Signaldarstellung/Allgemeine Beschreibung: Unterschied zwischen den Versionen

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== # ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL # ==
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In diesem Kapitel werden&nbsp; ''periodische Signale''&nbsp; betrachtet und diese sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich mathematisch beschrieben.
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Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:
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* Einige Grundbegriffe wie&nbsp; <i>Periodendauer, Grundfrequenz</i>&nbsp; und&nbsp; <i>Kreisfrequenz</i>,
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* die Eigenschaften eines&nbsp; <i>Gleichsignals</i>&nbsp; als Grenzfall eines periodischen Signals,
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* die Definition und Interpretation der&nbsp; <i>Diracfunktion</i>,
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* die Spektraldarstellung eines&nbsp; <i>Gleichsignals</i>&nbsp; oder eines&nbsp; <i>Gleichsignalanteils</i>,
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* die Zeit&ndash; und Frequenzdarstellung&nbsp; <i>harmonischer Schwingungen</i>, und schließlich
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* die Anwendung der&nbsp; <i>Fourierreihe</i>&nbsp; zur Spektralanalyse periodischer Signale.
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Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im
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*Kapitel 6:  ''Lineare zeitinvariante Systeme''&nbsp; (Programm lzi)
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des Praktikums &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik&rdquo;. Diese frühere LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
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*dem Lehrsoftwarepaket&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
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*dieser&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]&nbsp;  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version;&nbsp; Kapitel 6:&nbsp; Seite 99-118.
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==Eigenschaften und Anwendungen==
 
==Eigenschaften und Anwendungen==
Für die Nachrichtentechnik besitzen periodische Signale eine große Bedeutung. Sie gehören zu der Klasse der deterministischen Signale, deren Zeitfunktion in analytischer Form angegeben werden kann. Ihr Signalverlauf ist damit für alle Zeiten $t$ bekannt und für die Zukunft eindeutig vorhersagbar; sie sind daher niemals informationstragende Signale.
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Für die Nachrichtentechnik besitzen periodische Signale eine große Bedeutung:
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*Sie gehören zur Klasse der&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Deterministische_und_stochastische_Signale|deterministischen Signale]], deren Zeitfunktion in analytischer Form angegeben werden kann.  
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*Ihr Signalverlauf ist damit für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; bekannt und für die Zukunft eindeutig vorhersagbar.
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*Sie sind daher niemals informationstragende Signale.
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Trotzdem werden periodische Signale oft auch in der Nachrichtentechnik benötigt, zum Beispiel
 
Trotzdem werden periodische Signale oft auch in der Nachrichtentechnik benötigt, zum Beispiel
 
*für die Modulation und Demodulation bei Trägerfrequenzsystemen,
 
*für die Modulation und Demodulation bei Trägerfrequenzsystemen,
*für die Synchronisation und Taktgenerierung bei Digitalsystemen,
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*für die Synchronisation und Taktregenerierung bei Digitalsystemen,
*als Test- und Prüfsignale bei der Systemrealisierung.
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*als Test&ndash; und Prüfsignale bei der Systemrealisierung.
  
  
{{Beispiel}}
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[[Datei:P_ID161__Sig_T_2_1_S1.png|right|frame|Oszilloskopbild von Cosinus- und Dreiecksignal]]
[[Datei:P_ID161__Sig_T_2_1_S1.png|250px|right|Oszilloskopbild von Cosinus- und Dreiecksignal]]
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{{GraueBox|TEXT= 
Auf dem Oszilloskopbild sehen Sie zwei typische Vertreter periodischer Signale,  
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
nämlich ein Cosinus– sowie ein Dreiecksignal.
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Auf dem Oszilloskopbild sehen Sie zwei typische Vertreter periodischer Signale:
Wie aus den eingeblendeten Einstellungen zu ersehen ist, beträgt bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.
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*oben ein Cosinussignal,
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*unten ein Dreiecksignal.
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Wie aus den eingeblendeten Einstellungen ersichtlich ist, beträgt bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.}}
  
  
 
==Definition und Parameter==
 
==Definition und Parameter==
Bevor wir uns den Signalparametern eines periodischen Signals zuwenden, soll eine eindeutige Definition des Begriffs ''Periodizität'' erfolgen.
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Bevor wir uns den Signalparametern eines periodischen Signals zuwenden, soll der Begriff  &bdquo;Periodizität&rdquo; eindeutig definiert werden:
  
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$\text{Definition:}$&nbsp;
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Ein&nbsp; $\text{periodisches Signal}$&nbsp; $x(t)$&nbsp; liegt dann vor, wenn für alle beliebigen Werte von&nbsp; $t$&nbsp; und alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; mit einem geeigneten&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gilt:
  
{{Definition}}
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:$$x(t+i\cdot T_{0}) = x(t).$$}}
Ein Signal $x(t)$ bezeichnet man dann und nur dann als periodisch, wenn für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ gilt: $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$.
 
{{end}}
 
  
  
 
Daraus ergeben sich die folgenden Kenngrößen:
 
Daraus ergeben sich die folgenden Kenngrößen:
*Die Periodendauer $T_{0}$ gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
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*Die&nbsp; $\text{Periodendauer}$&nbsp; $T_{0}$&nbsp; gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
*Die Grundfrequenz $f_{0} = 1/T_{0}$ beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde). Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker Heinrich Hertz.
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*Die&nbsp; $\text{Grundfrequenz}$&nbsp; $f_{0} = 1/T_{0}$&nbsp; beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde).  
*Die Grundkreisfrequenz $\omega_{0}$ stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird. Im Gegensatz zur Grundfrequenz ist hier nicht die Einheit „Hz”, sondern „1/s” üblich. Es gilt folgende Gleichung:
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*Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz Heinrich Hertz].
: $\omega_{0}=2\pi f_{0} = \frac{2\pi}{T_{0}}$.
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*Die&nbsp; $\text{Grundkreisfrequenz}$&nbsp; $\omega_{0}$&nbsp; stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird.  
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*Im Gegensatz zur Grundfrequenz ist hier nicht die Einheit „Hz”, sondern „1/s” üblich. Es gilt folgende Gleichung:
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:$$\omega_{0}=2\pi f_{0} = {2\pi}/{T_{0}}.$$
  
  
[[Datei:P_ID211__Sig_T_2_1_S2_neu.png|250px|right|Zur Definition von Periodendauer, Grundfrequenz und Kreisfrequenz]]
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[[Datei:P_ID211__Sig_T_2_1_S2_neu.png|right|frame|Periodendauer, Grundfrequenz und Kreisfrequenz]]
Nachfolgend sehen Sie ein periodisches Zeitsignal mit der Periodendauer $T_{0} = 2.5 \text{ms}$.
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Daraus ergeben sich die Grundfrequenz $f_0$ = 400 Hz und die Grundkreisfrequenz $\omega_{0}$ ≈ 2513 1/s.
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
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Dargestellt ist hier ein periodisches Zeitsignal:
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*Die Periodendauer beträgt&nbsp; $T_{0} = 2.5 \ \rm ms$.
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*Daraus berechnet sich die Grundfrequenz&nbsp; $f_0 = 400 \ \rm  Hz$.
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*Die Grundkreisfrequenz ergibt sich zu&nbsp; $\omega_{0}=2513 \ \rm  1/s.$}}
 
   
 
   
  
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==Resultierende Periodendauer==
 
==Resultierende Periodendauer==
Besteht ein Signal $x(t)$ aus der Summe zweier periodischer Signale $x_{1}(t)$ und $x_{2}(t)$ mit Periodendauer $T_{1}$ bzw. $T_{2}$, so ist die resultierende Periodendauer des Summensignals das kleinste gemeinsame Vielfache von $T_{1}$ und $T_{2}$, und zwar unabhängig von den Amplituden– und Phasenverhältnissen.
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Besitzen $T_{1}$ und $T_{2}$ dagegen kein rationales gemeinsames Vielfaches (z. B.: $T_{2} = \pi \cdot T_{1}$), so ist das Summensignal im Gegensatz zu seinen beiden Komponenten nicht periodisch.
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Besteht ein Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; aus der Summe zweier periodischer Signale&nbsp; $x_{1}(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{2}(t)$&nbsp; mit den Periodendauern&nbsp; $T_{1}$&nbsp; bzw.&nbsp; $T_{2}$, so ist die resultierende Periodendauer des Summensignals das kleinste gemeinsame Vielfache von&nbsp; $T_{1}$&nbsp; und&nbsp; $T_{2}$.
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*Diese Aussage gilt unabhängig von den Amplituden– und Phasenverhältnissen.
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*Besitzen&nbsp; $T_{1}$&nbsp; und&nbsp; $T_{2}$&nbsp; dagegen kein rationales gemeinsames Vielfaches&nbsp; $($Beispiel:&nbsp; $T_{2} = \pi \cdot T_{1})$, so ist das Summensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Gegensatz zu seinen beiden Komponenten&nbsp; $x_{1}(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{2}(t)$&nbsp; nicht periodisch.
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{{GraueBox|TEXT= 
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$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
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Addiert werden ein cosinusförmiges Signal&nbsp; $x_{1}(t)$&nbsp; mit der Periodendauer&nbsp; $T_{1} = 2\; {\rm ms}$&nbsp; (blauer Signalverlauf)&nbsp; und ein Sinussignal&nbsp; $x_{2}(t)$&nbsp; mit der Periodendauer&nbsp;  $T_{2} = 5\; {\rm ms}$&nbsp;  und doppelt so großer Amplitude (grüner Verlauf).
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[[Datei:P_ID247__Sig_T_2_1_S3_neu.png|frame|Resultierende Periodendauer der Summe aus Cosinus&ndash; und Sinussignal]]
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Das (rote) Summensignal&nbsp; $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$&nbsp; weist dann
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*die resultierende Periodendauer&nbsp; $T_{0} = 10\; {\rm ms}$&nbsp;  auf &nbsp; &rArr; &nbsp; Grundfrequenz&nbsp;  $f_{0} = 100\; {\rm Hz}$.
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*Die Frequenz&nbsp; $f_{0}$&nbsp; selbst ist in&nbsp; $x(t)$&nbsp; nicht enthalten, lediglich ganzzahlige Vielfache davon, nämlich&nbsp; $f_{1} = 500\; {\rm Hz}$&nbsp;  und&nbsp; $f_{2} = 200\; {\rm Hz}$. }}
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Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Periodendauer_periodischer_Signale|Periodendauer periodischer Signale]]&nbsp; lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln. 
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==Aufgaben zum Kapitel==
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[[Aufgaben: 2.1 Gleichrichtung|Aufgabe 2.1: Gleichrichtung]]
  
{{Beispiel}}
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[[Aufgaben:Aufgabe_2.1Z:_Summensignal|Aufgabe 2.1Z: Summensignal]]
Addiert werden ein cosinusförmiges Signal $x_{1}(t)$ mit Periodendauer $T_{1}$ = 2 ms (blauer Signalverlauf) und ein Sinussignal $x_{2}(t)$ mit Periodendauer $T_{2}$ = 5 ms und doppelt so großer Amplitude (grüner Verlauf).
 
  
[[Datei:P_ID247__Sig_T_2_1_S3_neu.png
 
|250px|right|Resultierende Periodendauer]]
 
  
Das (rote) Summensignal $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$ weist dann die resultierende Periodendauer $T_{0}$ = 10 ms auf, und damit die Grundfrequenz  $f_{0}$ = 100 Hz. Diese Frequenz $f_{0}$ selbst ist in $x(t)$ nicht enthalten, lediglich ganzzahlige Vielfache davon, nämlich $f_{1}$ = 500 Hz und $f_{a2}$ = 200 Hz.
 
Mit folgendem Interaktionsmodul lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln: 
 
{{end}}
 
  
  
===Aufgaben===
 
[[Aufgaben:2.1 Gleichrichtung]]
 
  
 
  {{Display}}
 
  {{Display}}

Aktuelle Version vom 12. April 2021, 10:56 Uhr

# ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL #


In diesem Kapitel werden  periodische Signale  betrachtet und diese sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich mathematisch beschrieben.

Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:

  • Einige Grundbegriffe wie  Periodendauer, Grundfrequenz  und  Kreisfrequenz,
  • die Eigenschaften eines  Gleichsignals  als Grenzfall eines periodischen Signals,
  • die Definition und Interpretation der  Diracfunktion,
  • die Spektraldarstellung eines  Gleichsignals  oder eines  Gleichsignalanteils,
  • die Zeit– und Frequenzdarstellung  harmonischer Schwingungen, und schließlich
  • die Anwendung der  Fourierreihe  zur Spektralanalyse periodischer Signale.


Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

  • Kapitel 6: Lineare zeitinvariante Systeme  (Programm lzi)


des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese frühere LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

  • dem Lehrsoftwarepaket  LNTsim    ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
  • dieser  Praktikumsanleitung    ⇒   Link verweist auf die PDF-Version;  Kapitel 6:  Seite 99-118.


Eigenschaften und Anwendungen


Für die Nachrichtentechnik besitzen periodische Signale eine große Bedeutung:

  • Sie gehören zur Klasse der  deterministischen Signale, deren Zeitfunktion in analytischer Form angegeben werden kann.
  • Ihr Signalverlauf ist damit für alle Zeiten  $t$  bekannt und für die Zukunft eindeutig vorhersagbar.
  • Sie sind daher niemals informationstragende Signale.


Trotzdem werden periodische Signale oft auch in der Nachrichtentechnik benötigt, zum Beispiel

  • für die Modulation und Demodulation bei Trägerfrequenzsystemen,
  • für die Synchronisation und Taktregenerierung bei Digitalsystemen,
  • als Test– und Prüfsignale bei der Systemrealisierung.


Oszilloskopbild von Cosinus- und Dreiecksignal

$\text{Beispiel 1:}$  Auf dem Oszilloskopbild sehen Sie zwei typische Vertreter periodischer Signale:

  • oben ein Cosinussignal,
  • unten ein Dreiecksignal.


Wie aus den eingeblendeten Einstellungen ersichtlich ist, beträgt bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.


Definition und Parameter


Bevor wir uns den Signalparametern eines periodischen Signals zuwenden, soll der Begriff „Periodizität” eindeutig definiert werden:

$\text{Definition:}$  Ein  $\text{periodisches Signal}$  $x(t)$  liegt dann vor, wenn für alle beliebigen Werte von  $t$  und alle ganzzahligen Werte von  $i$  mit einem geeigneten  $T_{0}$  gilt:

$$x(t+i\cdot T_{0}) = x(t).$$


Daraus ergeben sich die folgenden Kenngrößen:

  • Die  $\text{Periodendauer}$  $T_{0}$  gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
  • Die  $\text{Grundfrequenz}$  $f_{0} = 1/T_{0}$  beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde).
  • Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker  Heinrich Hertz.
  • Die  $\text{Grundkreisfrequenz}$  $\omega_{0}$  stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird.
  • Im Gegensatz zur Grundfrequenz ist hier nicht die Einheit „Hz”, sondern „1/s” üblich. Es gilt folgende Gleichung:
$$\omega_{0}=2\pi f_{0} = {2\pi}/{T_{0}}.$$


Periodendauer, Grundfrequenz und Kreisfrequenz

$\text{Beispiel 2:}$  Dargestellt ist hier ein periodisches Zeitsignal:

  • Die Periodendauer beträgt  $T_{0} = 2.5 \ \rm ms$.
  • Daraus berechnet sich die Grundfrequenz  $f_0 = 400 \ \rm Hz$.
  • Die Grundkreisfrequenz ergibt sich zu  $\omega_{0}=2513 \ \rm 1/s.$



Resultierende Periodendauer


Besteht ein Signal  $x(t)$  aus der Summe zweier periodischer Signale  $x_{1}(t)$  und  $x_{2}(t)$  mit den Periodendauern  $T_{1}$  bzw.  $T_{2}$, so ist die resultierende Periodendauer des Summensignals das kleinste gemeinsame Vielfache von  $T_{1}$  und  $T_{2}$.

  • Diese Aussage gilt unabhängig von den Amplituden– und Phasenverhältnissen.
  • Besitzen  $T_{1}$  und  $T_{2}$  dagegen kein rationales gemeinsames Vielfaches  $($Beispiel:  $T_{2} = \pi \cdot T_{1})$, so ist das Summensignal  $x(t)$  im Gegensatz zu seinen beiden Komponenten  $x_{1}(t)$  und  $x_{2}(t)$  nicht periodisch.


$\text{Beispiel 3:}$  Addiert werden ein cosinusförmiges Signal  $x_{1}(t)$  mit der Periodendauer  $T_{1} = 2\; {\rm ms}$  (blauer Signalverlauf)  und ein Sinussignal  $x_{2}(t)$  mit der Periodendauer  $T_{2} = 5\; {\rm ms}$  und doppelt so großer Amplitude (grüner Verlauf).

Resultierende Periodendauer der Summe aus Cosinus– und Sinussignal

Das (rote) Summensignal  $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$  weist dann

  • die resultierende Periodendauer  $T_{0} = 10\; {\rm ms}$  auf   ⇒   Grundfrequenz  $f_{0} = 100\; {\rm Hz}$.
  • Die Frequenz  $f_{0}$  selbst ist in  $x(t)$  nicht enthalten, lediglich ganzzahlige Vielfache davon, nämlich  $f_{1} = 500\; {\rm Hz}$  und  $f_{2} = 200\; {\rm Hz}$.


Mit dem interaktiven Applet  Periodendauer periodischer Signale  lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln.


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 2.1: Gleichrichtung

Aufgabe 2.1Z: Summensignal