Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente

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Kanalmodell und Rice–WDF

Die Rayleigh–Verteilung beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.

Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: Line of Sight, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen $x(t)$ und $y(t)$ noch Gleichkomponenten $x_0$ und/oder $y_0$ hinzufügen:

\[x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},\]

\[z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt diess Rice–Fading–Kanalmodell. Als Sonderfall ergibt sich daraus das Rayleigh–Modell, wenn man $x_0 = y_0= 0$ setzt.

Rice-Fading-Kanalmodell

Das Rice–Fading–Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen, siehe auch [Hin08]:

• Der Realteil $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $x_0$ und Varianz $\sigma ^2$.
• Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.
  

• Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $|z(t)|$ riceverteilt, woraus die Bezeichnung „Rice–Fading” herrührt.
• Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $|z(t)| = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$, für $a \ge 0$ gilt folgende Gleichung, wobei $I_0$ die modifizierte Bessel–Funktion nullter Ordnung bezeichnet:

\[f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]

• Der Mobilfunkkanal ist um so besser für die Digitalsignalübertragung geeignet, je größer die „Direktpfadleistung” $(|z_0|^2)$ gegenüber den Leistungen der Streukomponenten $(2\sigma^2)$ ist.
  

• Ist $|z_0| \gg \sigma$ (Faktor 3 oder mehr), so kann die Rice–WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit dem Mittelwert $|z_0|$ und der Streuung $\sigma$ angenähert werden.
  

• Im Gegensatz zum Rayleigh–Fading   ⇒   $z_0 \equiv 0$ ist die Phase bei Rice–Fading  nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. Oft setzt man $y_0 = 0$   ⇒   $\phi_0 = 0$.
  

Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading

Die Grafik zeigt Signalverläufe und Dichtefunktionen zweier Mobilfunkkanäle:

Vergleich von Rayleigh-Fading (blau) und Rice-Fading (rot)

• Rayleigh–Fading (blaue Kurven)
  mit ${\rm E}\big [|z(t))|^2\big ] = 2 \cdot \sigma^2 = 1$,
  

• Rice–Fading (rote Kurven)
  mit gleichem $\sigma$ sowie $x_0 = 0.707$ und $y_0 = -0.707$.
  
  

Für die Erzeugung der Signalausschnitte mit dem oben gezeigten Modell wurde für Rayleigh und für Rice die maximale Dopplerfrequenz $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$ zugrundegelegt.
Autokorrelationsfunktion (AKF) und Leistungsdichtespektrum (LDS) von Rayleigh und Rice unterscheiden sich nur geringfügig. Es gilt:

\[\varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.5cm} = \varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} \hspace{-0.8cm} + |z_0|^2 \hspace{0.05cm},\]

\[ {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.5cm} = {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} \hspace{-0.8cm} + |z_0|^2 \cdot \delta (f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Berücksichtigt ist, dass die Spektraldarstellung eines Gleichanteils zu einer Diracfunktion führt.

Zu dieser Grafik ist anzumerken:

• Die Realteile $x(t)$ von Rayleigh (blau), Rice (rot) unterscheiden sich durch die Konstante $x_0 = 0.707$. Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich: Gaußsche WDF $f_x(x)$ mit Streuung $\sigma = 0.707$, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert $x_0$ (Rice).
  

• Im Imaginärteil $y(t)$ erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente $y_0 = -0.707$. Die (nicht dargestellte) WDF $f_y(y)$ ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung $\sigma = 0.707$ um den Mittelwert $ y_0 = -0.707$, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF $f_x(x)$.
  

• Die (logarithmische) Betragsdarstellung   ⇒   $a(t) =|z(t)|$ zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt. Diese Tatsache ist auch aus der WDF $f_a(a)$ ablesbar.
• Beim Rice–Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN–Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da der Empfänger über den Rice–Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.
  

• Die WDF $f_\phi(\phi)$ zeigt den Vorzugswinkel $\phi \approx 45^\circ$ des Rice–Kanals. Der komplexe Faktor $z(t)$ befindet sich wegen $x_0 > 0$ und $y_0 < 0$ großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh–Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.
  

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.6: AKF und LDS bei Rice–Fading

Aufgabe 1.6Z: Rayleigh und Rice im Vergleich

Aufgabe 1.7: WDF des Rice–Fadings