die vorherige Diraclinie:

$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$

Zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Filters

Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort $〈h_\mu〉$ eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$.

Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils $b_1 = 0.6$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung

Aufgabe 5.3Z: Nichtrekursives Filter

Aufgabe 5.4: Sinusgenerator

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 Um den Einfluss eines linearen Filters mit dem Frequenzgang $H(f)$ auf das zeitdiskrete Signal $〈x_ν〉$ zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben. Nachfolgend sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild.
 [[Datei:P_ID552__Sto_T_5_2_S1_neu.png | Blockschaltbild eines digitalen Filters]]
 Für die Abtastwerte des Ausgangssignals gilt somit:
@@ Zeile 18: / Zeile 16: @@
 Hierzu ist folgendes zu bemerken:
-*Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Wertes $y_ν$ am Filterausgang vom aktuellen Eingangswert $x_ν$ und von den $M$ vorherigen Eingangswerten $x_{ν–1}, ... , x_{ν–M}.$
+*Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Wertes $y_ν$ am Filterausgang vom aktuellen Eingangswert $x_ν$ und von den $M$ vorherigen Eingangswerten $x_{ν–1}$, ... , $x_{ν–M}.$
-*Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von $y_ν$ durch die vorherigen Werte $y_{ν–1}, ... , y_{ν–M}$ am Filterausgang. Sie gibt somit den rekursiven Teil des Filters an.
+*Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von $y_ν$ durch die vorherigen Werte $y_{ν–1}$, ... , $y_{ν–M}$ am Filterausgang. Sie gibt somit den rekursiven Teil des Filters an.
 *Man bezeichnet den ganzzahligen Parameter $M$ als die Ordnung des digitalen Filters.
-==Nichtrekursive Filter==
+==Nichtrekursives Filter==
-Sind alle Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} =$ 0, so spricht von einem nichtrekursiven Filter.
+Sind alle Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} = 0$, so spricht von einem nichtrekursiven Filter.
 [[Datei:P_ID553__Sto_T_5_2_S2_neu.png | Nichtrekursives digitales Filter]]
+Ein solches nichtrekursives Filter $M$&ndash;ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:
-Ein solches nichtrekursives Filter $M$-ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:
 *Der Ausgangswert $y_ν$ hängt nur vom aktuellen und den $M$ vorherigen Eingangswerten ab:
-$$y_\nu   = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu   \cdot x_{\mu  - \nu } } .$$
+:$$y_\nu   = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu   \cdot x_{\mu  - \nu } } .$$
-*Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit $x(t) = δ(t)$. In diskreter Schreibweise lautet das entsprechende Eingangssignal: $x_ν ≡$ 0 mit Ausnahme von $x_0 =$ 1:
+*Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit $x(t) = δ(t)$. In diskreter Schreibweise lautet das entsprechende Eingangssignal: $x_ν ≡0$ mit Ausnahme von $x_0 =1$:
-$$h(t) = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu   \cdot \delta ( {t - \mu  \cdot T_{\rm A} } )} .$$
+:$$h(t) = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu   \cdot \delta ( {t - \mu  \cdot T_{\rm A} } )} .$$
 *Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt daraus für den Filterfrequenzgang:
-$$H(f) = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu   \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}f\mu T_{\rm A} } } .$$
+:$$H(f) = \sum\limits_{\mu  = 0}^M {a_\mu   \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}f\mu T_{\rm A} } } .$$
-{{Beispiel}}
+{{Beispiel}}''':'''&nbsp; Ein Zweiwegekanal, bei dem
-Ein Zweiwegekanal, bei dem
+*das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um $2\ \rm μs$ verzögert ankommt, und
-*das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um 2 μs verzögert ankommt, und
+*in $4\ \rm μs$ Abstand – also absolut zur Zeit $t = 6\ \rm μs$ – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,
-*in 4 μs Abstand – also absolut zur Zeit $t =$ 6 μs – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,
 kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:
-$$M = 3,\quad T_{\rm A}  = 2\;{\rm{\mu s}},\quad a_{\rm 0}    = 0,\quad a_{\rm 1}  = 1, \quad a_{\rm 2}  = 0, \quad a_{\rm 3}  = 0.5.$$
+:$$M = 3,\quad T_{\rm A}  = 2\;{\rm{\mu s}},\quad a_{\rm 0}    = 0,\quad a_{\rm 1}  = 1, \quad a_{\rm 2}  = 0, \quad a_{\rm 3}  = 0.5.$$
 {{end}}
-==Rekursive Filter==
+==Rekursives Filter==
-Sind alle Vorwärtskoeffizienten mit Ausnahme von $a_0$ identisch 0, so liegt ein (rein) rekursives Filter vor. Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall $M =$ 1. Dann gilt folgendes Blockschaltbild:
+Sind alle Vorwärtskoeffizienten mit Ausnahme von $a_0$ identisch $a_\nu = 0$, so liegt ein (rein) rekursives Filter vor. Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall $M = 1$ . Dann gilt folgendes Blockschaltbild:
 [[Datei:P_ID554__Sto_T_5_2_S3_neu.png | Rekursives digitales Filter erster Ordnung]]
 Dieses Modell weist folgende Eigenschaften auf:
 *Der Ausgangswert $y_ν$ hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab, wie die folgende Rechung zeigt:
-$$y_\nu   = a_0  \cdot x_\nu   + b_1  \cdot y_{\nu  - 1}  = a_0  \cdot x_\nu   + a_0  \cdot b_1  \cdot x_{\nu  - 1}  + {b_1} ^2  \cdot y_{\nu  - 2}  = \sum\limits_{\mu  = 0}^\infty  {a_0  \cdot {b_1} ^\mu   \cdot x_{\nu  - \mu } .}$$
+:$$y_\nu   = a_0  \cdot x_\nu   + b_1  \cdot y_{\nu  - 1}  = a_0  \cdot x_\nu   + a_0  \cdot b_1  \cdot x_{\nu  - 1}  + {b_1} ^2  \cdot y_{\nu  - 2}  = \sum\limits_{\mu  = 0}^\infty  {a_0  \cdot {b_1} ^\mu   \cdot x_{\nu  - \mu } .}$$
 *Die zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Filters reicht bis ins Unendliche. Darunter versteht man die Ausgangsfolge, wenn bei $t =$ 0 am Eingang eine einzelne „Eins” anliegt.
 *Für $M =$ 1 lautet die zeitdiskrete Impulsantwort des rekursiven Filters:
-$$h(t) = \sum\limits_{\mu  = 0}^\infty  {a_0  \cdot {b_1} ^\mu   \cdot \delta ( {t - \mu  \cdot T_{\rm A} } ).}$$
+:$$h(t) = \sum\limits_{\mu  = 0}^\infty  {a_0  \cdot {b_1} ^\mu   \cdot \delta ( {t - \mu  \cdot T_{\rm A} } ).}$$
-*Aus Stabilitätsgründen muss $b_1$ < 1 gelten. Bei $b_1 =$ 1 würde sich die Impulsantwort $h(t)$ bis ins Unendliche erstrecken und bei $b_1$ > 1 würde $h(t)$ sogar bis ins Unendliche anklingen.
+*Aus Stabilitätsgründen muss $b_1 < 1$ gelten. Bei $b_1 = 1$ würde sich die Impulsantwort $h(t)$ bis ins Unendliche erstrecken und bei $b_1 > 1$ würde $h(t)$ sogar bis ins Unendliche anklingen.
 *Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor $b_1$ kleiner als die vorherige Diraclinie:
-$$h_{\mu} = h(\mu  \cdot T_{\rm A}) =  {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$
+:$$h_{\mu} = h(\mu  \cdot T_{\rm A}) =  {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$
+[[Datei:Sto_T_5_2_S3_version2.png | Zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Filters | rechts]]
+Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort $〈h_\mu〉$ eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$.
+*Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
+*Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils $b_1 = 0.6$.
+==Aufgaben zum Kapitel==
+[[Aufgaben:5.3 Digitales Filter 1. Ordnung|Aufgabe 5.3: &nbsp; Digitales Filter 1. Ordnung]]
-[[Datei:P_ID2917__Sto_T_5_2_S3b.png | Zeitdiskrete Impulsantwort eines rekursiven Filters | rechts]]
+[[Aufgaben:5.3Z Nichtrekursives Filter|Aufgabe 5.3Z: &nbsp; Nichtrekursives Filter]]
-Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort $〈h_\mu〉$ eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern $a_0 =$ 1 und $b_1 =$ 0.6. Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche. Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils $b_1 =$ 0.6.
+[[Aufgaben:5.4 Sinusgenerator|Aufgabe 5.4: &nbsp; Sinusgenerator]]
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