Signaldarstellung/Zeitdiskrete Signaldarstellung: Unterschied zwischen den Versionen

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== # ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL # ==
 
== # ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL # ==
 
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Voraussetzung für die systemtheoretische Untersuchung von Digitalsystemen oder eine Computersimulation ist eine geeignete zeitdiskrete Signalbeschreibung. Dieses fünfte Kapitel verdeutlicht den mathematischen Übergang von zeitkontinuierlichen auf zeitdiskrete Signale, wobei von  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und  Fourierrücktransformation]]  ausgegangen wird.  
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Voraussetzung für die systemtheoretische Untersuchung von Digitalsystemen oder für deren Computersimulation ist eine geeignete zeitdiskrete Signalbeschreibung. Dieses Kapitel verdeutlicht den mathematischen Übergang von zeitkontinuierlichen auf zeitdiskrete Signale, wobei von&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und  Fourierrücktransformation]]&nbsp; ausgegangen wird.  
  
 
Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
 
Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
*die ''Zeit- und Frequenzbereichsdarstellung'' zeitdiskreter Signale,
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*die ''Zeit- und Frequenzbereichsdarstellung''&nbsp; zeitdiskreter Signale,
 
*das ''Abtasttheorem'', das bei der Zeitdiskretisierung unbedingt zu beachten ist,
 
*das ''Abtasttheorem'', das bei der Zeitdiskretisierung unbedingt zu beachten ist,
*die ''Rekonstruktion des Analogsignals'' aus der zeitdiskreten Repräsentation,
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*die ''Rekonstruktion des Analogsignals''&nbsp; aus der zeitdiskreten Repräsentation,
*die ''Diskrete Fouriertransformation'' (DFT) und deren Inverse (IDFT),
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*die ''Diskrete Fouriertransformation''&nbsp; (DFT) und deren Inverse (IDFT),
*die ''Fehlermöglichkeiten'' bei Anwendung von DFT und IDFT,
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*die ''Fehlermöglichkeiten''&nbsp; bei Anwendung von DFT und IDFT,
*die Anwendung der ''Spektralanalyse'' zur Verbesserung messtechnischer Verfahren, und
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*die Anwendung der ''Spektralanalyse''&nbsp; zur Verbesserung messtechnischer Verfahren, und
 
*den für eine Rechnerimplementierung besonders geeigneten ''FFT-Algorithmus''.
 
*den für eine Rechnerimplementierung besonders geeigneten ''FFT-Algorithmus''.
  
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des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik&rdquo;. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf  
 
des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik&rdquo;. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf  
*dem Lehrsoftwarepaket [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,  
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*dem Lehrsoftwarepaket&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,  
*der [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 7: Seite 119-144, Kapitel 8: Seite 145-164, und
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*der&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 7: Seite 119-144, Kapitel 8: Seite 145-164, und
*der [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12: Seite 271-294.
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*der&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12: Seite 271-294.
  
  
 
==Prinzip und Motivation==
 
==Prinzip und Motivation==
 
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Viele Nachrichtensignale sind analog und damit  gleichzeitig [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Zeitkontinuierliche_und_zeitdiskrete_Signale|zeitkontinuierlich]] und [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Wertkontinuierliche_und_wertdiskrete_Signale|wertkontinuierlich]]. Soll ein solches Analogsignal mittels eines Digitalsystems übertragen werden, so sind folgende Vorverarbeitungsschritte erforderlich:
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Viele Nachrichtensignale sind analog und damit  gleichzeitig&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Zeitkontinuierliche_und_zeitdiskrete_Signale|zeitkontinuierlich]]&nbsp; und&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Wertkontinuierliche_und_wertdiskrete_Signale|wertkontinuierlich]]. Soll ein solches Analogsignal mittels eines Digitalsystems übertragen werden, so sind folgende Vorverarbeitungsschritte erforderlich:
*die '''Abtastung''' des Nachrichtensignals $x(t)$, die zweckmäßigerweise – aber nicht notwendigerweise – zu äquidistanten Zeitpunkten erfolgt &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Zeitdiskretisierung''',
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*die&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; des Nachrichtensignals&nbsp; $x(t)$, die zweckmäßigerweise – aber nicht notwendigerweise – zu äquidistanten Zeitpunkten erfolgt &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Zeitdiskretisierung''',
*die '''Quantisierung''' der Abtastwerte und so die Anzahl $M$ der möglichen Werte auf einen endlichen Wert zu begrenzen  &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Wertdiskretisierung'''.
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*die&nbsp; '''Quantisierung'''&nbsp; der Abtastwerte, um so die Anzahl&nbsp; $M$&nbsp; der möglichen Werte auf einen endlichen Wert zu begrenzen  &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Wertdiskretisierung'''.
  
  
Die Quantisierung wird erst im Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]] des Buches „Modulationsverfahren” behandelt.
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Die Quantisierung wird erst im Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; des Buches „Modulationsverfahren” im Detail behandelt.
  
[[Datei:P_ID1120__Sig_T_5_1_S1_neu.png|center|frame|Zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$]]
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[[Datei:P_ID1120__Sig_T_5_1_S1_neu.png|center|frame|Zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$]]
  
Im Folgenden beschreiben wir die Abtastung in mathematisch exakter Weise, wobei wir folgende Nomenklatur verwenden:
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Im Folgenden verwenden wir für die Beschreibung der Abtastung folgende Nomenklatur:
*Das zeitkontinuierliche Signal sei $x(t)$.
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*Das zeitkontinuierliche Signal sei&nbsp; $x(t)$.
*Das in äquidistanten Abständen $T_{\rm A}$abgetastete zeitdiskretisierte Signal sei $x_{\rm A}(t)$.
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*Das in äquidistanten Abständen&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastete zeitdiskretisierte Signal sei&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
*Außerhalb der Abtastzeitpunkte $\nu \cdot T_{\rm A}$ gilt stets $x_{\rm A}(t) = 0$.
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*Außerhalb der Abtastzeitpunkte&nbsp; $\nu \cdot T_{\rm A}$&nbsp; gilt stets&nbsp; $x_{\rm A}(t) = 0$.
*Die Laufvariable $\nu$ sei [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:  &nbsp; &nbsp; $\nu \in \mathbb{Z} =  \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
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*Die Laufvariable&nbsp; $\nu$&nbsp; sei&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:  &nbsp; &nbsp; $\nu \in \mathbb{Z} =  \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
*Dagegen ergibt sich zu den äquidistanten Abtastzeitpunkten mit der Konstanten $K$:
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*Dagegen ergibt sich zu den äquidistanten Abtastzeitpunkten mit der Konstanten&nbsp; $K$:
 
   
 
   
 
:$$x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A}) = K \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A}) = K \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
  
Die Konstante hängt von der Art der Zeitdiskretisierung ab. Für die obige Skizze gilt $K = 1$.
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Die Konstante hängt von der Art der Zeitdiskretisierung ab. Für die obige Skizze gilt&nbsp; $K = 1$.
  
  
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{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$&nbsp; Im gesamten $\rm LNTwww$ soll unter '''Abtastung''' die Multiplikation des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$ mit dem Diracpuls $p_{\delta}(t)$ verstanden werden:
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$\text{Definition:}$&nbsp; Im gesamten $\rm LNTwww$ soll unter&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; die Multiplikation des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem&nbsp; ''Diracpuls''&nbsp; $p_{\delta}(t)$ verstanden werden:
 
   
 
   
 
:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.05cm}.$$}}
 
:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.05cm}.$$}}
  
  
Anzumerken ist, dass in der Literatur auch andere Beschreibungsformen gefunden werden. Den Autoren erscheint jedoch die hier gewählte Form im Hinblick auf die Spektraldarstellung und die Herleitung der [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation (DFT)]]  als am besten geeignet.
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Anzumerken ist, dass in der Literatur auch andere Beschreibungsformen gefunden werden. Den Autoren erscheint jedoch die hier gewählte Form im Hinblick auf die Spektraldarstellung und die Herleitung der&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp;  (DFT) am besten geeignet.
  
 
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$\text{Definition:}$&nbsp; Der '''Diracpuls (im Zeitbereich)''' besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand $T_{\rm A}$ und alle mit gleichem Impulsgewicht $T_{\rm A}$:
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$\text{Definition:}$&nbsp; Der&nbsp; '''Diracpuls (im Zeitbereich)'''&nbsp; besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit gleichem Impulsgewicht&nbsp; $T_{\rm A}$:
 
   
 
   
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
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Aufgrund dieser Definition ergeben sich für das abgetastete Signal folgende Eigenschaften:
 
Aufgrund dieser Definition ergeben sich für das abgetastete Signal folgende Eigenschaften:
*Das abgetastete Signal zum betrachteten Zeitpunkt $(\nu \cdot T_{\rm A})$ ist gleich $T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A}) · \delta (0)$.
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*Das abgetastete Signal zum betrachteten Zeitpunkt&nbsp; $(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; ist gleich&nbsp; $T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A}) · \delta (0)$.
*Da die Diracfunktion $\delta (t)$ zur Zeit $t = 0$ unendlich ist, sind eigentlich alle Signalwerte $x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A})$ ebenfalls unendlich groß.
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*Da die Diracfunktion&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; unendlich ist, sind eigentlich alle Signalwerte&nbsp; $x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; ebenfalls unendlich groß.
*Somit ist auch der auf der letzten Seite eingeführte Faktor $K$ eigentlich unendlich groß.
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*Somit ist auch der auf der letzten Seite eingeführte Faktor&nbsp; $K$&nbsp; eigentlich unendlich groß.
*Zwei Abtastwerte $x_{\rm A}(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$ und $x_{\rm A}(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$ unterscheiden sich aber im gleichen Verhältnis wie die Signalwerte $x(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$ und $x(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$.
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*Zwei Abtastwerte&nbsp; $x_{\rm A}(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm A}(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; unterscheiden sich jedoch im gleichen Verhältnis wie die Signalwerte&nbsp; $x(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; und&nbsp; $x(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$.
*Die Abtastwerte von $x(t)$ erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:
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*Die Abtastwerte von&nbsp; $x(t)$&nbsp; erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:
 
   
 
   
 
:$$x_{\rm A}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
 
:$$x_{\rm A}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
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  )\hspace{0.05cm}.$$
 
  )\hspace{0.05cm}.$$
  
*Die zusätzliche Multiplikation mit $T_{\rm A}$ ist erforderlich, damit $x(t)$ und $x_{\rm A}(t)$ gleiche Einheit besitzen. Beachten Sie hierbei, dass $\delta (t)$ selbst die Einheit „1/s” aufweist.
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*Die zusätzliche Multiplikation mit&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist erforderlich, damit&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; gleiche Einheit besitzen. Beachten Sie hierbei, dass&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; selbst die Einheit „1/s” aufweist.
  
  
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$\text{Satz:}$&nbsp; Entwickelt man den '''Diracpuls''' in eine [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]] und transformiert diese unter Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] in den Frequenzbereich, so ergibt sich folgende Korrespondenz:
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$\text{Satz:}$&nbsp; Entwickelt man den&nbsp; '''Diracpuls'''&nbsp; in eine&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]]&nbsp; und transformiert diese unter Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; in den Frequenzbereich, so ergibt sich folgende Korrespondenz:
 
   
 
   
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
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  (f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$
 
  (f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$
  
Hierbei gibt $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ den Abstand zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich an. }}
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Hierbei gibt&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; den Abstand zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich an. }}
  
 
   
 
   
 
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$\text{Beweis:}$&nbsp; Die Herleitung der hier angegebenen Spektralfunktion $P_{\delta}(f)$ geschieht in mehreren Schritten:
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$\text{Beweis:}$&nbsp; Die Herleitung der hier angegebenen Spektralfunktion&nbsp; $P_{\delta}(f)$&nbsp; geschieht in mehreren Schritten:
  
'''(1)'''&nbsp;&nbsp; Da $p_{\delta}(t)$ periodisch mit dem konstanten Abstand $T_{\rm A}$ zwischen zwei Diraclinien ist, kann die [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|(komplexe) Fourierreihendarstellung]] angewendet werden:
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'''(1)'''&nbsp;&nbsp; Da&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; periodisch mit dem konstanten Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; zwischen zwei Diraclinien ist, kann die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|(komplexe) Fourierreihendarstellung]]&nbsp; angewendet werden:
 
   
 
   
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} D_{\mu} \cdot
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} D_{\mu} \cdot
  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }
+
  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }
 
  \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
 
  \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
 
  D_{\mu} = \frac{1}{T_{\rm A} } \cdot \int_{-T_{\rm A}/2
 
  D_{\mu} = \frac{1}{T_{\rm A} } \cdot \int_{-T_{\rm A}/2
  }^{+T_{\rm A}/2}p_{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}
+
  }^{+T_{\rm A}/2}p_{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}
 
  \cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
 
  \cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(2)'''&nbsp;&nbsp; Im Integrationsbereich von $–T_{\rm A}/2$ bis $+T_{\rm A}/2$ gilt aber für den Diracpuls im Zeitbereich: $p_{\delta}(t) = T_{\rm A} \cdot \delta(t)$. Damit kann für die komplexen Fourierkoeffizienten geschrieben werden: &nbsp;  
+
'''(2)'''&nbsp;&nbsp; Im Bereich von&nbsp; $–T_{\rm A}/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_{\rm A}/2$&nbsp; gilt für den Diracpuls im Zeitbereich: &nbsp; $p_{\delta}(t) = T_{\rm A} \cdot \delta(t)$. Damit kann man für die komplexen Fourierkoeffizienten schreiben: &nbsp;  
 
:$$D_{\mu} = \int_{-T_{\rm A}/2
 
:$$D_{\mu} = \int_{-T_{\rm A}/2
  }^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}
+
  }^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}
 
  \cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$  
 
  \cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$  
'''(3)'''&nbsp;&nbsp; Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass für $t \neq 0$ der Diracimpuls gleich $0$ ist und für $t = 0$ der komplexe Drehfaktor gleich $1$, gilt weiter:
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'''(3)'''&nbsp;&nbsp; Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass für&nbsp; $t \neq 0$&nbsp; der Diracimpuls Null ist und für&nbsp; $t = 0$&nbsp; der komplexe Drehfaktor gleich&nbsp; $1$, gilt weiter:
 
:$$D_{\mu} = \int_{- T_{\rm A}/2
 
:$$D_{\mu} = \int_{- T_{\rm A}/2
 
  }^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1\hspace{0.5cm}{\Rightarrow}\hspace{0.5cm}
 
  }^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1\hspace{0.5cm}{\Rightarrow}\hspace{0.5cm}
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  \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.05cm}.
 
  \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.05cm}.
 
  $$
 
  $$
'''(4)'''&nbsp;&nbsp; Der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz im Frequenzbereich]] lautet mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$:
+
'''(4)'''&nbsp;&nbsp; Der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz im Frequenzbereich]]&nbsp; lautet mit&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$:
 
:$${\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}
 
:$${\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}
 
\hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
 
\hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
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Das Ergebnis besagt:
 
Das Ergebnis besagt:
*Der Diracpuls $p_{\delta}(t)$ im Zeitbereich besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand $T_{\rm A}$ und alle mit gleichem Impulsgewicht $T_{\rm A}$.
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*Der Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; im Zeitbereich besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit gleichem Impulsgewicht&nbsp; $T_{\rm A}$.
*Die Fouriertransformierte von $p_{\delta}(t)$  ergibt wiederum einen Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich  &nbsp; ⇒  &nbsp; $P_{\delta}(f)$.
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*Die Fouriertransformierte von&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; ergibt wiederum einen Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich  &nbsp; ⇒  &nbsp; $P_{\delta}(f)$.
*$P_{\delta}(f)$ besteht ebenfalls aus unendlich vielen Diracimpulsen, nun aber im jeweiligen Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ und alle mit dem Impulsgewicht $1$.
+
*$P_{\delta}(f)$&nbsp; besteht ebenfalls aus unendlich vielen Diracimpulsen, nun aber im jeweiligen Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit dem Impulsgewicht&nbsp; $1$.
*Die Abstände der Diraclinien in der Zeit– und Frequenzbereichsdarstellung folgen demnach dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]: &nbsp; $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$
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*Die Abstände der Diraclinien in der Zeit– und Frequenzbereichsdarstellung folgen demnach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]: &nbsp;  
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:$$T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  
  
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Man erkennt aus dieser Skizze auch die unterschiedlichen Impulsgewichte von $p_{\delta}(t)$ und $P_{\delta}(f)$.}}
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Man erkennt aus dieser Skizze auch die unterschiedlichen Impulsgewichte von&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; und&nbsp; $P_{\delta}(f)$.}}
  
  
 
==Frequenzbereichsdarstellung==
 
==Frequenzbereichsdarstellung==
 
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Zum Spektrum von $x_{\rm A}(t)$ kommt man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:
+
Zum Spektrum des abgetasteten Signals&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; kommt man durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:
 
   
 
   
 
:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
  X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$
 
  X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$
  
Aus dem Spektrum $X(f)$ wird durch Faltung mit der um $\mu \cdot f_{\rm A}$ verschobenen Diraclinie:
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Aus dem Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird durch Faltung mit der um&nbsp; $\mu \cdot f_{\rm A}$&nbsp; verschobenen Diraclinie:
 
   
 
   
 
:$$X(f) \star \delta
 
:$$X(f) \star \delta
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$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Abtastung des analogen Zeitsignals $x(t)$ in äquidistanten Abständen $T_{\rm A}$ führt im Spektralbereich zu einer '''periodischen Fortsetzung''' von $X(f)$ mit dem Frequenzabstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$.}}
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$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Abtastung des analogen Zeitsignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; in äquidistanten Abständen&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; führt im Spektralbereich zu einer&nbsp; '''periodischen Fortsetzung'''&nbsp; von&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit dem Frequenzabstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$.}}
  
  
 
{{GraueBox|TEXT=
 
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
Die obere Grafik zeigt schematisch das Spektrum $X(f)$ eines Analogsignals $x(t)$, das Frequenzen bis $5 \text{ kHz}$ beinhaltet.
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Die obere Grafik zeigt&nbsp; (schematisch!)&nbsp; das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Analogsignals&nbsp; $x(t)$, das Frequenzen bis&nbsp; $5 \text{ kHz}$&nbsp; beinhaltet.
  
 
[[Datei:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png|center|frame|Spektrum des abgetasteten Signals]]
 
[[Datei:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png|center|frame|Spektrum des abgetasteten Signals]]
  
Tastet man das Signal mit der Abtastrate $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, &micro;s}$ ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum $X_{\rm A}(f)$.  
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Tastet man das Signal mit der Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, &micro;s}$&nbsp; ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$.  
*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$ auch beliebig hochfrequente Anteile.  
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*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; auch beliebig hochfrequente Anteile.  
*Dementsprechend ist die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}
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*Dementsprechend ist die Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}
  
  
 
==Signalrekonstruktion==
 
==Signalrekonstruktion==
 
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[[Datei:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Signalabtastung und &ndash;rekonstruktion]]
 
 
Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden. Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:
 
Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden. Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:
*Das Analogsignal $x(t)$ mit Bandbreite $B_{\rm NF}$ wird wie oben beschrieben abgetastet.
 
*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ vor.
 
*Die Frage ist nun, wie der Block '''Signalrekonstruktion''' zu gestalten ist, damit auch $y(t) = x(t)$ gilt.
 
  
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[[Datei:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|center|frame|Signalabtastung und Signalrekonstruktion]]
  
Die Lösung ist relativ einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: &nbsp; Man erhält aus $Y_{\rm A}(f)$ das Spektrum $Y(f) = X(f)$ durch einen Tiefpass mit dem [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]] $H(f)$, der
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*Das Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; wird wie oben beschrieben abgetastet.
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*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; vor.
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*Die Frage ist nun, wie der Block&nbsp; '''Signalrekonstruktion'''&nbsp; zu gestalten ist, damit auch&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; gilt.
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Die Lösung ist relativ einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: &nbsp; Man erhält aus&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; das Spektrum&nbsp; $Y(f) = X(f)$&nbsp; durch einen Tiefpass mit dem&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]]&nbsp; $H(f)$, der&nbsp;
 
[[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der Signalrekonstruktion]]
 
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*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
 
*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
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*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
 
*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
 
:$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \ge f_{\rm A} - B_{\rm
 
:$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \ge f_{\rm A} - B_{\rm
   NF}\hspace{0.05cm}.$$  
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   NF}\hspace{0.05cm}.$$
Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang $H(f)$ im Bereich von $B_{\rm NF}$ bis $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$ beliebig geformt sein kann,  
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Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; bis&nbsp; $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$&nbsp; beliebig geformt sein kann,  
 
*beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf)  
 
*beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf)  
 
*oder auch rechteckförmig,  
 
*oder auch rechteckförmig,  
  
  
solange die zwei oben genannten Bedingungen erfüllt sind.
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solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind.
 
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==Das Abtasttheorem==
 
==Das Abtasttheorem==
 
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Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals $y(t)$ aus dem abgetasteten Signal $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$ ist nur möglich, wenn die Abtastrate $f_{\rm A}$ entsprechend der Bandbreite $B_{\rm NF}$ des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde.  
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Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals&nbsp; $y(t)$&nbsp; aus dem abgetasteten Signal&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; ist nur möglich, wenn die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; entsprechend der Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde.  
  
Aus der Grafik der [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Signalrekonstruktion|letzten Seite]] erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:
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Aus der Grafik der&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Signalrekonstruktion|letzten Seite]]&nbsp; erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:
  
 
:$$f_{\rm A} - B_{\rm  NF} > B_{\rm  NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot  B_{\rm  NF}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$f_{\rm A} - B_{\rm  NF} > B_{\rm  NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot  B_{\rm  NF}\hspace{0.05cm}.$$
 
   
 
   
 
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$\text{Abtasttheorem:}$&nbsp; Besitzt ein Analogsignal $x(t)$ Spektralanteile im Bereich $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:
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$\text{Abtasttheorem:}$&nbsp; Besitzt ein Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; Spektralanteile im Bereich&nbsp; $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:
 
:$$f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}.$$  
 
:$$f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}.$$  
  
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Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert &nbsp; ⇒ &nbsp; $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$ herangezogen,  
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Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert &nbsp; ⇒ &nbsp; $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$&nbsp; herangezogen,  
 
*so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten  
 
*so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten  
*ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$ verwendet werden.
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*ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$&nbsp; verwendet werden.
  
  
 
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$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik zeigt oben das auf $\pm\text{ 5 kHz}$ begrenzte Spektrum $X(f)$ eines Analogsignals, unten das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des im Abstand $T_{\rm A} =\,\text{ 100 &micro; s}$ abgetasteten Signals &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$.  
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$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik zeigt oben das auf&nbsp; $\pm\text{ 5 kHz}$&nbsp; begrenzte Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Analogsignals, unten das Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des im Abstand&nbsp; $T_{\rm A} =\,\text{ 100 &micro;s}$&nbsp; abgetasteten Signals &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$.
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[[Datei:P_ID1125__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Abtasttheorem im Frequenzbereich]]
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<br>Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; des Tiefpasses zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$&nbsp; betragen muss.
  
Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang $H(f)$ des Tiefpasses zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$ betragen muss.
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[[Datei:P_ID1125__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Abtasttheorem im Frequenzbereich]]
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*Mit jedem anderen&nbsp; $f_{\rm G}$–Wert ergäbe sich&nbsp; $Y(f) \neq X(f)$.  
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*Bei&nbsp; $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$&nbsp; fehlen die oberen&nbsp; $X(f)$–Anteile.
*Mit jedem anderen $f_{\rm G}$–Wert ergäbe sich $Y(f) \neq X(f)$.  
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* Bei&nbsp; $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$&nbsp; kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in&nbsp; $Y(f)$.
*Bei $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$ fehlen die oberen $X(f)$–Anteile.
 
* Bei $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$ kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in $Y(f)$.
 
 
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<br clear=all>
Wäre die Abtastung beim Sender mit einer Abtastrate $f_{\rm A} < 10\,\text{ kHz}$  erfolgt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $T_{\rm A} >100 \,{\rm &micro;  s}$, so wäre das Analogsignal $y(t) = x(t)$ aus den Abtastwerten $y_{\rm A}(t)$ auf keinen Fall rekonstruierbar.}}
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Wäre die Abtastung beim Sender mit einer Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} < 10\,\text{ kHz}$&nbsp; erfolgt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $T_{\rm A} >100 \,{\rm &micro;  s}$, so wäre das Analogsignal&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; aus den Abtastwerten&nbsp; $y_{\rm A}(t)$&nbsp; auf keinen Fall rekonstruierbar.}}
  
  

Aktuelle Version vom 10. Oktober 2019, 11:43 Uhr

# ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL #


Voraussetzung für die systemtheoretische Untersuchung von Digitalsystemen oder für deren Computersimulation ist eine geeignete zeitdiskrete Signalbeschreibung. Dieses Kapitel verdeutlicht den mathematischen Übergang von zeitkontinuierlichen auf zeitdiskrete Signale, wobei von  Fouriertransformation und Fourierrücktransformation  ausgegangen wird.

Das Kapitel beinhaltet im Einzelnen:

  • die Zeit- und Frequenzbereichsdarstellung  zeitdiskreter Signale,
  • das Abtasttheorem, das bei der Zeitdiskretisierung unbedingt zu beachten ist,
  • die Rekonstruktion des Analogsignals  aus der zeitdiskreten Repräsentation,
  • die Diskrete Fouriertransformation  (DFT) und deren Inverse (IDFT),
  • die Fehlermöglichkeiten  bei Anwendung von DFT und IDFT,
  • die Anwendung der Spektralanalyse  zur Verbesserung messtechnischer Verfahren, und
  • den für eine Rechnerimplementierung besonders geeigneten FFT-Algorithmus.


Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

  • Kapitel 7:     Diskrete Fouriertransformation, Programm dft,
  • Kapitel 8:     Spektralanalyse, Programm stp, und
  • Kapitel 12:   Pulscodemodulation, Programm pcm


des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

  • dem Lehrsoftwarepaket  LNTsim   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,
  • der  Praktikumsanleitung - Teil A   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 7: Seite 119-144, Kapitel 8: Seite 145-164, und
  • der  Praktikumsanleitung - Teil B   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 12: Seite 271-294.


Prinzip und Motivation


Viele Nachrichtensignale sind analog und damit gleichzeitig  zeitkontinuierlich  und  wertkontinuierlich. Soll ein solches Analogsignal mittels eines Digitalsystems übertragen werden, so sind folgende Vorverarbeitungsschritte erforderlich:

  • die  Abtastung  des Nachrichtensignals  $x(t)$, die zweckmäßigerweise – aber nicht notwendigerweise – zu äquidistanten Zeitpunkten erfolgt   ⇒   Zeitdiskretisierung,
  • die  Quantisierung  der Abtastwerte, um so die Anzahl  $M$  der möglichen Werte auf einen endlichen Wert zu begrenzen   ⇒   Wertdiskretisierung.


Die Quantisierung wird erst im Kapitel  Pulscodemodulation  des Buches „Modulationsverfahren” im Detail behandelt.

Zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$

Im Folgenden verwenden wir für die Beschreibung der Abtastung folgende Nomenklatur:

  • Das zeitkontinuierliche Signal sei  $x(t)$.
  • Das in äquidistanten Abständen  $T_{\rm A}$  abgetastete zeitdiskretisierte Signal sei  $x_{\rm A}(t)$.
  • Außerhalb der Abtastzeitpunkte  $\nu \cdot T_{\rm A}$  gilt stets  $x_{\rm A}(t) = 0$.
  • Die Laufvariable  $\nu$  sei  ganzzahlig:     $\nu \in \mathbb{Z} = \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
  • Dagegen ergibt sich zu den äquidistanten Abtastzeitpunkten mit der Konstanten  $K$:
$$x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A}) = K \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante hängt von der Art der Zeitdiskretisierung ab. Für die obige Skizze gilt  $K = 1$.


Zeitbereichsdarstellung


$\text{Definition:}$  Im gesamten $\rm LNTwww$ soll unter  Abtastung  die Multiplikation des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$  mit dem  Diracpuls  $p_{\delta}(t)$ verstanden werden:

$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.05cm}.$$


Anzumerken ist, dass in der Literatur auch andere Beschreibungsformen gefunden werden. Den Autoren erscheint jedoch die hier gewählte Form im Hinblick auf die Spektraldarstellung und die Herleitung der  Diskreten Fouriertransformation  (DFT) am besten geeignet.

$\text{Definition:}$  Der  Diracpuls (im Zeitbereich)  besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand  $T_{\rm A}$  und alle mit gleichem Impulsgewicht  $T_{\rm A}$:

$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot \delta(t- \nu \cdot T_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$


Aufgrund dieser Definition ergeben sich für das abgetastete Signal folgende Eigenschaften:

  • Das abgetastete Signal zum betrachteten Zeitpunkt  $(\nu \cdot T_{\rm A})$  ist gleich  $T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A}) · \delta (0)$.
  • Da die Diracfunktion  $\delta (t)$  zur Zeit  $t = 0$  unendlich ist, sind eigentlich alle Signalwerte  $x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A})$  ebenfalls unendlich groß.
  • Somit ist auch der auf der letzten Seite eingeführte Faktor  $K$  eigentlich unendlich groß.
  • Zwei Abtastwerte  $x_{\rm A}(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$  und  $x_{\rm A}(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$  unterscheiden sich jedoch im gleichen Verhältnis wie die Signalwerte  $x(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$  und  $x(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$.
  • Die Abtastwerte von  $x(t)$  erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:
$$x_{\rm A}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot \delta (t- \nu \cdot T_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$
  • Die zusätzliche Multiplikation mit  $T_{\rm A}$  ist erforderlich, damit  $x(t)$  und  $x_{\rm A}(t)$  gleiche Einheit besitzen. Beachten Sie hierbei, dass  $\delta (t)$  selbst die Einheit „1/s” aufweist.


Die folgenden Seiten werden zeigen, dass diese gewöhnungsbedürftigen Gleichungen durchaus zu sinnvollen Ergebnissen führen, wenn man sie konsequent anwendet.


Diracpuls im Zeit- und im Frequenzbereich


$\text{Satz:}$  Entwickelt man den  Diracpuls  in eine  Fourierreihe  und transformiert diese unter Anwendung des  Verschiebungssatzes  in den Frequenzbereich, so ergibt sich folgende Korrespondenz:

$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot \delta(t- \nu \cdot T_{\rm A} )\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$

Hierbei gibt  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  den Abstand zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich an.


$\text{Beweis:}$  Die Herleitung der hier angegebenen Spektralfunktion  $P_{\delta}(f)$  geschieht in mehreren Schritten:

(1)   Da  $p_{\delta}(t)$  periodisch mit dem konstanten Abstand  $T_{\rm A}$  zwischen zwei Diraclinien ist, kann die  (komplexe) Fourierreihendarstellung  angewendet werden:

$$p_{\delta}(t) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} D_{\mu} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} } \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} D_{\mu} = \frac{1}{T_{\rm A} } \cdot \int_{-T_{\rm A}/2 }^{+T_{\rm A}/2}p_{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$

(2)   Im Bereich von  $–T_{\rm A}/2$  bis  $+T_{\rm A}/2$  gilt für den Diracpuls im Zeitbereich:   $p_{\delta}(t) = T_{\rm A} \cdot \delta(t)$. Damit kann man für die komplexen Fourierkoeffizienten schreiben:  

$$D_{\mu} = \int_{-T_{\rm A}/2 }^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$

(3)   Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass für  $t \neq 0$  der Diracimpuls Null ist und für  $t = 0$  der komplexe Drehfaktor gleich  $1$, gilt weiter:

$$D_{\mu} = \int_{- T_{\rm A}/2 }^{+T_{\rm A}/2}{\delta}(t) \hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1\hspace{0.5cm}{\Rightarrow}\hspace{0.5cm} p_{\delta}(t) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T_{\rm A} }\hspace{0.05cm}. $$

(4)   Der  Verschiebungssatz im Frequenzbereich  lautet mit  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$:

$${\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} \cdot 2 \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm A}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$

(5)   Wendet man das Ergebnis auf jeden einzelnen Summanden an, so erhält man schließlich:

$$P_{\delta}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$
q.e.d.


Das Ergebnis besagt:

  • Der Diracpuls  $p_{\delta}(t)$  im Zeitbereich besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand  $T_{\rm A}$  und alle mit gleichem Impulsgewicht  $T_{\rm A}$.
  • Die Fouriertransformierte von  $p_{\delta}(t)$  ergibt wiederum einen Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich   ⇒   $P_{\delta}(f)$.
  • $P_{\delta}(f)$  besteht ebenfalls aus unendlich vielen Diracimpulsen, nun aber im jeweiligen Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  und alle mit dem Impulsgewicht  $1$.
  • Die Abstände der Diraclinien in der Zeit– und Frequenzbereichsdarstellung folgen demnach dem  Reziprozitätsgesetz:  
$$T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$


Diracpuls im Zeit- und Frequenzbereich

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik verdeutlicht die obigen Aussagen für

  • $T_{\rm A} = 50\,{\rm µs}$,
  • $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 20\,\text{kHz}$ .


Man erkennt aus dieser Skizze auch die unterschiedlichen Impulsgewichte von  $p_{\delta}(t)$  und  $P_{\delta}(f)$.


Frequenzbereichsdarstellung


Zum Spektrum des abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  kommt man durch Anwendung des  Faltungssatzes. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:

$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$

Aus dem Spektrum  $X(f)$  wird durch Faltung mit der um  $\mu \cdot f_{\rm A}$  verschobenen Diraclinie:

$$X(f) \star \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A} )= X (f- \mu \cdot f_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$

Wendet man dieses Ergebnis auf alle Diraclinien des Diracpulses an, so erhält man schließlich:

$$X_{\rm A}(f) = X(f) \star \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A} ) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$  Die Abtastung des analogen Zeitsignals  $x(t)$  in äquidistanten Abständen  $T_{\rm A}$  führt im Spektralbereich zu einer  periodischen Fortsetzung  von  $X(f)$  mit dem Frequenzabstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$.


$\text{Beispiel 2:}$  Die obere Grafik zeigt  (schematisch!)  das Spektrum  $X(f)$  eines Analogsignals  $x(t)$, das Frequenzen bis  $5 \text{ kHz}$  beinhaltet.

Spektrum des abgetasteten Signals

Tastet man das Signal mit der Abtastrate  $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand  $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, µs}$  ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum  $X_{\rm A}(f)$.

  • Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$  auch beliebig hochfrequente Anteile.
  • Dementsprechend ist die Spektralfunktion  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.


Signalrekonstruktion


Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden. Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:

Signalabtastung und Signalrekonstruktion
  • Das Analogsignal  $x(t)$  mit der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  wird wie oben beschrieben abgetastet.
  • Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  vor.
  • Die Frage ist nun, wie der Block  Signalrekonstruktion  zu gestalten ist, damit auch  $y(t) = x(t)$  gilt.


Die Lösung ist relativ einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet:   Man erhält aus  $Y_{\rm A}(f)$  das Spektrum  $Y(f) = X(f)$  durch einen Tiefpass mit dem  Frequenzgang  $H(f)$, der 

Frequenzbereichsdarstellung der Signalrekonstruktion
  • die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
$$H(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \le B_{\rm NF}\hspace{0.05cm},$$
  • die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
$$H(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \ge f_{\rm A} - B_{\rm NF}\hspace{0.05cm}.$$

Weiter ist aus der Grafik zu erkennen, dass der Frequenzgang  $H(f)$  im Bereich von  $B_{\rm NF}$  bis  $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$  beliebig geformt sein kann,

  • beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf)
  • oder auch rechteckförmig,


solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind.

Das Abtasttheorem


Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals  $y(t)$  aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  ist nur möglich, wenn die Abtastrate  $f_{\rm A}$  entsprechend der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde.

Aus der Grafik der  letzten Seite  erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:

$$f_{\rm A} - B_{\rm NF} > B_{\rm NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot B_{\rm NF}\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Abtasttheorem:}$  Besitzt ein Analogsignal  $x(t)$  Spektralanteile im Bereich  $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:

$$f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}.$$

Für den Abstand zweier Abtastwerte muss demnach gelten:

$$T_{\rm A} \le \frac{1}{ 2 \cdot B_{\rm NF} }\hspace{0.05cm}.$$


Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert   ⇒   $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$  herangezogen,

  • so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten
  • ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$  verwendet werden.


$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt oben das auf  $\pm\text{ 5 kHz}$  begrenzte Spektrum  $X(f)$  eines Analogsignals, unten das Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des im Abstand  $T_{\rm A} =\,\text{ 100 µs}$  abgetasteten Signals   ⇒   $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$.

Abtasttheorem im Frequenzbereich


Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang  $H(f)$  des Tiefpasses zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$  betragen muss.


  • Mit jedem anderen  $f_{\rm G}$–Wert ergäbe sich  $Y(f) \neq X(f)$.
  • Bei  $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$  fehlen die oberen  $X(f)$–Anteile.
  • Bei  $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$  kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in  $Y(f)$.


Wäre die Abtastung beim Sender mit einer Abtastrate  $f_{\rm A} < 10\,\text{ kHz}$  erfolgt   ⇒   $T_{\rm A} >100 \,{\rm µ s}$, so wäre das Analogsignal  $y(t) = x(t)$  aus den Abtastwerten  $y_{\rm A}(t)$  auf keinen Fall rekonstruierbar.


Hinweis:   Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:   Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem

Aufgabe 5.1Z: Abtastung harmonischer Schwingungen