Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente
Inhaltsverzeichnis
Kanalmodell und Rice–WDF
Die Rayleigh–Verteilung beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt. Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: Line of Sight, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen $x(t)$ und $y(t)$ noch Gleichkomponenten hinzufügen:
- \[x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},\]
- \[z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.\]
Die Grafik zeigt diess Rice–Fading–Kanalmodell. Als Sonderfall ergibt sich daraus wieder das Rayleigh–Modell, wenn man $x_0 = y_0= 0$ setzt.
Das Rice–Fading–Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen:
- Der Realteil $x(t)$ ist gaußverteilt (Mittelwert $x_0$, Varianz $\sigma ^2$). Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.
- Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $|z(t)|$ riceverteilt, woraus die Bezeichnung „Rice–Fading” herrührt.
- Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $|z(t)| = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$, für $a \ge 0$ gilt folgende Gleichung ($I_0$ bezeichnetdie modifizierte Bessel–Funktion nullter Ordnung):
- \[f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]
- Der Mobilfunkkanal ist um so besser für die Digitalsignalübertragung geeignet, je größer die „Direktpfadleistung” $(|z_0|^2)$ gegenüber den Leistungen der Streukomponenten $2\sigma^2)$ ist.
- Ist $|z_0| \gg \sigma$ (Faktor 3 oder mehr), so kann die Rice–WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit dem Mittelwert $|z_0|$ und der Streuung $\sigma$ angenähert werden.
- Im Gegensatz zum Rayleigh–Fading ⇒ $z_0 \equiv 0$ ist die Phase bei Rice–Fading nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung $\phi_0 = \arctan(y_0/x_0)$. Oft setzt man $y_0 = 0$ ⇒ $\phi_0 = 0$.
Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading
Die Grafik zeigt Signalverläufe und Dichtefunktionen zweier Mobilfunkkanäle:
- Rayleigh–Fading mit ${\rm E}[|z(t))|^2] = 2 \cdot \sigma^2 = 1$ (blaue Kurven),
- Rice–Fading mit gleichem $\sigma$ sowie $x_0 = 0.707$ und $y_0 = -0.707$ (rote Kurven).
Für die Erzeugung der Signalausschnitte mit dem auf der letzten Seite gezeigten Modell wurde in beiden Fällen die maximale Dopplerfrequenz $f_\text{D, max} = 100 \ \rm Hz$ zugrundegelegt.
AKF und LDS von Rayleigh– und Rice–Fading unterscheiden sich nur geringfügig. Es gilt:
- \[\varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.5cm} = \varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} \hspace{-0.8cm} + |z_0|^2 \hspace{0.05cm},\]
- \[ {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.5cm} = {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} \hspace{-0.8cm} + |z_0|^2 \cdot \delta (f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]
Berücksichtigt ist, dass die Spektraldarstellung eines Gleichanteils zu einer Diracfunktion führt.
Zu dieser Grafik ist anzumerken:
- Die Realteile $x(t)$ von Rayleigh (blau), Rice (rot) unterscheiden sich durch die Konstante $x_0 = 0.707$. Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich: Gaußsche WDF $f_x(x)$ mit Streuung $\sigma = 0.707$, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert $x_0$ (Rice).
- Im Imaginärteil $y(t)$ erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente $y_0 = -0.707$. Die (in der Grafik nicht dargestellte) WDF $f_y(y)$ ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung $\sigma = 0.707$ um den Mittelwert$ y_0 = -0.707$, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF $f_x(x)$.
- Die (logarithmische) Betragsdarstellung ⇒ $a(t) =|z(t)|$ zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt. Dies wird auch aus der WDF deutlich. Beim Rice–Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN–Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da der Empfänger über den Rice–Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.
- Die WDF $f_\phi(\phi)$ zeigt den Vorzugswinkel $\phi \approx 45^\circ$ des Rice–Kanals. Der komplexe Faktor $z(t)$ befindet sich wegen $x_0 > 0$ und $y_0 < 0$ großteils im vierten Quadranten, während beim Rayleigh–Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.
Aufgaben zum Kapitel
Zusatzaufgaben:1.6 Rayleigh und Rice im Vergleich
