Signaldarstellung/Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 48: Zeile 48:
 
Wir betrachten nun das Spektrum  $X_+(f)$  des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich  $f = 0$  geraden  Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  und einen ungeraden Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  auf:  
 
Wir betrachten nun das Spektrum  $X_+(f)$  des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich  $f = 0$  geraden  Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  und einen ungeraden Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  auf:  
 
:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$  
 
:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$  
Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.
+
Alle diese Spektren sind im allgemeinen komplex.
  
 
Berücksichtigt man den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]  der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
 
Berücksichtigt man den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]  der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
 
*Der gerade Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  von  $X_{+}(f)$  führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  zu einem imaginären.
 
*Der gerade Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  von  $X_{+}(f)$  führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  zu einem imaginären.
 
+
*Es ist offensichtlich, dass  $X_{\rm +g}(f)$  gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum  $X(f)$  und damit der Realteil von  $x_{\rm +g}(t)$  gleich dem vorgegebenen Signal  $x(t)$  mit Bandpasseigenschaften ist.
 
+
*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit  $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
 
 
*Es ist offensichtlich, dass $X_{\rm +g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{\rm +g}(t)$ gleich dem vorgegebenen Signal $x(t)$ mit Bandpasseigenschaften ist.
 
*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
 
 
:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
 
:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]] gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
+
*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]  gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
 
:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
 
:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
 
sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
 
sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungsoperation]], und man erhält:
+
*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungsoperation]], und man erhält:
 
:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
 
:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
 
\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
 
\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
Zeile 70: Zeile 67:
 
==Darstellung mit der Hilberttransformation==
 
==Darstellung mit der Hilberttransformation==
 
<br>
 
<br>
An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]] noch eingehend behandelt wird.
+
An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; noch eingehend behandelt wird.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp; Für die '''Hilberttransformierte''' $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:
+
$\text{Definition:}$&nbsp; Für die&nbsp; '''Hilberttransformierte'''&nbsp; $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; gilt:
 
   
 
   
 
:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
 
:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
Zeile 79: Zeile 76:
 
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
 
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
  
*Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes] ausgewertet werden.  
+
*Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes]&nbsp; ausgewertet werden.  
  
 
*Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
 
*Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
Zeile 87: Zeile 84:
  
 
Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
 
Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
*Man erhält aus dem realen, physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
+
*Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man zu&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
 
   
 
   
 
:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
 
:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
  
*Die Hilberttransformierte $\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für den Fall  $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal $x_+(t)$ somit stets komplex.
+
*Die Hilberttransformierte&nbsp; $\text{H}\{x(t)\}$&nbsp; verschwindet nur für den Fall&nbsp; $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; somit stets komplex.
*Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das reale Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
+
*Aus dem analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; kann das reale Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
 
:$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
 
:$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:  
 
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:  
*Nach der linken Darstellung $\rm (A)$ kommt man vom physikalischen Signal $x(t)$ zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil ${\rm j} \cdot y(t)$ hinzufügt.  
+
*Nach der linken Darstellung&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; kommt man vom physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil&nbsp; ${\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; hinzufügt.  
*Hierbei ist $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$] eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit $- {\rm j} \cdot \sign(f)$ angeben lässt.
+
*Hierbei ist&nbsp; $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; angeben lässt.
  
 
[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|frame|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
 
[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|frame|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
  
Die rechte Darstellung $\rm (B)$ ist äquivalent zu $\rm (A)$:  
+
Die rechte Darstellung&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ist äquivalent zu&nbsp; $\rm (A)$:  
*Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$.  
+
*Nun gilt&nbsp; $x_+(t) = x(t) + z(t)$&nbsp; mit der rein imaginären Funktion&nbsp; $z(t)$.  
*Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$ ist.}}
+
*Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich&nbsp; $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; ist.}}
  
  
 
==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==
 
==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==
 
<br>
 
<br>
Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
+
Die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; einer harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$&nbsp; besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
* $+f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
+
* $+f_{\rm T}$&nbsp; mit dem komplexen Gewicht&nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
* $-f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
+
* $-f_{\rm T}$&nbsp; mit dem komplexen Gewicht&nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
  
  
Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals (also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz $f =-f_{\rm T}$):
+
Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f =-f_{\rm T})$:
  
 
:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
 
:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
 
T}) .$$
 
T}) .$$
 
   
 
   
Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:
+
Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:
 
   
 
   
 
:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
 
:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
 
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
 
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
  
Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$ drehenden Zeiger.  
+
Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$&nbsp; drehenden Zeiger.  
 
 
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um $90^\circ$ nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
+
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um&nbsp; $90^\circ$&nbsp; nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
  
 
[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]
 
[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]
  
 
Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
 
Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
*Zum Startzeitpunkt $t = 0$ liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\varphi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\varphi = 45^\circ$.
+
*Zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; liegt der Zeiger der Länge&nbsp; $A$&nbsp; (Signalamplitude) mit dem Winkel&nbsp; $-\varphi$&nbsp; in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt&nbsp; $\varphi = 45^\circ$.
*Für Zeiten $t > 0$ dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_{\rm T}$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
+
*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)&nbsp; $\omega_{\rm T}$&nbsp; in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung $x(t)$.
+
*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius&nbsp; $A$&nbsp; und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit&nbsp; $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t)$.
*Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von $x(t)$.}}
+
*Die Projektion des analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von&nbsp; $x(t)$.}}
  
  
Zeile 147: Zeile 143:
 
\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
 
\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
  
Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel $I = 3$. Wählt man $I$ relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch kontinuierliche Spektralfunktionen $X_+(f)$ angenähert werden.
+
Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel&nbsp; $I = 3$. Wählt man&nbsp; $I$&nbsp; relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz&ndash;) kontinuierliche Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; angenähert werden.
  
 
[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png|center|frame|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei Schwingungen]]
 
[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png|center|frame|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei Schwingungen]]
Zeile 156: Zeile 152:
 
\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
 
\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
  
Zu dieser Grafik ist Folgendes anzumerken:
+
Zu dieser Grafik anzumerken:
*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt $t = 0$ entsprechend den Amplituden $A_i$ und den Phasenlagen $\varphi_i$.
+
*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; entsprechend den Amplituden&nbsp; $A_i$&nbsp; und den Phasenlagen&nbsp; $\varphi_i$.
*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt $t = 0$:
+
*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
:$$x_+(t) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
+
:$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
*Für Zeiten $t$ > 0 drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
+
*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten&nbsp; $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger $x_+(t)$ tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt $t = 1\,&micro;\text {s}$ liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die angegebenen Parameterwerte bei
+
*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1\,&micro;\text {s}$&nbsp; liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
 
:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}&micro; s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
 
:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}&micro; s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
Zeile 178: Zeile 174:
  
  
Das interaktive Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.
+
Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]&nbsp; verdeutlicht&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.
  
  

Version vom 4. Oktober 2019, 15:13 Uhr

Definition im Frequenzbereich


Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal  $x(t)$  mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum  $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals  $x(t)$  ist.

$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  analytische Signal  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:

Analytisches Signal im Frequenzbereich
$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte „Signumfunktion” ist dabei für positive Werte von  $f$  gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.

  • Der (beidseitige) Grenzwert liefert  $\sign(0) = 0$.
  • Der Index „+” soll deutlich machen, dass  $X_+(f)$  nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.


Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für  $X_+(f)$:

Das tatsächliche Bandpass–Spektrum  $X(f)$  wird

  • bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
  • bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.


Beispielspektrum des analytischen Signals

$\text{Beispiel 1:}$ 

Die Grafik zeigt

  • links das (komplexe) Spektrum  $X(f)$  des Bandpass–Signals
$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$
  • rechts das (ebenfalls komplexe) Spektrum des analytischen Signals  $x_{+}(t)$.


Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich


Zur Herleitung des analytischen Signals

Wir betrachten nun das Spektrum  $X_+(f)$  des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich  $f = 0$  geraden Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  und einen ungeraden Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  auf:

$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$

Alle diese Spektren sind im allgemeinen komplex.

Berücksichtigt man den  Zuordnungssatz  der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:

  • Der gerade Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  von  $X_{+}(f)$  führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  zu einem imaginären.
  • Es ist offensichtlich, dass  $X_{\rm +g}(f)$  gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum  $X(f)$  und damit der Realteil von  $x_{\rm +g}(t)$  gleich dem vorgegebenen Signal  $x(t)$  mit Bandpasseigenschaften ist.
  • Bezeichnen wir den Imaginärteil mit  $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
  • Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem  Zuordnungssatz  gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
  • Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die  Faltungsoperation, und man erhält:
$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star \hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Darstellung mit der Hilberttransformation


An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch  Lineare zeitinvariante Systeme  noch eingehend behandelt wird.

$\text{Definition:}$  Für die  Hilberttransformierte  $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  gilt:

$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
  • Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des  Cauchy–Hauptwertsatzes  ausgewertet werden.
  • Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$


Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:

  • Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal  $x(t)$  das analytische Signal  $x_+(t)$, indem man zu  $x(t)$  einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
  • Die Hilberttransformierte  $\text{H}\{x(t)\}$  verschwindet nur für den Fall  $x(t) = \rm const.$   ⇒   Gleichsignal Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal  $x_+(t)$  somit stets komplex.
  • Aus dem analytischen Signal  $x_+(t)$  kann das reale Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$

$\text{Beispiel 2:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:

  • Nach der linken Darstellung  $\rm (A)$  kommt man vom physikalischen Signal  $x(t)$  zum analytischen Signal  $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil  ${\rm j} \cdot y(t)$  hinzufügt.
  • Hierbei ist  $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums  $X(f)$  mit  $- {\rm j} \cdot \sign(f)$  angeben lässt.
Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten

Die rechte Darstellung  $\rm (B)$  ist äquivalent zu  $\rm (A)$:

  • Nun gilt  $x_+(t) = x(t) + z(t)$  mit der rein imaginären Funktion  $z(t)$.
  • Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich  $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$  ist.


Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung


Die Spektralfunktion  $X(f)$  einer harmonischen Schwingung  $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$  besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen

  • $+f_{\rm T}$  mit dem komplexen Gewicht  $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
  • $-f_{\rm T}$  mit dem komplexen Gewicht  $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.


Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals  $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz  $f =-f_{\rm T})$:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm T}) .$$

Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des  Verschiebungssatzes:

$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$  drehenden Zeiger.

$\text{Beispiel 3:}$  Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um  $90^\circ$  nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:

  • Zum Startzeitpunkt  $t = 0$  liegt der Zeiger der Länge  $A$  (Signalamplitude) mit dem Winkel  $-\varphi$  in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt  $\varphi = 45^\circ$.
  • Für Zeiten  $t > 0$  dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)  $\omega_{\rm T}$  in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
  • Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius  $A$  und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit  $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung  $x(t)$.
  • Die Projektion des analytischen Signals  $x_+(t)$  auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von  $x(t)$.


Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen


Für die weitere Beschreibung gehen wir für das analytische Signal von folgendem Spektrum aus:

$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$

Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel  $I = 3$. Wählt man  $I$  relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen  $X_+(f)$  angenähert werden.

Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei Schwingungen

Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:

$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

Zu dieser Grafik anzumerken:

  • Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt  $t = 0$  entsprechend den Amplituden  $A_i$  und den Phasenlagen  $\varphi_i$.
  • Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt  $t = 0$:
$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1 \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
  • Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
  • Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\ & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx 1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$
  • Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.


Das interaktive Applet  Physikalisches Signal & Analytisches Signal  verdeutlicht  $x_+(t)$  für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung

Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator

Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM

Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM