Mehrwegeempfang beim Mobilfunk

Zeitinvariante Beschreibung des Zweiwegekanals (1)

Wir gehen von dem in der Grafik dargestellten Szenario aus. Dabei wird vorausgesetzt:

Sender und Empfänger sind ruhend. Dann ist sowohl die Kanal–Übertragungsfunktion als auch die Impulsantwort zeitunabhängig. Für alle Zeiten t gilt H(f, t) = H(f) und h(τ, t) = h(τ).

Ein Zweiwegekanal: Das Sendesignal s(t) erreicht den Empfänger auf direktem Pfad mit der Weglänge d₁ und es gibt ein Echo aufgrund des reflektierenden Erdbodens (Distanz d₂).

Zeitinvariante Betrachtung des Zweiwegekanals

Somit gilt für das Empfangssignal:

\[r(t) = r_1(t) + r_2(t) = k_1 \cdot s( t - \tau_1) + k_2 \cdot s( t - \tau_2) \hspace{0.05cm},\]

wobei die folgenden Aussagen zu beachten sind:

Das über den Direktpfad empfangene Signal r₁(t) ist gegenüber dem Sendesignal s(t) um den Faktor k₁ gedämpft und um die Laufzeit τ₁ verzögert.

Der Dämpfungsfaktor k₁ wird mit dem Pfadverlustmodell berechnet. k₁ ist um so kleiner und der Verlust um so größer, je größer die Sendefrequenz f_S, die Distanz d₁ und der Exponent γ sind.

Die Laufzeit τ₁ = d₁/c nimmt proportional mit der Wegelänge d₁ zu. Beispielsweise ergibt sich für die Distanz d₁ = 3 km und der Lichtgeschwindigkeit c = 3 · 10⁸ m/s die Verzögerung τ₁ = 10 μs.

Wegen der größeren Weglänge (d₂ > d₁) weist der zweite Pfad eine größere Dämpfung auf ⇒ |k₂| < |k₁| und dementsprechend auch eine größere Laufzeit τ₂ > τ₁.

Außerdem ist zu berücksichtigen, dass die Reflexion an Gebäuden oder dem Erdboden zu einer Phasendrehung um π (180°) führt. Damit wird der Faktor k₂ negativ.

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. Das negative Vorzeichen von k₂ wird dabei außer Acht gelassen.

Hinweis: Die hier behandelte Thematik wird in folgendem Interaktionsmodul behandelt:

Auswirkungen von Mehrwegeempfang Please add link and do not upload flash videos.

Zeitinvariante Beschreibung des Zweiwegekanals (2)

Für die Frequenzselektivität haben Pfadverlust (gekennzeichnet durch k₁) und Grundlaufzeit τ₁ keine Bedeutung. Entscheidend sind hier Pfaddverlustunterschiede und Laufzeitdifferenzen. Wir beschreiben nun den Zweiwegekanal mit den neuen Kenngrößen k₀ = |k₂| / |k₁| und τ₀ = τ₂ – τ₁ wie folgt:

\[r(t) = r_1(t) + k_0 \cdot r_1( t - \tau_0) \]

\( \hspace{0.5cm}{\rm mit} \hspace{0.5cm} r_1(t) = k_1 \cdot s( t - \tau_1)\hspace{0.05cm}.\)

Die Grafik veranschaulicht die Gleichung.
Mit der Vereinfachung k₁ = 1, τ₁ = 0 ⇒ r₁(t) = s(t) erhält man:

\[r(t) = s(t) + k_0 \cdot s( t - \tau_0) \hspace{0.05cm}.\]

Aus diesem vereinfachten Modell (ohne den grau hinterlegten Block in der Grafik) lassen sich wichtige Beschreibungsgrößen einfach berechnen:

Wendet man den Verschiebungssatz an, so kommt man zur Übertragungsfunktion

\[H(f) = {R(f)}/{S(f)} = 1 + k_0 \cdot {\rm exp} [ - {\rm j} \cdot 2 \pi f \cdot \tau_0] \hspace{0.05cm}.\]

Durch Fourierrücktransformation erhält man dann die Impulsantwort

\[h(\tau) = 1 + k_0 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.\]

: Wir betrachten einen Zweiwegekanal mit der konstanten Verzögerungszeit τ₀ = 2 μs und verschiedene Dämpfungsfaktoren k₀ zwischen 0 und 1.

Die Grafik zeigt den Betrag der Übertragungsfunktion im Bereich zwischen ±1000 kHz. Man erkennt aus dieser Darstellung:

Die Übertragungsfunktion H(f) und auch deren Betrag ist periodisch mit 1/τ₀ = 500 kHz. Diese Frequenzperiode ist hier gleichzeitig die sogenannte Kohärenzbandbreite.

Die Schwankungen um den Mittelwert |H(f)| = 1 sind um so stärker, je größer der (relative) Beitrag k₀ des Nebenpfades (also das Echo) ist.