Signaldarstellung/Einige Sonderfälle impulsartiger Signale: Unterschied zwischen den Versionen

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==Rechteckimpuls==
 
==Rechteckimpuls==
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[[Datei:Sig_T_3_2_S1_version3.png|right|frame|Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum]]
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Man spricht von einem&nbsp; $\text{Rechteckimpuls}$, wenn für die Zeitfunktion gilt:
  
Man spricht von einem '''Rechteckimpuls''', wenn für die Zeitfunktion gilt:
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:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A  \\  A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.}  \\ \end{array}$$
 
 
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A  \\  A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.}  \\ \end{array}$$
 
 
   
 
   
[[Datei:P_ID470__Sig_T_3_2_S1_rah.png|350px|right|Rechteckimpuls und Spektrum]]
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Hierbei bezeichnet&nbsp; $A$&nbsp; die Impulsamplitude und&nbsp; $T$&nbsp; die Impulsdauer.
  
Hierbei bezeichnet $A$ die Impulsamplitude und $T$ die Impulsdauer.
 
  
Die dazugehörige Spektralfunktion $X(f)$ erhält man durch Anwendung des ersten Fourierintegrals:
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Die dazugehörige Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; erhält man durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]:
 
   
 
   
$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} {A  \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi  ft}\, {\rm d}t = A } \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$
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:$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} {A  \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi  ft}\, {\rm d}t = A }\cdot  \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$
  
Hierbei berücksichtigen die Integrationsgrenzen $\pm T/2$, dass $x(t)$ ausserhalb des Intervalls von $+T/2$ bis $+T/2$ identisch 0 ist. Das zweite Integral verschwindet aufgrund des ungeraden Integranden und man erhält:
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*Hierbei berücksichtigen die Integrationsgrenzen&nbsp; $\pm T/2$, dass&nbsp; $x(t)$&nbsp; außerhalb des Intervalls von&nbsp; $-T/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T/2$&nbsp; identisch Null ist.  
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*Das zweite Integral verschwindet aufgrund des ungeraden Integranden und man erhält:
 
   
 
   
$$X(f) = \frac{A  \cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$
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:$$X(f) = \frac{A  \cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$
  
{{Definition}}
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{{BlaueBox|TEXT= 
Zur Abkürzung definieren wir nachfolgende Funktion und bezeichnen diese als '''si-Funktion''' oder auch als '''Spaltfunktion''':
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$\text{Definition:}$&nbsp;
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Zur Abkürzung definieren wir die nachfolgende Funktion und bezeichnen diese als&nbsp; $\text{si-Funktion}$&nbsp; oder auch als&nbsp; $\text{Spaltfunktion}$:
  
$${\rm si}\left( x \right) = \sin \left( x \right)/x.$$
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:$${\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( x \right) = \sin \left( x \right)/x.$$}}
 
{{end}}
 
  
  
Durch eine Erweiterung von Zähler und Nenner jeweils mit $T$ kann man für die '''Spektralfunktion''' des Rechteckimpulses auch schreiben:
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Durch eine Erweiterung von Zähler und Nenner jeweils mit&nbsp; $T$&nbsp; kann man für die Spektralfunktion des Rechteckimpulses auch schreiben:
 
   
 
   
$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\left( {\pi fT} \right).$$
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:$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( {\pi fT} \right).$$
  
Wie die obere Grafik zeigt, besitzt $X(f)$ folgende Eigenschaften:
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Wie die Grafik zeigt, besitzt&nbsp; $X(f)$&nbsp; folgende Eigenschaften:
*Das Maximum liegt bei der Frequenz $f=0$ und hat den Wert $A \cdot T$ (Fläche des Rechtecks).
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*Das Maximum liegt bei der Frequenz&nbsp; $f=0$&nbsp; und hat den Wert&nbsp; $A \cdot T$&nbsp; (Fläche des Rechtecks).
*Bei den Frequenzen $f_n = n/T$ mit $n$ = ±1, ±2, ±3, ... besitzt das Spektrum Nullstellen:
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*Bei den Frequenzen&nbsp; $f_n = n/T$&nbsp; mit&nbsp; $n = ±1, ±2, ±3,\text{ ...} $&nbsp; besitzt das Spektrum Nullstellen:
  
: $X( {f = f_n } ) = 0.$
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:$$X( {f = f_n } ) = 0.$$
 
   
 
   
 
*Für das Betragsspektrum gilt folgende Schranke:
 
*Für das Betragsspektrum gilt folgende Schranke:
 
   
 
   
$$\left| {X( f )} \right| \le \frac{A}{\pi \cdot \left| f \right|}.$$
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:$$\left| {X( f )} \right| \le \frac{A}{\pi \cdot \left| f \right|}.$$
  
  
 
==Gaußimpuls==
 
==Gaußimpuls==
 
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Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der '''Gaußimpuls''' mit dem Zeitverlauf
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Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der&nbsp; $\text{Gaußimpuls}$&nbsp; mit dem Zeitverlauf
 
   
 
   
$$x(t) = A  \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {t/\Delta t} \right)^2 } .$$
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:$$x(t) = A  \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {t/\Delta t} \right)^2 } .$$
  
 
Dieser Impuls wird durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch
 
Dieser Impuls wird durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch
*die Impulsamplitude $A$ und
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*die Impulsamplitude&nbsp; $A$, und
*die äquivalente Impulsdauer $\Delta t$.
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*die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t$.
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{{BlaueBox|TEXT= 
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$\text{Definition:}$&nbsp; Als&nbsp; $\text{äquivalente Impulsdauer}$&nbsp; bezeichnet man allgemein die Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal&nbsp; $x(t)$:
  
{{Definition}}
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:$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$}}
Die Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal x(t) bezeichnet man allgemein als '''äquivalente Impulsdauer''':
 
  
$$\Delta t = \frac{1}{{A }}\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$
 
  
{{end}}
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Der Gaußimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; weist folgende Eigenschaften auf&nbsp; $($siehe Grafik im&nbsp; $\text{Beispiel 1})$:
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*Die Zeitfunktion ist für alle Zeiten von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; existent und positiv.
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*Das bedeutet gleichzeitig:&nbsp; Die absolute Impulsdauer ist unendlich groß.
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*Das Impulsmaximum&nbsp; $A$&nbsp; liegt bei $t = 0$.
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*Bei&nbsp; $t = \pm \Delta t/2$&nbsp; ist der Impuls auf&nbsp; $\text{e}^{-\pi/4} \approx 0.456$&nbsp; des Maximums abgeklungen, und bei&nbsp; $t = \pm \Delta t$&nbsp; ist der Signalwert kleiner als&nbsp; $3.5 \cdot 10^{-6} \cdot A$.
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*Die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist ebenfalls gaußförmig  und  hat sinngemäß gleiche Eigenschaften wie der gaußförmige Impuls&nbsp; $x(t)$:
  
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:$$X(f) = A  \cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t} \right)^2 }.$$
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Auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]&nbsp;  wird auf die Analogien von Zeitbereich und Frequenzbereich des Gaußimpulses detailliert eingegangen.
  
Der Gaußimpuls $x(t)$ weist folgende Eigenschaften auf (siehe Grafik am Seitenende):
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Das folgende Beispiel verdeutlicht die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen dem Gaußimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; und seinem Spektrum&nbsp; $X(f)$.
*Die Zeitfunktion ist für alle Zeiten von $-\infty$ bis $+\infty$ existent und positiv. Das bedeutet gleichzeitig: Die absolute Impulsdauer ist unendlich groß.
 
*Das Impulsmaximum $A$ liegt bei $t$ = 0.
 
*Bei $t = \pm \Delta t/2$ ist der Impuls auf $\text{e}^{-\pi/4} \approx 0.456$ des Impulsmaximums abgeklungen, und bei$t = \pm \Delta t$ ist die Signalamplitude bereits kleiner als 0.0000035 · $A$.
 
*Die Spektralfunktion ist ebenfalls gaußförmig:
 
  
$$X(f) = A \cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {f \cdot \Delta t} \right)^2 }.$$
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{{GraueBox|TEXT=   
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
*Das Spektrum $X(f)$ hat sinngemäß gleiche Eigenschaften wie der gaußförmige Impuls $x(t)$. Auf der Seite Reziprozitätsgesetz im Kapitel 3.3 wird auf die Analogien von Zeitbereich und Frequenzbereich des Gaußimpulses nochmals gesondert eingegangen.
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Der Ausgangsleistungsimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; eines Lasers für die digitale optische Übertragung kann im äquivalenten Tiefpassbereich mit guter Näherung als gaußförmig angenommen werden.
  
Die Grafik verdeutlicht Gemeinsamkeiten/Unterschiede zwischen $x(t)$ und $X(f)$ beim Gaußimpuls.
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[[Datei:P_ID559__Sig_T_3_2_S2_b_neu.png|right|frame|Gaußimpuls und zugehöriges Spektrum&nbsp; (Zahlenwertbeispiel)]]
  
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Die Signalparameter seien&nbsp; $A = 1 \,\text{mW}$&nbsp; und&nbsp; $\Delta t =1 \,\text{ns}$.
  
{{Beispiel}}
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Damit erhält man im Spektralbereich die vergleichbaren Kenngrößen:
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* das Maximum&nbsp; $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12} \,\text{W/Hz}$,
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*die äquivalente Bandbreite&nbsp; $\Delta f = 1/\Delta t = 1 \,\text{GHz}$.
  
[[Datei:P_ID559__Sig_T_3_2_S2_b_neu.png|300px|right|Gaußimpuls und Spektrum (Zahlenwertbeispiel)]]
 
  
Der Ausgangsleistungsimpuls $x(t)$ eines Lasers für die digitale optische Übertragung kann im äquivalenten Tiefpassbereich mit guter Näherung als gaußförmig angenommen werden.
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Theoretisch erstreckt sich das absolute Frequenzband bis ins Unendliche.&nbsp; Allerdings ist bei&nbsp; $f = 2 \cdot \Delta f = 2\,\text{GHz}$&nbsp; die Spektralfunktion gegenüber ihrem Maximum schon um den Faktor&nbsp; $3.5 \cdot 10^{-6}$&nbsp; abgeklungen.}}
  
Mit den Signalparametern $A$ = 1 Milliwatt, $\Delta t$ = 1 Nanosekunde erhält man im Spektralbereich die vergleichbaren Kenngrößen $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12}$ W/Hz (Maximum) sowie die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/\Delta t = 1 \text{GHz}$. Theoretisch erstreckt sich das Frequenzband absolut bis ins Unendliche. Allerdings ist bei $f = 2 \cdot \Delta f = 2 \text{GHz}$ die Spektralfunktion gegenüber ihrem Maximum schon um den Faktor $s.5 \cdot 10^{-6}$ abgeklungen.
 
{{end}}
 
  
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Wir möchten Sie auf zwei interaktive Applets zu dieser Thematik aufmerksam machen, mit denen Sie sich die Zeit– und Frequenzbereichsdarstellungen von Gaußimpuls, Rechteckimpuls, Dreieckimpuls, Trapezimpuls und Cosinus–Rolloff–Impuls  bzw. die vergleichbaren Größen eines LZI&ndash;Systems parametrisiert anzeigen lassen:
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*[[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]
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*[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und  Impulsantwort]]
  
Wir möchten Sie auf zwei Interaktionsmodule zu dieser Thematik aufmerksam machen:
 
*Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
 
*Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort
 
Mit diesen Modulen können Sie sich die folgenden Zeit– und Frequenzbereichsdarstellungen parametrisiert anzeigen lassen:
 
*Gaußimpuls,
 
*Rechteckimpuls,
 
*Dreieckimpuls,
 
*Trapezimpuls,
 
*Cosinus–Rolloff–Impuls.
 
  
 
Ebenso ist die Darstellung der so genannten „dualen Korrespondenzen” möglich.
 
Ebenso ist die Darstellung der so genannten „dualen Korrespondenzen” möglich.
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==Diracimpuls==
 
==Diracimpuls==
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Im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung|Periodische Signale]]&nbsp; wurde die&nbsp; '''Diracfunktion'''&nbsp; bereits zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet.
  
Im Kapitel 2 wurde die Diracfunktion zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet. In der Nachrichtentechnik ist es aber auch üblich und äußerst vorteilhaft, kurzfristige impulsartige Vorgänge mit Hilfe dieser mathematischen Funktion im Zeitbereich zu beschreiben und zu analysieren.
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In der Nachrichtentechnik ist es aber auch üblich und äußerst vorteilhaft, kurzfristige impulsartige Vorgänge mit Hilfe dieser mathematischen Funktion im Zeitbereich zu beschreiben und zu analysieren.
Man bezeichnet als '''Diracimpuls''' den Zeitverlauf
 
  
$$x(t) = X_0 \cdot \delta (t),$$
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[[Datei:Sig_T_3_2_S3_version3.png|right|frame|Diracimpuls und zugehöriges Spektrum]]
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{{BlaueBox|TEXT= 
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$\text{Definition:}$&nbsp;
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Man bezeichnet als&nbsp; $\text{Diracimpuls}$&nbsp; den Zeitverlauf
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:$$x(t) = X_0 \cdot \delta (t),$$
 
   
 
   
 
der wie folgt charakterisiert werden kann (siehe Skizze):
 
der wie folgt charakterisiert werden kann (siehe Skizze):
*Der Diracimpuls ist unendlich schmal, das heißt, es ist $x(t)$ = 0 für $t \neq 0$.
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*Der Diracimpuls ist unendlich schmal &nbsp; &rArr; &nbsp;  es gilt&nbsp; $x(t)$ = 0&nbsp; für&nbsp; $t \neq 0$&nbsp; und zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist der Diracimpuls unendlich hoch.
*Der Diracimpuls ist zum Zeitpunkt $t$ = 0 unendlich hoch.
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*Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf, so hat das Impulsgewicht&nbsp; $X_0$&nbsp; die Einheit „Vs” (also die Einheit „V/Hz” einer Spektralfunktion),&nbsp; da&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; selbst die Einheit „1/s” besitzt.
*Beschreibt $x(t)$ einen Spannungsverlauf, so hat dessen Impulsgewicht $X_0$ die Einheit „Vs” (also die Einheit „V/Hz” einer Spektralfunktion), da $\delta (t)$ selbst die Einheit „1/s” besitzt.
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*Die Spektralfunktion des Diracimpulses beinhaltet alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; gleichermaßen: &nbsp;
*Die Spektralfunktion des Diracimpulses beinhaltet alle Frequenzen gleichermaßen:
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:$$X(f) = X_0 = \rm const.$$}}
: $X(f) = X_0$ für alle Freqeunzen f.
 
 
 
 
 
[[Datei:P_ID560__Sig_T_3_2_S3_rah.png|300px|right|Diracimpuls und Spektrum]]
 
Die Grafik verdeutlicht diese Zusammenhänge beim Diracimpuls.
 
 
 
Die hier genannten Eigenschaften sind in einem Lernvideo zusammenfassend dargestellt:
 
Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion (Dauer 2:50)
 
 
 
{{Beispiel}}
 
Wir betrachten ein elektrisches Netzwerk mit ausgeprägter Tiefpasscharakteristik, z. B. mit der sehr niedrigen Grenzfrequenz $f_G$ = 10 kHz. Dessen Ausgangssignal ändert sich (nahezu) nicht, wenn eines der nachfolgenden Signale an den Eingang angelegt wird:
 
 
 
[[Datei:P_ID561__Sig_T_3_2_S3b_neu.png|300px|right|Zur Bedeutung des Diracimpulses]]
 
  
Diese Grafik kann wie folgt interpretiert werden:
 
*Da bei $x_1(t)$ und $x_2(t)$ die äquivalenten Impulsdauern jeweils gleich sind ($\Delta t$ = 1 μs) und diese sehr viel kleiner ist als $1/f_G$ = 100 μs, hat die tatsächliche Impulsform (Rechteck oder Dreieck) keinen oder nur einen untergeordneten Einfluss auf das Ausgangssignal.
 
*Deshalb können beide Eingangsimpulse – sowohl das Rechteck $x_1(t)$ als auch das Dreieck $x_2(t)$ – durch den Diracimpuls $x_3(t)$ angenähert werden, dessen Impulsfläche identisch mit den Impulsflächen von $x_1(t)$ und $x_2(t)$ ist: $X_0 = 6 · 10^{-6}$ Vs. Bei einer Grenzfrequenz $f_G$ = 10 MHz wäre diese vereinfachende Näherung dagegen nicht erlaubt.
 
*Auch wenn der Diracimpuls gleich hoch wie die beiden anderen Impulse gezeichnet ist, so hat er zum Zeitpunkt $t$ = 0 trotzdem einen unendlich großen Wert. Beim Diracimpuls ist immer die Impulsfläche („Impulsgewicht”) angegeben. Diese unterscheidet sich gegenüber den anderen Impulsamplituden bereits in der Einheit („Vs” anstelle von „V”).
 
  
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Die hier genannten Eigenschaften sind im Lernvideo&nbsp; [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]]&nbsp; zusammenfassend dargestellt.
  
{{end}}
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[[Datei:P_ID561__Sig_T_3_2_S3b_neu.png|right|frame|Zur Bedeutung des Diracimpulses]]
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{{GraueBox|TEXT= 
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten ein
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Netzwerk mit Tiefpass&ndash;Charakteristik und sehr niedriger Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = 10\,\text{ kHz}$.&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ändert sich (nahezu) nicht, wenn eines der skizzierten Signale&nbsp; $x_1(t)$,&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; oder&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; an den Eingang angelegt wird.
  
 +
Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:
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*Da bei&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; die äquivalenten Impulsdauern jeweils gleich sind&nbsp; $(\Delta t = 1\, &micro;\text{s})$&nbsp; und diese sehr viel kleiner ist als&nbsp; $1/f_{\rm G}  = 100 \, &micro;\text{s}$, hat die tatsächliche Impulsform (Rechteck oder Dreieck) nur einen untergeordneten Einfluss auf das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$.
 +
*Beide Eingangsimpulse – sowohl das Rechteck&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; als auch das Dreieck&nbsp; $x_2(t)$ – kann man durch den Diracimpuls&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; annähern.&nbsp; Das Impulsgewicht&nbsp;  $X_0 = 6 · 10^{-6}\, \text{Vs}$&nbsp; muss dabei gleich den Impulsflächen von&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; sein.
 +
*Voraussetzung für diese Näherung ist allerdings eine hinreichend kleine Grenzfrequenz.&nbsp; Bei&nbsp; $f_{\rm G} = 10 \, \text{MHz}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $1/f_{\rm G}  = 100 \, \text{ns}$&nbsp; wäre diese Vereinfachung dagegen nicht erlaubt.
 +
*Auch wenn der Diracimpuls gleich hoch wie die beiden anderen Impulse gezeichnet ist, so hat er zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; trotzdem einen unendlich großen Wert.
 +
*Beim Diracimpuls ist immer die Impulsfläche&nbsp; („Impulsgewicht”)&nbsp; angegeben.&nbsp; Diese unterscheidet sich gegenüber den anderen Impulsamplituden bereits in der Einheit&nbsp; (zum Beispiel „Vs” anstelle von „V”).}}
  
  
==Aufgaben zu Kapitel 3.2==
+
==Aufgaben zum Kapitel==
  
[[Aufgaben:3.3 Vom Signal zum Spektrum]]
+
[[Aufgaben:Aufgabe_3.3:_Vom_Signal_zum_Spektrum|Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum]]
  
 +
[[Aufgaben:Aufgabe_3.3Z:_Rechteck-_und_Diracimpuls|Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls]]
  
  
  
 
{{Display}}
 
{{Display}}

Aktuelle Version vom 22. April 2021, 10:58 Uhr

Rechteckimpuls


Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum

Man spricht von einem  $\text{Rechteckimpuls}$, wenn für die Zeitfunktion gilt:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A \\ A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

Hierbei bezeichnet  $A$  die Impulsamplitude und  $T$  die Impulsdauer.


Die dazugehörige Spektralfunktion  $X(f)$  erhält man durch Anwendung des  ersten Fourierintegrals:

$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} {A \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi ft}\, {\rm d}t = A }\cdot \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$
  • Hierbei berücksichtigen die Integrationsgrenzen  $\pm T/2$, dass  $x(t)$  außerhalb des Intervalls von  $-T/2$  bis  $+T/2$  identisch Null ist.
  • Das zweite Integral verschwindet aufgrund des ungeraden Integranden und man erhält:
$$X(f) = \frac{A \cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$

$\text{Definition:}$  Zur Abkürzung definieren wir die nachfolgende Funktion und bezeichnen diese als  $\text{si-Funktion}$  oder auch als  $\text{Spaltfunktion}$:

$${\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( x \right) = \sin \left( x \right)/x.$$


Durch eine Erweiterung von Zähler und Nenner jeweils mit  $T$  kann man für die Spektralfunktion des Rechteckimpulses auch schreiben:

$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( {\pi fT} \right).$$

Wie die Grafik zeigt, besitzt  $X(f)$  folgende Eigenschaften:

  • Das Maximum liegt bei der Frequenz  $f=0$  und hat den Wert  $A \cdot T$  (Fläche des Rechtecks).
  • Bei den Frequenzen  $f_n = n/T$  mit  $n = ±1, ±2, ±3,\text{ ...} $  besitzt das Spektrum Nullstellen:
$$X( {f = f_n } ) = 0.$$
  • Für das Betragsspektrum gilt folgende Schranke:
$$\left| {X( f )} \right| \le \frac{A}{\pi \cdot \left| f \right|}.$$


Gaußimpuls


Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der  $\text{Gaußimpuls}$  mit dem Zeitverlauf

$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {t/\Delta t} \right)^2 } .$$

Dieser Impuls wird durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch

  • die Impulsamplitude  $A$, und
  • die äquivalente Impulsdauer  $\Delta t$.


$\text{Definition:}$  Als  $\text{äquivalente Impulsdauer}$  bezeichnet man allgemein die Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal  $x(t)$:

$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$


Der Gaußimpuls  $x(t)$  weist folgende Eigenschaften auf  $($siehe Grafik im  $\text{Beispiel 1})$:

  • Die Zeitfunktion ist für alle Zeiten von  $-\infty$  bis  $+\infty$  existent und positiv.
  • Das bedeutet gleichzeitig:  Die absolute Impulsdauer ist unendlich groß.
  • Das Impulsmaximum  $A$  liegt bei $t = 0$.
  • Bei  $t = \pm \Delta t/2$  ist der Impuls auf  $\text{e}^{-\pi/4} \approx 0.456$  des Maximums abgeklungen, und bei  $t = \pm \Delta t$  ist der Signalwert kleiner als  $3.5 \cdot 10^{-6} \cdot A$.
  • Die Spektralfunktion  $X(f)$  ist ebenfalls gaußförmig und hat sinngemäß gleiche Eigenschaften wie der gaußförmige Impuls  $x(t)$:
$$X(f) = A \cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t} \right)^2 }.$$

Auf der Seite  Reziprozitätsgesetz  wird auf die Analogien von Zeitbereich und Frequenzbereich des Gaußimpulses detailliert eingegangen.

Das folgende Beispiel verdeutlicht die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen dem Gaußimpuls  $x(t)$  und seinem Spektrum  $X(f)$.

$\text{Beispiel 1:}$  Der Ausgangsleistungsimpuls  $x(t)$  eines Lasers für die digitale optische Übertragung kann im äquivalenten Tiefpassbereich mit guter Näherung als gaußförmig angenommen werden.

Gaußimpuls und zugehöriges Spektrum  (Zahlenwertbeispiel)

Die Signalparameter seien  $A = 1 \,\text{mW}$  und  $\Delta t =1 \,\text{ns}$.

Damit erhält man im Spektralbereich die vergleichbaren Kenngrößen:

  • das Maximum  $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12} \,\text{W/Hz}$,
  • die äquivalente Bandbreite  $\Delta f = 1/\Delta t = 1 \,\text{GHz}$.


Theoretisch erstreckt sich das absolute Frequenzband bis ins Unendliche.  Allerdings ist bei  $f = 2 \cdot \Delta f = 2\,\text{GHz}$  die Spektralfunktion gegenüber ihrem Maximum schon um den Faktor  $3.5 \cdot 10^{-6}$  abgeklungen.


Wir möchten Sie auf zwei interaktive Applets zu dieser Thematik aufmerksam machen, mit denen Sie sich die Zeit– und Frequenzbereichsdarstellungen von Gaußimpuls, Rechteckimpuls, Dreieckimpuls, Trapezimpuls und Cosinus–Rolloff–Impuls bzw. die vergleichbaren Größen eines LZI–Systems parametrisiert anzeigen lassen:


Ebenso ist die Darstellung der so genannten „dualen Korrespondenzen” möglich.


Diracimpuls


Im Kapitel  Periodische Signale  wurde die  Diracfunktion  bereits zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet.

In der Nachrichtentechnik ist es aber auch üblich und äußerst vorteilhaft, kurzfristige impulsartige Vorgänge mit Hilfe dieser mathematischen Funktion im Zeitbereich zu beschreiben und zu analysieren.

Diracimpuls und zugehöriges Spektrum

$\text{Definition:}$  Man bezeichnet als  $\text{Diracimpuls}$  den Zeitverlauf

$$x(t) = X_0 \cdot \delta (t),$$

der wie folgt charakterisiert werden kann (siehe Skizze):

  • Der Diracimpuls ist unendlich schmal   ⇒   es gilt  $x(t)$ = 0  für  $t \neq 0$  und zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist der Diracimpuls unendlich hoch.
  • Beschreibt  $x(t)$  einen Spannungsverlauf, so hat das Impulsgewicht  $X_0$  die Einheit „Vs” (also die Einheit „V/Hz” einer Spektralfunktion),  da  $\delta (t)$  selbst die Einheit „1/s” besitzt.
  • Die Spektralfunktion des Diracimpulses beinhaltet alle Frequenzen  $f$  gleichermaßen:  
$$X(f) = X_0 = \rm const.$$


Die hier genannten Eigenschaften sind im Lernvideo  Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion  zusammenfassend dargestellt.

Zur Bedeutung des Diracimpulses

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten ein Netzwerk mit Tiefpass–Charakteristik und sehr niedriger Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 10\,\text{ kHz}$.  Das Ausgangssignal  $y(t)$  ändert sich (nahezu) nicht, wenn eines der skizzierten Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  oder  $x_3(t)$  an den Eingang angelegt wird.

Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:

  • Da bei  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  die äquivalenten Impulsdauern jeweils gleich sind  $(\Delta t = 1\, µ\text{s})$  und diese sehr viel kleiner ist als  $1/f_{\rm G} = 100 \, µ\text{s}$, hat die tatsächliche Impulsform (Rechteck oder Dreieck) nur einen untergeordneten Einfluss auf das Ausgangssignal  $y(t)$.
  • Beide Eingangsimpulse – sowohl das Rechteck  $x_1(t)$  als auch das Dreieck  $x_2(t)$ – kann man durch den Diracimpuls  $x_3(t)$  annähern.  Das Impulsgewicht  $X_0 = 6 · 10^{-6}\, \text{Vs}$  muss dabei gleich den Impulsflächen von  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  sein.
  • Voraussetzung für diese Näherung ist allerdings eine hinreichend kleine Grenzfrequenz.  Bei  $f_{\rm G} = 10 \, \text{MHz}$   ⇒   $1/f_{\rm G} = 100 \, \text{ns}$  wäre diese Vereinfachung dagegen nicht erlaubt.
  • Auch wenn der Diracimpuls gleich hoch wie die beiden anderen Impulse gezeichnet ist, so hat er zum Zeitpunkt  $t = 0$  trotzdem einen unendlich großen Wert.
  • Beim Diracimpuls ist immer die Impulsfläche  („Impulsgewicht”)  angegeben.  Diese unterscheidet sich gegenüber den anderen Impulsamplituden bereits in der Einheit  (zum Beispiel „Vs” anstelle von „V”).


Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum

Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls